kudryavtsev1a (947413), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В силу 1 ( +Ри) этого из (3.14) следует, что !!а» Хл хл а аи»» 1!и! — = -- = уи Ь !!и» уи Аналогично рассматривается случай, когда Ь(0. ( ) Замечание. В случае последовательностей, имеющих бесконечные пределы, утверждения, аналогичные 1' — 4', вообще говоря, не имеют места. Например, пусть хл = и+ 1, уи = и, или 1, 2, ..., тогда 1(щ хи с и !пп ул лл + со и 1!пт (х„— у,) = 1. Если хи=2п, у,=п, п=1, 2, ..., то 1!и! хл= 1!п! Ул=+ со и 1пп (хл — Ул)=+ со. Если же х,=и+э!и —, ул=п, и=1, 2, ..., то 1пп хл = 1пп ул = + со, л со л со Э 3. Предел последовательности лп а последовательность х„— у„=з(п —, а=1, 2, ..., не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Эти примеры показывают, что при одинаковых предположениях относительно последовательностей (х„! и (у,), имеющих бесконечные пределы, для последовательностей (х„— у„) могутвстретнться самые разнообразные случаи.
Вместе с тем отдельные обобщения свойств 1' — 4' на случай последовательностей с бесконечными пределами все-таки имеют место. Например, если !пп х, = + со и 1пп у„ =- + со 1'или 1пп у, конечен), то л ю л еь л ье 1пп (хе+ у„) = -1- со или, если х ) 0 и 11п1 хл лл + со, то 1пп ах„= л оэ л сь л л =а!пп х„=+ со (рекомендуется доказать самостоятельно). Упражнение 15. Дона»ать, что если 1пп х„=+со, а последовал сл тельность (ул! ограничена, то 1пп (хе+ил)=-+о». л сл Примеры.
1. Пусть а) О, хе)0 и х.='='';-(х.— т+ — ) п=1. 2 "" (3 15) Докажем, что 1пп хе=3/а. По индукпии сразу ясно, что л сь Х„~О для всех л=О, 1, 2, .... Покажем сначала, что х„~)ла, п==-1, 2, Для этого предварительно заметим, что из очевидного неравенства (1 — 1)': 0 в случае 1)0 следует неравенство 1+ —,~2. Используя это неравенство при 1= -": в силу (3.15) получаем: х„.„=- (.х„+--)= — — — ~ — "л+ — )~ — 2= р/а, п=О, 1, 2, Покажем теперь, что последовательность х„, и = 1, 2, монотонно убывает. Применяя неравенство (3.!6); получаем: хлм = .ь '!хе+ ) = -л" '(! + Хт) =- л' 2 = хл, и=1, 2, (3.17) Итак, )Га=а....:,х,+т~х„~...(х„где бы ни было расположено <нулевое приближение» хе)0, т. е. последовательность (хл) ограничена снизу и монотонно убывает, поэтому, согласно теореме 3, она имеет предел.
дц Свойетва пределов Пусть 11!их„=х. Переходя к пределу, в равенстве (3.15) при и-в со, получаем равенство х = — (х+ — „), откуда х'=а, и так как х„~О, то и х=О, поэтому х=~/ а. Формула (3.15) может служить для приближенного вычисления значений квадратного корня из числа а. Она действительно применяется на практике с этой целью, в частности, при вычислениях на быстродействующих счетных машинах. Нетрудно подсчитать и точность, с которой п-е приближение, т. е. член х„, дает значение корня !/а. Из рекуррентной формулы (3.15) имеем: 11 а! — 1 Х»ел — 1/а =-2 !х + —.1 — !/а =2 — (х» — 2Х !/а+а) = » х» =,— '( „-)/ )', =О, 1, 2, 2х» Применяя неравенство (3,16), отсюда находим: О«=х»+,— 1/а~ —.(х,— '$/а), и=1, 2..., ° 2Уа Полученная оценка не совсем удобна на практике, поскольку мы ие знаем значения корня )/а — мы его ищем. Однако всегда можно найти приближенно такое с, что О(с() а, причем можно выбрать и хе~с, тогда из полученной оценки будем иметь О~х»+д — 1/а~ — (х„— 1/а), и=О, 1, 2, ..., илн 2 в(х»ы — !/о)~[~,-(х„— 1/п)~, а=О, 1, 2, Отсюда по индукции находим: — (х„— )/а)~[ — (х,— )/ ~~)~ «= ~ [1 2 в (х -е — 1/ а)) ~ ( ...
~ [-2 †(хе — 1/а)) . (3.18) Если выбрать нулевое приближение х, так, чтобы !1=' — !х — 1/а!(1, ее! 1 то из (3.18) получится, что 0 == х„— )/а ~ 2сде", и = 1, 2, ..., 9 В.Предел последовательности т. е. последовательность (3.15) сходится к значению корня гораздо быстрее геометрической прогрессии со знаменателем д, О~у'(1. Для иллюстрации приближенного вычисления корня по формуле (3.15) приведем результаты вычисления У 2 на ЭВМ в случае, когда в качестве нулевого приближения хь было выбрано хь= 1: хг= 1,50000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 хз= 1,41666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 ха= 1,4142!568627450980392156862745098039215686274509803921568627 хл= 1,4142135623746899106262955788901349!011655962211574404458490 хь= 1,41421356237309504880168962350253024361498192577619742849828 х«= 1,41421356237309504880168872420969807856967!87537723400156101 хт — — 1,41421356237309504880168872420969867856967187537694807317667 Здесь полужирным шрифтом выделены числа, являющиеся правильным прн.
ближением Уй с точностью до числа значащих цифр, входящих в выделенное число (эти цифры стабилизируются в процессе вычисления). Число правильных в этом смысле цифр удваивается (как это видно из таблицы) при переходе к следующему приближению: в хз имеется одна правильная цифра, в хз уже 3, в ха — 6, в х, — 12, в х, — 24, в х, — 48, а хт дает уже правильное приближение г'2 с 60 значащими цифрами, т.
е. со всеми использованными разрядами. Заметим, что если число а ~ О таково, что корень из него вычисляется в конечном виде в том смысле, что существует такая конечная десятичная дробь х, что х'=а, то зта дробь может быть найдена (во всяком случае принципиально) с помощью классического метода извлечения корня «столбиком». В случае же извлечения корня из этого числа с помощью формулы (3.15), если х, выбрано отличным от точного значения корня: хань)/а, то указанное точное значение корня не получится нн на каком шаге.
Это следует из того, что в случае хо~ р а последовательность (3.15) строго убывает: х„ьт (х„, и = 1, 2, .... Прежде чем рассматривать дальнейшие примеры докажем одно полезное неравенство. Лемма (неравенство Бернулли *'). Пусть а ) О, тогда для любого натурального и справедливо неравенства (1+ сс)" 1+ па. (3.19) До к а з а т е л ь с т в о. По формуле бинома Ньютона имеем (1+а)а= 1+пса+ п (п — 1) 2 аз+ + гхл Все слагаемые в правой части равенства положительны; отбрасывая все из них кроме первого и второго, отчего правая часть может только уменьшиться, получаем искомое неравенство (3.19).
"1 Я. Б е р н у л л н (1654 — 1705) — швейцарский математик. 8,8. Бесконечно малые последовательности 75 Вернемся к рассмотрению примеров. 2. Если р 1, то !пп рл = + со, а если О (р ( 1, то л сл 1пп р" =О. л сь Пусть сначала р -» 1, тогда р = ! +оь, где а:» О, и по нера. венству Бернулли (см. (3.19)) рл — (1 + с!)л ) 1 + псс ~ пс! Поскольку 1пп ап = и 1пп и =+ со, а О, то и !пп рл =+ со. л сл л сь л со Если теперь О(р(1, то !7=1/р'- 1 и !пп р" = 1!п! — „= , .„=0 1 1 л»» л сл Ч !а! Ч л и л» Иба ПО.дОКаэаННОМу 1ПП !1«=+ СО. л сь 3. Для любого а 0: а!/л л о» 1пп а-!1«= 1 (3.20) (3.21) л сь хл =-'- у'а — 1.
(3.22) Согласно сказанному х„) О. Из (3.22) следует, что а=(1+хл)". Применяя неравенство Бернулли, получаем а = (1+ хл)л ) пхл. Следовательно, 0(х,(-, поэтому 1ппх,=О; откуда согласно и' л О:» (3.22) !пп у' ал«1. Если теперь 0(а(1, то Ь="-'-1-'-~1, и ванного !!п! у' Ь=1, то л сл л, / ! «х— 1пп ~Г а=!пп )/ — = 1!гп — „ л со л о» л сл у Э так как в силу дока- 1 = 1. 1нв !» и Пусть сначала а) 1, тогда Ь ="' 1»"а ~ 1.
В самом деле, согласно определению корни Ь" =а. Если бы Ь л-- 1, то, перемножая это неравенство л раз, мы получили бы, что а = Ьл =- 1, но это противоречит условию а» 1. Положим Э а Предел носледооотельиости Если а=1, то р а=1, п=1, 2, ..., и, следовательно, та(еже 1ип тl а=1. о»» Таким образом, (3.20) доказано при любом а)0. Отсюда сразу следует (3.21): 1! т а-нл = 1пп — „„= „„= 1. [ 1 1 1 л „, онл Ип» инл и»» У и р в ж н е н н е- 16.
Пусть иь) О, Ье)0, ил=-~ ил- »Ьл -ь Ьл = и=1, 2, .... Доказать, что.последовательности (а„) н (Ь„) стремятся к одному н тому же пределу и н что О ~ и — и„~ ', О ~ ܄— а -= Ьь — и» ~ Ье — ие~ ЗЛО. ИЗОБРАЖЕНИЕ ДЕЯСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ Рис. 10 Пусть задано какое-либо число а, для определенности а- О. В силу свойства Архимеда существует целое число и,- а. Среди чисел и=1, 2, ..., и, возьмем наименьшее, обладающее свойством п)а, и обозначим его а,-(-1, тогда ао = а ( ао+ 1. Разобьем отрезок Уо = [а„ ао+ 11 сео на десять равных отрезков, т.
е. рассмотрим отрезки Рис. З [ао,а,; ао,аз+ 1/101. где ам=0, 1, 2, ..., 9. Возможны два случая: либо точаечт ка а не совпадает ни с одной точкой деления (рис. 8), либо точка а Рис. 9 совпадает с одной из точек деления (рис. 9, 10). В первом случае точка а принадлежит только одному из этих отрезков. Обозначим его ао и и »ы т т = [амаб ао. аз+ 1»»101, где ест обозначает номер отрезка, т. е, одну из цифр О, 1, ..., 9. Во втором случае точка а может принадлежать двум сосед- ним отрезкам (рис.
1О). Тогда через т',=[се„а;1 ао,а,+ — 1 обо- 1» значим тот из них, для которого точка а является левым, кон- цом. Во всех случаях а в=л,. Разобьем отрезок У, в свою оче- редь на десять равных отрезков и через Уе = [а„а»аз, а„а„ао+ — — 11 1 ч РО»1 обозначим тот из получившихся отрезков, который содержит а и для которого точка а не является правым концом. Продолжая 3.10. Изображение действительных чисел десятичными дробями 77 этот процесс, получим систему вложенных отрезков У„=(а„, бо), п=1, 2, ..., 1 а„=ае, ат,аз ° ..
а„, а„=а„ахая ... ая+ —, а а„-одна из цифр О, 1, 2, ..., 9. Каждый из.отрезков 1н содержит а, причем а не является его правым концом, аен1„, а~а„, п=О, 1, 2, длина отрезка 1„равна 1)10" и, следовательно, стремится к нулю при п-ч-со. Конечные десятичные дроби а„и а„называются десятичными дробями, приближатосцтсии число а.
Более точно, число а„называется нижним десятичным приближением порядка и, а число а„ верхним десятичным приближением того же порядка числа а. Они обладают следующими свойствами, непосредственно вытекающими из их определения: а„~а(а„, ал ~ ил+1 аны ~ анч а„— а„= 1)10е. В случае, если а(0, то, полагая Ь= — а, определяем ае = — Ь„, а„= — Ь„. при этом свойства (3.23) — (3.25), очевидно, сохраняются, лишь в неравенстве (3.23) знаки =-. и ( поменяются местами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
