kudryavtsev1a (947413), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Свойство (3.24) означает, что отрезки»а„, а„) образуют вложенную систему отрезков. Из свойства (3.25) следует, что длины отрезков»а„, а„) стремятся к нулю. Наконец, (3.23) означает, что точка а принадлежит всем этим отрезкам, поэтому согласно замечанию п. 3.5, она является пределом их концов а„и а„. Итак, в частности, доказана следующая лемма.

Лемма 1. Каково бы ни было число а, последовательность (а„» монотонно возрастает, последовательность (ал» монотонно ибывает и !пп а„= Бгп йн=а. п и с Следствие. Всякое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел. Следствие леммы вытекает из того, что а„и а„суть рациональные числа.

7д Э" З,Предел последовательности Пусть теперь снова и ~ 0 и а„= а„а,ао ... а„. Поставим в соответствие числу а бесконечную десятичную дробь а„а,аь .. а„... Подчеркнем, что здесь ао является неотрицательным целым числом, а а„, п=1, 2, ...— одной из цифр О, 1, 2, ...„9. Поскольку число а является единственным числом, принадлежа- щим всем отрезкам 1„и=1, 2, ..., то прн указанном соответ- ствии разным числам соответствуют разные десятичные дроби, т. е.

отличающиеся хеся бы одним ае (Й=О, 1, 2, ...). Заметим далее, что при нашем построении не может полу- читься дробь с периодом,, состоящим из одной цифры 9. Действительно, пусть числу а соответствует дробь ао, а, ... а„9... 9...,. где в случае и, чь О вьньзлняется неравенство аи~9. Тогда, согласно построению, 1 а е—: . ~а„а ..., а„, 9 ... 9„'ао, а, ...

а, + — ~ 1о" 1 дзя всех и ~ и„ гдв и — число десятичных знаков после запятой в дроби а„а, ... а~9 ... 9. Отсюда следует„что а является пра- вым концом всех отрезков Т„п~п„что противоречит выбору этих отрезков. Таким образом, в силу установленного соответствия каждому действительному числу а=-- 0 соответствует некоторая бесконеч- ная десятичная дробь, не имеющая периода, состоящего из одной цифры 9. Такие десятичные дроби называются допустимыми. Наконец, каждая бесконечная допустимая десятичная дробь а„а,а, ... а„...

в результате описанного соответствия оказы- вается поставленной в соответствие некоторому числу о, а именно тому единственному числу, которое принадлежит всем отрезкам: 1 аоа, ... а„; а„а, ... а„+ 1о„1, п=1, 2 Это соответствие можно распространить и на отрицательные числа: если числу а)0 соответствует дробь а, а„... а ..., то числ — а поставим в соответствие дробь — а, а, ... а„.... Т1" олучениые результаты можно сформулировать в виде сле- дующей теоремы. Теорема б.

Между множеством всех действительных чисел и множеством допустимых десятичных дробей суи!ествует взаимно однозначное соответствие; причем если при этом соответствии числу а соответствует дробь .+ сс„а,а, ... а„..., то +!пп ао,агап .. ап=а. л со Бесконечная десятичная дробь .+.ао, агао ... а„..., соответ- ствующая числу а, называется его десятичной записью и исполь- зуется для его обозначения; поэтому пишут и=+ ао,аост ". а д.!О. Изображение действительных чисел десятичными дрооями 79 Если бесконечная десятичная дробь имеет период, состоящий только из нулей, ссв,и,ав ...

и,00 ... 0 ..., причем и„ФО, то говорят, что эта дробь имеет и значащих цифр после запятой; при этом обычно ноль в периоде не пишется, т. е. указанное число записывается конечной десятичной дробью сев,сс.,ив ... а„ (именно такая запись и употреблялась выше). Замечание 1, Любой бесконечной десятичной дроби ив итиа ° ° ° мв (не обязательно допустимой) можно также естественным образом поставить в соответствие единственное действительное число, принадлежащее всем отрезкам: 1 1 "о'"~ "' а ' сев'и' "' из+То —.1 однако получившееся при этом соответствие уже не будет взаимно однозначным: может случитьси, что разным десятичным дробям будет соответствовать одно и то же действительное число.

Именно дробям вида а„асав ... сь,99 ...9 ... и ав,а,ссз ... (ах+1) 00...0 ... (а„~9) соответствует одно и то же число. В описанной выше конструкции соответствия вещественных чисел и бесконечных десятичных дробей мы получили бы не только допустимые десятичные дроби, если бы отказались от условия каждый раз выбирать такой отрезок 1„, что число а не является его правым концом. Используя запись действительных чисел, с помощью бесконечных десятичных дробей можно получить правило для их сравнения по величине и правила арифметических действий над ними. И то и другое сводится к аналогичным операциям над соответствующими их десятичными приближениями и, быть может, предельному переходу.

Сформулируем эти результаты в виде лемм. Лемма 2. Пусть а и Ь вЂ” действительные числа. Тогда а(Ь в том и только толь случае, когда существует такое натуральное п„что а„Ь„для всех и: и,. Действительно, пусть а ( Ь, Из а=1пп а„, Ь=1пп Ь„, и а( (Ь а+Ь л со л сс следует (см. свойства пределов последовательностей в п. 3.3), что существует такое и„что при всех и) и, справедливы нераа+ь а+ь венства а„ ( †, Ь„ -> — и, следовательно, неравенство а,(Ь„.

р' 8. П редел последовательности Обратно, если существует и, такое, что а„(Ь„для всех п)п„то случай а)Ь невозможен в силу только что доказанного. Невозможен и случай а=Ь, так как тогда бы в силу однозначной записи чисел с помощью допустимых десятичных дробей прн всех п = 1, 2, ... выполнялось равенство а„= Ь„. Таким образом, а(Ь. Д Лемма 3. Пусть а и Ь вЂ” два действительных числа, тогда 1пп (а„+Ь„) =а+ Ь, 1!гп (а„— Ь„) =а — Ь, !пп а,д„=аЬ, и оо о-+оо л оо а при Ь~О а а*' л о о, Ьл !пп — — = он 1 а !1гп ~.Ь вЂ” /' (3.26) н, следовательно, частное а!Ь, Ьчьй, можно с любой степенью точности выразить с помощью конечных десятичных дробей вида ('-,—:-~.

*' Может случиться, что прн некоторых л будем иметь Ь =О н, следовательно, выражение алуьл будет лишено смысла. Однако в снлу услоаня Ь сь О н свойства 11! пределов последовательностей, доказанного в и 3 З существует такое по, что Ьл ~ О прн и - ль В атом случае вместо последова. тельностн ал1ьл, л = 1, 2, ..., слсдУст РассматРнвать последовательность ал/Ьл и = па ао+ 1 Все утверждения этой леммы непосредственно следуют из леммы 1 и свойств пределов, связанных с арифметическими действиями над последовательностями (см.

п. 3.9). 3 а м е ч а н и е 2. Из леммь! 3 следует, что для того чтобы произвести с заданной степенью точности какое-либо арифметическое действие над числами, записанными в виде допустимых десятичных дробей, надо взять с достаточной точностью конечные десятичные приближения и произвести над ними соответствующие действия. При этом при сложении, вычитании и умножении в результате получается снова конечная десятичная дробь. В случае же деления частное двух конечных десятичных дробей будет, вообще говоря, бесконечной десятичной дробью, причем, как это известно из элементарной математики, — периодической. Однако и в этом случае можно с любой степенью точности получить результат, выраженный конечной десятичной дробью. Например, если (а„!Ь„)„является нижним десятичным приближением порядка и для частного а,дбхо то ЗЛО, Изображение действителвныя чисел десятичными дробями дл Для доказательства равенства (3,26) положим ал а сс Ьв в силу леммы 3 имеем (см.

лемму в п. 3.9) Вщ сс„= — О. Теперь, л оэ используя (3.23) н (3.25), получаем ( — -':~.--' =~',й~.-й1 +~'-:-И вЂ” '.--' И поскольку 1)ш ( — „-(-а„) =О, то равенство (3.26) доказано. ! 3 а меч а н и е 3. В результате вьпнеуказанных вычислений с нижними десятичными приближениями порядка п в случае сложения а„+Ь„, вычитания а — Ь„и деления (и,дЬ,)„мы снова получим конечные десятичные дроби с не более чсм и значащими цифрами после запятой. При умножении же аяЬ„получится, вообще говоря, десятичная дробь с 2п значащими цифрами после запятой. Если (авЬ„), является нижним десятичным приближе- нием произведения а„Ь„, то аналогично (3.26) доказывается, что 1!т (аиЬ,)„=аЬ.

в сс Таким образом, при приближенных вычислениях сумм а+Ь, разностей а — Ь, произведений аЬ и частных а)Ь, ЬФО, соответ- ственно по формулам а„+ Ь„, а„— Ь„, (авЬв)„и (а„)Ь„)„, в результате указанных действий над конечными десятичными дробями а„и Ь„, имеющими не более чем и значащих цифр после запятой, получаются снова десятичные дроби с не более чем и значащими цифрами после запятой, при атом результат может быть получен с любой заданной степенью точности. Именно таким образом и производятся обычно действия с числами на практике. Замечание 4. Стмстнм, что при построении способа записи действительных чисел последовательностями цифр за основу было взято число 10 (отрезки последовательно делились на десять. равных частей).

Вместо числа 10 можно взять любое натуральное число и. При использовании быстродействующих вычислительных машин часто употребляется так называемая двоичная система записи чисел, соответствующая случаю п = 2. При записи числа в двоичной системе участвуют только две цифры 0 и 1. Например, число 14,625 в двоичной системе будет иметь внд 1110,101, так как 14,625= 1.2'+1.

2 +1 2'+О 2'+1 2-'+.0 2-'+1 2-в Э 8.Предел последовательности в2 а цифры в двоичной системе записи числа являются соответствующими коэффициентами его разложения по степеням двойки. Замечание 5. При изложении теории действительных чисел можно идти и в обратном порядке: определить действительные числа как бесконечные допустимые десятичные дроби и, используя эту запись, ввести в них соответствующим образом соотношение порядка и арифметические действия.

Характеристики

Список файлов книги