kudryavtsev1a (947413), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Таким образом, на любом интервале числовой оси содержатся как рациональные, так и иррациональные числа. Это свойство кратко выражают, говоря, что «рациональные и иррациональные числа образуют всюду плотные подмножества множества действительных чисел». У и р а ж н е н н е 17. Доказать, что множества точек интервала, отрезка н полуннтервала равномощны. ЗЛ2*. ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В п. 3.6 было показано, что любая числовая последовательность всегда имеет по крайней мере один частичный предел, конечный или бесконечный.

1-1аибольший и наименьший из них 8.12 *. Верхний и нижний пределы последовательностей 87 (ниже будет показано, что они всегда существуют) играют особую роль в теории последовательностей. Здесь понятия «наибольший» и «наименьший» понимаются в смысле расширенного множества действительных чисел Я (см.

п. 2.7), т. е. в частности, наибольшвм (наименьшим) элементом множества Х с: ег может оказаться + оо (соответственно — со). Это будет иметь место тогда, когда + со с Х ( — со с Х). В нашем случае это будет означать, что бесконечность соответствующего знака является частичным пределом рассматриваемой последовательности. Определение 19. Наибольший частичный предел последовательности (х„) называется ее верхним пределом и обозначается !пп х„ а наименьший частичный предел называется нижним пределом и обозначается 1'пп х,. Теорема 9.

У любой последовательности (х„) суи!ествует как наибольший, так и наименьший частичный предел. Доказательство. Докажем существование наибольшего частичного предела. Для заданной последовательности (х„) возможны два случая: либо она ограничена сверху, либо нет. Если она не ограничена сверху, то + со является ее частичным пределом и, очевидно, наибольшим, т. е. 1пп х„ = + оо.

Если же последовательность (х„) ограничена сверху, то снова возможны два случая: либо множество ее конечных пределов, которое мы обозначим через А, не пусто, либо оно пусто. Рассмотрим сначала первый случай. Из ограниченности сверху данной последовательности (х„) следует и ограниченность сверху непустого множества А ее конечных частичных пределов. В силу этого множество А имеет конечную верхнюю грань. Покажем, что Ь = зпр А является частичным пределом, т. е.

что Ь ен А. Действительно, если бы Ь ф А, то существовало бы такое в)0, что в интервале (Ь вЂ” е, Ь+е) содержалось бы лишь конечное число членов последовательности (хо) (в частности, ни одного), и поэтому (почему?) в этом интервале не было бы ни одного элемента А, что противоречит условию Ь=зпр А.

Таким образом, Ь ен А и, следовательно, является наибольшим элементом множества А, поэтому Ь= 1пп х„. н со В оставшемся случае, т. е. когда последовательность (х„) ограничена сверху и множество ее конечных частичных пределов А пусто, то 1!ш х„= — "о (докажите это), т. е. в этом случае множество ее частичных пределов состоит из одного элемента — оо, который тем самым является и наибольшим в этом множестве, т.

е. здесь 1пп х„= 1пп х„= — со. Э З.Предел последовательности Аналогично для любой последовательности доказывается и существование наименьшего (конечного или бесконечного) частичного предела. [ ( ( 1)» 1 ! ( 1)л Упражнение 18. Пусть кл = — -[- и и л = 1, 2, .... Найти 1пп кл, !пп кл, !п1 [х»1, апр [кл!. Теорема 1О. Для того чтобы число а было верхним пределом последовательности (х„), необходимо и достаточновыполнениедля любого числа е) О совокупности следующих двух условий. 1. Суи[ествует номер и, такой, что для всех номеров и'=» и, справедливо неравенство хл ( а+ е, 2. Для любого номера п, существует номер п' (зависящий оги е и от пв) такой, что п')ив и х„) а — е. Условие 1 означает, что при любом фиксированном е)О в последовательности (х„) существует лишь конечное число членов кл таких, что хл- а+е (их номера меньше и,).

Условие же 2 означает, что при любом фиксированном е- О в последовательности (х,) существует бесконечно много членов хл таких, что х„)а — е. Доказательство необходимости. Пусть а= 1пп хл л со и пусть е ) О фиксировано. Если бы на полуинтервале [а+ е, + со) оказалось бесконечно много членов последовательности (х,), то нашлась бы подпоследовательность последовательности (хл), элементы которой принадлежат этому полуинтервалу и которая имеет конечный или бесконечный предел. Обозначим его через Ь. Очевидно, Ьгьа+е) а, что противоречит тому, что а — наибольший частичный предел последовательности (хл).

Свойство 1 доказано. Далее, поскольку верхний предел является и частичным пределом, то существует подпоследовательность (х„»( такая, что !пп хл =а. Почти все члены последовательности (х„») больше а — г и, следовательно, существует бесконечно много членов данной последовательности (х„), больших, чем а — е. Свойство 2 также доказано, Доказательство достаточности. Пусть число а удовлетворяет условиям 1 и 2.

Покажем, что тогда а является частичным пределом. Возьмем е=1ггг, й=1, 2, .... Для каждого натурального й существует номер и, такой, что х„,- а — 1!й (согласно условию 2) и хл, ( а+ 1[н (согласно условию 1). Поскольку для любого й множество элементов хл данной после- 1 довательности, для которых выполняются неравенства а — — ( й 1. <х„(а+ —, бесконечно, то номера гг» можно последовательно (й=1, 2, ...) выбрать так, чтобы п»,<п», при й,(й,. В резуль- 4.!. Дейстаительныа функции тате мы получим подпоследовательность ~х„ь» данной последовательности (х„».

Из неравенства ~ а — х„1(-„- следует, что !пп х„„=а, т. е. что а является частичным пределом последовательности (х„». Покажем теперь, что число а является наибольшим частичным пределом. Действительно, если бы нашелся частичный предел Ь последовательности (х„» такой, что Ь)а, то беря з) О так, что а+а(Ь мы получим, что на промежутке (а+е, + со) будет нзходиться бесконечно много членов последовательности (х„» (а именно почти все члены подпоследовательности, сходящейся к Ь). Зто противоречит условию 1, ! ) Упр аж иеи и я. 19. Доказать, что для того чтобы последовательиость имела предел (коиечиый или бескоиечвый, равиый одному из символов -!.оо иля — со), необходимо и достаточно, чтобы 11!п х„= !пп х„. л ьз 20. Доказать, что 1'пп (хе+уз)== Игп -хл+ ! "п ун и О» а '"~ к Ы 21.

Доказать, что 1пп х„=!п( ( зпр хм»= 11пт ! зпр хм). т !!гп х„=зпр ! 1п! хм(= Игп !' !п! хм~. н !т н ! н со!м)п 5 4. ФУНКЦИИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ йл. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ При изучении тех или иных процессов реального мира (физических, химических, биологичесних, экономических и всевозможных других) мы постоянно встречаемся с теми или иными характеризующими их величинами, меняющимися в течение рассматриваемых процессов. При этом часто бывает, что изменению одной величины сопутствует и изменение другой или даже, более того, изменение одной величины является причиной изменения другой. Взаимо- связные изменения числовых характеристик рассматриваемых величин приводят к их функциональной зависимости в соответствующих математических моделях. Поэтому понятие функции является одним из самых важных понятий в математике и ее, приложениях.

В нашем курсе математического анализа будут сначала изучаться только действительные функции одного действительного аргумента, т. е. функции Г':Е- хс, где Ес:ас. Независимые и зависимые переменные называются в этом случае действительными (вещественными) переменными. Затем появятся функции многих переменных, т. е. функции, определенные на некотором множестве элементов, каждый из которых представляет собой упорядоченную совокупность чисел. Будут также изучаться функпии, прини- д 4.

Функции и их пределы 90 мающие комплексные значения, функции, аргументами которых являются комплексные числа и другие функции более общей природы. Над функциями, принимающими числовые значения (такие функции называются числовыми функциями), можно производить различные арифметические операции. Если даны две числовые функции ) и д, определенные на одном и том же множестве Х, а с — некоторое число (илн, как часто говорят, постоянное), то функция с) определяется как функция, принимающая в каждой точке х ~ Х значение с) (х); функция ~+у — как функция, принимающая в каждой точке х АХ значение )(х)+д(х); ф — как функция, в каждой точке принимающая значение Г(х) д(х); наконец, ))д — как функция, в каждой точке х ~ Х равная ~(х)!д(х) (что, конечно, имеет смысл лишь при д(х) ~0).

Числовая функция ), определенная на множестве Х, называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если множество ее значений ограничено сверху (снизу). Иначе говоря, функция ) ограничена сверху (снизу), если существует такая постоянная М, что для каждого х еи Х выполняется неравенство )". (х) ( М (соответственно ) (х) ~ М).

Функция ), ограниченная на множестве Х как сверху, так и снизу, называется просто ограниченной на этом множестве. Очевидно, что функция ) ограничена на множестве Х атом и только том случае, если существует такое число М)0, что !).(Х))==М для каждого х еп Х. Верхняя (ннжняя) грань множества значений У) числовой функции у =-) (х), определенной на множестве Х, называется верхней (нижней) гранью функции )". и обозначается зцр), зпр), зцр )'(х) ()и(), !и((, !и! ~(х)). Х хщХ Ч Х х-К Более подробно это означает, что, например, Л=зпр~, если, во-первых, для каждого х~ Х выполняется неравенство г(х) ~Л и, во-вторых, для любого Л'~Л существует такое хм~Х, что Цхх)'- Л'. Индекс Л' у элемента множества Х показывает, что он зависит от выбора числа Л'.

В приведенном определении верхняя (нижняя) грань функции может быть как конечной, так и бесконечной. Согласно результатам и. 2.8, функция ( ограничена сверху (снизу) на множестве Х тогда и только тогда, когда она имеет на этом множестве конечную верхнюю (нижнюю) грань. Уп р аж пени и, 1, Доказать, что если функпни ) неотраиичена сверху (соответствепво снизу) на отрезке 1а, Ь), то существует такая последовательность точек х„~п [а, Ь), п=1, 2, ..., что !пп )(х )=-1- са (соответственно и са Ищ ) (х„)= — со). и оэ 4.2, Снособм задания функций 2.

Доказать, что если фуккцкя кеограякчека ка отрезке, то супгествует точка этого отрезка, в каждой окрестности которой функция яеограцкчсна. 3. Построить пркмсв функции, определенной ка отрезке к ксограцкченцой на яем. Будем говорить, что числовая функция 1', определенная на множестве Х, принимает в точке ха е= Л наибольшее значение (соответственно наименьшее), если ) (х) «=-'~(х,) (соответственно )'(х) '=) (ха)) для каждой точки х е— : Х.

В этом случае будем писать ) (хе) = жопах)' или ) (хе) = шах Г (соответственно ) (хс) = ш(пг х х или 1 (хс) = ш(п)). Наибольшее (наименьшее) значение функции называется также ее максимальным (минимальным) значением. Максимальные н минимальные значения называются экстремальными. Очевидно, что если функция ) принимает в точке ха наибольшее (наименьшее) значение, то )'(х„) = зцр ) (соответственно ) (хс) =а = (п1~). Отметим еще, что если заданы множества Х, 1' и соответствие г, ставящее в соответствие каждому элементу множества Х единственный элемент множества г', то этим функция Г, определенная на множестве Х и с множеством значений, содержащимся в множестве г', полностью определена.

Характеристики

Список файлов книги