kudryavtsev1a (947413), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В частности, безразлично, ковкой буквой обозначать аргумент и какой — значение функции. Так, при заданном указанном соответствии ) записи у =) (х), хеХ, уяУ и о=г" (и), иенХ, о я)г, обозначают одно и то же. Например, у=!ои,х, х)0 и х= 1од,у, у)0 обозначают одну и ту же функцию. 4.2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ В этой главе изучаются только действительные функции одной действительной переменной, поэтому остановимся на способах задания только таких функций.
Прежде всего функции могут задаваться при помощи формул: аналитический способ. Для этого используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход. Например, у= ьо, о- ', о= "*, о=Оо> — '. о->ЮЧ г"*. При этом всегда под функцией, заданной некоторой форму. лой, понимается функция, определенная на множестве всех тех действительных -чисел, для которых, во-первых, указанная формула имеет смысл и, во-вторых, в процессе проведения всех необходимых вычислений по этой формуле получаются только действительные числа, причем окончательный результат вычислений для данного числа х из области определения рассматриваемой функции является ее значением в точке х. Так, областью Е 4.
Функции и их пределы 2' для х)0, 1(х) = 0 для х= О, х — 1 для х О. (4. 1) Функция может быть задана также просто с помощью описания соответствия. Поставим в соответствие каждому числу х) 0 число 1, числу 0 — число О, а каждому хм Π— число — 1. В результате получим функцию, определенную на всей вещественной оси и принимающую три значения: 1, 0 и — 1. Эта функция имеет специальное обозначение з(дпх *' и, конечно, может быть записана с помощью нескольких формул: 1 для х~О, з)япх= 0 для х=О, — 1 для х~О.
Другой пример: каждому рациональному числу поставим в соответствие число 1, а каждому иррациональному — число ноль. Полученная функция называется функцией Дирихле ' "!. Отметим, что всякая формула является символической записью некоторого где-то описанного ранее соответствия, так что, в конце концов, нет принципиального различия между заданием функции с помощью формулы или с помощью описания соответствия; это различие чисто внешнее. Следует также иметь в виду, что всякая вновь определенная функция, если для иее ввести специальное обозначение, может служить для определения других функций с помощью формул, включающих этот новый символ. Если речь идет о действительных функциях одного действительного аргумента, то для наглядного представления о характере функциональной зависимости часто строятся графики функций. Графиком функции у=! (х) (х и у — числа) называется мноасество точек на плоскости с координатами (х, !'(х)), хе= Х (Х— как всегда, облав!ль определения функции).
«' 5 ! 8 и и т — но латыни означает «знак» *«' Л. х«и р и х л е (!808 — !858) — немецкий математик. существования функции 1(х) = является интервал ( —.1, 1), х+!х~ 1' ! — ха хотя зта функция и принимает действительные значения на поаупрямой х ~ 1 с «выколотой точкой> х= — 1. Иногда функция задается с помощью нескольких формул, например 4.Х Сяособм задания фуяяций Так, график функции (4.1) имеет вид, изображенный на ри, )з, р Ф фг и а=1тЧТй 2 *~ та ных точек (рис. 14).
Множество точек ((х, у): х АХ, у- 1(х)) называется нодграфиком данной функции )', а множество ((х, у): х ~ Х, у=--.Г(х)) ее подграфикохс. Графическое изображение функции также может служить для задания функциональной зависимости, Правда, зто задание будет приближенно, потому что измерение отрезков практически можно производить лишь с определенной степенью точности. Примерами графического задания функций, встречающимися на практике, могут служить, например, показания осциллографа, Рис. 14 Рис. 13 У и р а ж и с и и я. Построить графики фуикиий; 4.
у=2х+1. 5. у=ах+Ь, 6. у=а/х. 7. у=2ха. В. у= — а+ух+с, 9, у=2". 10. у=(1/2)х. 1!. у=!ах. 12. 9=1одиа х. 13. у=а!и 2х. 14. у=2соз(ах+2)+1. 15. у=!а Зх. Функцию можно задать еще с п о м о щ ь ю т а б л н ц, т. е. для некоторых значений переменной х указать соответствующие значения переменной у. Данные таблиц могут быть получены как непосредственно из опыта, так и с помощью тех или иных математических расчетов.
Примерами такого задания функций являются логарифмические таблицы н таблицы тригонометрических функций. Наконец, при проведении численных расчетов на компьютерах функции задаются с помощью программ для их вычисления при нужных значениях аргумента или требуемые значения функции в готовом виде закладываются тем или иным способом в память компьютера. Э Л.
Фуихиии и их предел»г х»+ 1 2О, у= —. ха 4' х» (х — 1)» 21. у= 16. у = -- с12 2х 1 2 1З, у=3 агссаа — -1-1. х 2 19, у=агс1ях. 17, у=агсыпх, Рассмотрим более подробно некоторые специальные аналитическяе способы задания функции. Неявные функции. Пусть дано уравнение вида г (х, у) = О, (4.2) Сложная функция отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ ее задания: может случиться, что одна и та же функция может быть задана как с помощью компози- т.
е. задана функция Р(х, у) двух действительных переменных х и у, и рассматриваются только такие пары х, у (еслн они существуют), для которых выполняется условие (4.2). Пусть существует такое множество Х, что для каждого х, ~ Х существует по крайней мере одно число у, удовлетворяющее уравнению Г(ха, у)=.0. Обозначим одно из таких у-ков через уа и поставим его в соответствие числу хаен Х. В результате получим функцию 1, определенную на множестве Х и такую, что г'(ха, 1(ха))=0 для всех х,«=Х, В этом случае говорят, что функция 1 задается неявно уравнением (4.2).
Одно и то же уравнение (4.2) задает, вообще говоря, не одну, а некоторое множество функций. Функции, неявно задаваемые уравнениями вида (4.2), называются неявными функциями в отличие от функций, задаваемых формулой, разрешенной относительно переменной у, т. е. формулой вида у=((х). Термин «неявная функция» отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ ее задания. Одна и та же функция может быть задана как явно, так н неявно. Например, фУнкции 1»(х) =3~Т вЂ” х' и 1»(х) = — 1/Т вЂ” х' могУт быть заданы также и неявным образом с помощью уравнения ха+у' — 1=0 в том смысле„что они входят в совокупность функций, задаваемых этим уравнением. Сложные функции. Напомним, что если заданы функции у=) (х) и г =г (у), причем область задания функции г содержит область значений функции г, тогда каждому х из области определения функции г естественным образом соответствует г такое, что г=г(у), где у=)(х).
Эта функция, определяемая соответствием г = Е 1'1" (х)1, называется, как известно, сложной функцией или композиг(ией (суперпозииией) функций 1 и г и обозначается через г 1, т. е. (г 1)(х) '= — 'г (((х)). 4.3. Элементарные функции и ик классификация ций каких-либо функций, так и без их помощи. Например, сложная функция г = 2н, у = 1ояе (1+ з!пе х), заданная с помощью суперпозиций показательной и логарифмической функций, может быть задана и без этой суперпозиции г=1+з!пех.
Подобным образом можно рассматривать сложные функции, являющиеся суперпозицией более чем двух функций, например ! ! функцию ит=з!и!Е(1+=! можно рассматривать как.суперпозицию следующих функций: то=э!по, о=!ди, и=1+г, г=1(у, У вЂ” 1Гх. 4.3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ Функции: постоянная у=с, с — константа, степенная у=х", показательная у=ак (а)О), логарифмическая у=!од,х (а- О, а~1), тригонометрические у=з!пх, у=созх, у=!як, у=с1ях и обратные тригонометрические у =: агсз1п х, у = агссоз х, у = = агс(йх и у=агсс1ях — называются основными элементарными функциями. Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помои!то формулы, содержатцей линев конечное число арифметических операций и суперпоэиций основных элементарных функций, наливается просто элементарной функцией.
Под областью существования элементарной функции в соответствии с общим соглашением о функциях, заданных формулами (см. и. 4.2), обычно понимают множество всех действительных чисел х, для которых, во-первых, формула, задающая рассматриваемую элементарную функцию, имеет смысл, и, во-вторых, в процессе проведения всех необходимых вычислений по этой формуле получаются только действительные числа. Выше рассмотренные функции, задаваемые формулами у =ах+6, у=ах', у=3/Т вЂ” х', у=1+3'!Есоз2пх, у = = з!п!п(1+ —.), у= ' (заметим, что !х~ =утке — элемен)т х) у ! — х' тарная функция), являются элементарными функциями. Элементарные функции обычно делят на следующие классы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
