kudryavtsev1a (947413), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

л л л а Приведем еще один пример. Будем говорить, что 1пп )(х) = = А+О, если для любого О~О существует такое 6= О, что для всех х< — 6 выполняется неравенство А=-1" (х)<А+е. 10б В.б. Обобщение пинегин предела функции Нетрудно сформулировать равносильное определение в терминах пределов последовательностей. Встречаются и различные другие подобные сочетания предельных значений аргументов и функций. Формулировка определения предела функции для каждого отдельного случая, хотя часто и удобна в конкретных ситуациях (поэтому ее нужно уметь делать), мало приспособлена к рассмотрению общих вопросов, так как требует проведения специальных доказательств, соответствующих данным определениям. Поэтому целесообразно ввести одно единое определение предела функции, конечного и бесконечного, в данной «точке».

Напомним, что окрестностью точки а называется всякий интервал вида (х, — б, х,+ 6), 6 ) О. Правосторонней окрестностью У (хе+ О, 6), точки х, называется полуинтервал вида (хе, х -1-6), а левосторонней (й(х, — О, 6) — полуинтервал (х, — 6, х,], 6 ) О. По аналогии с определением проколотой окрестности У(хе, 6) в п. 4.4 определим проколотые окрестности для х,+ О, х, — О, сс, +:хэ, — сс; 0(хе+О, б) ' — "(хе. ха+6),=У(хо+0 6)',(хе) с)(х — О, 6) е=' (хе — 6, х ) = (/ (хе — О, 6) ; (х~), 0 (сс, 6) ='-" (х: 1 х ~ ) 6) =- У (сю, 6) ", (+сиз) " ( — со), и(+, 6)'=".(х: х)6)=и(+, 6),(+.

), Ц ( — сс, 6) е='-' (х: х « — 6) = (У ( — оо, 6) ' ( — со), б )О Как видно из сформированного определения, проколотые окрестности любых элементов х„х,+О, х, — О, оо, +со или — со получаются из их обычных окрестностей посредством удаления из них соответствующих элементов. При этом оказывается, что во всех перечисленных случаях элементами проколотых окрестностей являются т о .ч ь к о д е й с т в и т е л ь н ы е ч и с л а. Для простоты формулировок здесь под термином «точка» будем понимать либо действительное число х„либо один из символов х,+О, х,— О, со, +ос, — оо.

Под записью х~а, в случаях а = хе +: 0 будем понимать х Ф хе и считать, что — со+ 0 = — оо и +со — 0 =+ сю. Для краткости иногда обычную и проколотую 6-окрестности точки а будем соответственно обозначать через (у (а) и у (а). Теперь можно сформулировать общее определение предела функции. Определение 6. 'Тачка А называется пределам функции ) в тачке а и пщивтся 11ш 1" (х) = А, если для любой окрестности У(А, е) к и тачки А существует такая проколотая окрестность 0 (а, 6) точки а, чта )'(() (а, б)) с: У(А, е). 10б Э 4.

Функции и их пределы Заметим, что функция 1, имеющая предел в точке а, опреде- лена в силу определения 6 в некоторой проколотой окрестности этой точки. Чтобы доказать ее существование, достаточно взять какое-либо конкретное в -» О, например, в = 1; тогда, если 0(а, б,) — проколотая б,-окрестность, соответствующая а=1 со- гласно определению 6, то функция ) и будет определена во всех точках этой проколотой окрестности. Мы уже встречались с подоб- ным рассуждением в и. 4.5 при доказательстве эквивалентности определений 2 и 4 предела функции. Нетрудно сформулировать определение предела функции в точке, равносильное определению 6, в терминах предела последователь- ности.

Определение 7. Точка А называется пределом функции 1'в точ- ке а, если функция )' определена в некоторой проколотой окрест- ности () (а) п)очки а и если для любой последовательности х, ~(1(а), п=1, 2, ..., !!ш хи=а, имегпг л«гсто !пп )'(х„) =А. и и Аналогично случаю а=х, ен Я и конечного предела А, рассмот- ренному в и. 4.5, доказывается эквивалентность определений 6 и 7. Для общего определения предела функции в точке справедливо обобщение леммы из п.

4.4 в следующем виде. Лемма. Для того чтобы функция 1', определенная в некоторой проколотой окрестности (7(а) точки а имела в втой точке конеч- ный или бесконечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любой последоватгльноапи х„е= (1 (а), п = 1, 2,, имеюи(гй своим пределом величину а, последовательность значений функции (1(хп)) имела конечный или бесконечный предел. Необходимость сформулированного условия следует непосред- ственно нз определения 7, а доказательство его достаточности получается буквальным повторением леммы и. 4.4, если только под встречающимися там пределами понимать конечные или бесконечные пределы. В дальнейшем под пределом функции всегда понимается ко- нечныйй предел, если не оговорено что-либо другое.

При этом, если предел функции равен А +О или А — О, где А — число: А енл«, то этот предел также называется конечным. У п р а ж н ен и н. 22. Доказать равносильность определений 6 н 7. 23. Доказать, что если Р(х) — многочлен степени и~1, то Пгп Р(х)=оо к «о н 1ии Р (х) =со, х +ш йй. СВОЙСТВА ПРЕДВЛОВ ФУНКЦИЙ Все функции, рассматриваемые в этом пункте, определены в некоторой проколотой окрестности 0(а)=(7(а, б,) заданной точки а.

Напомним, что под «точкой» понимается либо число х„ либо один из символов х,+ О, х, — О, со, +со, — оо. 4.7. Свойства пределов функций 107 (4.16) 1пп[[(х)+а(х)) =!!гп[(х)+!пи о(х), (4.16) 1нп! (х)д(х) =!!го)'(х) 1!щд(х), Ипт ! (х) У (х) к-а е !х) !пп е (х) ' 1пп — = (4.17) 1'. Если у функи,ии в -заданной точке сущесгпвует конечный предел, то в некоторой проколотой окрестности зпюй точки функция ограничена. Доказательство. Пусть у функции ) существует конечный предел 1!пт )(х)=А.

Тогда согласно определению б для любого к а е)0, в частности, для в=1, существует такая проколотая окрестность У(а, 6) точки а, что для всех х ~ У(а, 6) имеет место 7(х) ~У(А, 1), т. е. выполняется неравенство А — 1с.!(х)(А+1, Это и означает ограниченность функции 7 на проколотой окрестности ()(а„б). [ ) 2'. Если у функции в заданной точке существует конечный, не равный нулю предел, пю в некоторой проколотой окрестности этой точки функция имеет пют же знак, что и указанный предел (в частности, она не равна нулю). До к аз атель ство. Пусть существует конечный предел 1пп г'(х) = А и для определенности А ) О. Тогда согласно определех а нию 6 для любого е)0, в частности для а =А (в случае А (0 надо взять г = — А) существует такая проколотая окрестность У(а, 6), что для всех хя()(а, 6) имеет место !(х) АУ(А, А), т.

е. выполняется неравенство А — А ([(х) ( А+ А. В частности, 1(х)) О. ! ) 3'. Если 7(х) =с — постоянная, х ен()(а), то !пи 7(х) =с. 4'. Если ! (х) га А, х ~ У(а), и существует конечный или определенного знака бесконечный предел ! пп Г (х), то 1пп ) (х) ~ А. х а к а 5'. Если тр(х) ~)" (х) ~ф(х), х ~(л'(а) и существуют конечные или бесконечные определенного знака пределы 1пп тр(х) =!!го ф(х)= к а к а = А, то ! пп [(х) = А. х а б'. Если существуют конечные пределы!пп 7(х) и 1)гну(х), то х а к а суи!ествуют и конечные пределы !пп [! (х)+д(х)1, 1пп 7(х)у(х), а к а х а если !пи о(х) чьО, то — и предел 1)т —, причем ! (к) х а х аа!) сев х у Функции и их пределы Следствие.

Если существует 1!гп !" (х), то для любого числа се-:Я кха 1! гп с! (х) = с Н ш !" (х). х а к а Заметим, что частное ~(х))Е(х) при условии, что !пид(х) ть0, к а конечно, может быть не определено на всей исходной проколотой окрестности сг(а, б„). Однако, согласно свойству 2' нз условия ! пп д(х) Ф 0 слелует, что существует такая проколотая окрестность х а сх'(а, б), 0<. б=г='бсь на которой у(х) ~0, и потому на ней имеет смысл частное ~(х)(д(х).

Предполагается, что в формуле предела частного рассматривается сужение функций ) и у на указанной проколотой окрестности (?(а, б). Свойства 3' — 6 могут быть доказаны одинаковым методом, основанным на соответствующих свойствах предслов последова- тельностей (см. и. 3.9), Докажем, например, формулу (4.!6).

Пусть А -' 11 ш !' (х), х а В-'!!го у(х). Тогда, согласно определению 7 предела функции к а (см. п. 4.6), для любой последовательности х„~ () (а), п = 1, 2, ..., йш х„ = а, справедливы равенства а аа А =- 1 пи )' (ха), В = !пп д (хх). Поэтому вспоминая, что предел произведения сходящихся последовательностей существует н равен произведению их пределов (см.'п. 3.9), получаем, что существует предел 1пп с'(х„)д(х„) =- АВ, а а причем этот предел не зависит от выбора указанной последовательности (х„). Это согласно тому же определению ? и означает, что 11гп )' (х) д (х) =- АВ =! ! п1 7' (х) 1! гп у (х).

~~ х а х-а 4хт*. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОН ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРЕДЕЛОВ Здесь будет доказана теорема, полезная при решении задач на нахождение пределов функций. Теорема 3 (о замене переменной для пределов функций). Пусть существуют конечные или бесконечные пределы !!гп с (х) = Ь и к а 1! гп Р (у). Пусть, кроме того, в некоторой проколотой окрестнослт и-ь токи а имеет место ((х) ~'= Ь, спогда в точке а существуесп предел сложной функции р() (х)) и 1пп Р(((х)) =1сгп Р(у). (4.!8) 4.аа.

Зелена нереиеннод ари виниелении нределов Доказательство. Из условий теоремы следует, что существуют такие проколотые окрестности У(а, 6,) и У(Ь, е), что функция 7 определена на У(а, 6,) и при хин У(а, 6,) р (х) Ф Ь, (4. 19) а функция и определена на У(Ь, е).

Из существования предела 1!гп 1(х) = Ь согласно определению 6 к а (см. п. 6) следует существование такой проколотой окрестности сг(а, 6), что 1(У(а, 6)) ~ У(Ь, е). (4.20) При этом можно выбрать 6~6„ибо если условие (4.20) выполнено для некоторого 6 ) О, то оно выполнено и для всех меньших положительных 6.

В силу условия (4.19) из (4.20) следует, что множество !'(У (а, 6)) принадлежит не только окрестности У(Ь, е), но и соответствуюцгей проколотой: г'(У(а, 6) ~ У(Ь, е). (4.21) Поэтому для любого х ~ У(а, 6) значение ) (х) принадлежит области определения функции г" и, следовательно, для любого хенУ(а, 6) определена сложная функция Р()(х)) или, как говорят, композиция и р. Пусть, теперь, последовательность х„а=У(а, 6), а=1, 2, ..., такова, что !пи х„=а и пусть у„~='~)(х„).

Тогда в силу определения предела 7 (см. п. 4.6) !пну„=Ь, а в силу (4.21) у„енУ(Ь, е). Поэтому согласно тому же определению 7 из существования предела 11п1 Р(у), который обозначим через А, следует, что е-в 1 пи г Д (х„)) ='11т Г (у„) = А. Поскольку это верно для любой указанной последовательности «х„), то это и означает, что !пи г ()(х)) =А. Д к а 3 а м е ч а н и е. Пусть функция р определена в некоторой проколотой окрестности У(а, 6) и отображает ее взаимно однозначно на проколотую окрестность У(Ь, е). Следовательно, на У(Ь, е) определена однозначная обратная функция )-', причем при хй У(а, 6) имеет место неравенство р(х)=~Ь, а при у ~У(Ь, е) соответственно, г'-'(у)~а. Пусть 1пп)(х) =Ь и 1пп)-'(у)=а.

к а е-в Пусть, кроме того, на У (Ь, е) определена функция г", и потому нв У(а, 6) определена композиция и р. Тогда предел 1!гпг(у) е-е Э В. Функции и их пределье ПО существует в том и только том случае, когда существует предел 1ппР[((х)1, причем если они существуют, то равны между собой. к а То, что из существования.

предела 1пп Р(у) следует существое ь ванне предела 1пп Р (? (х)), и их равенство составляет утверждение к а теоремы 3. Поэтому надо доказать только обратное утверждение. Оно при сделанных предположениях также вытекает из теоремы 3, примененной к композипии (Р ?) .Г' функций )-' и Р ?". Действительно, согласно этой теореме существует предел 1пп(г" !) Д-'(у))=!пи(г".!) (х), но (р ?) ?-'=Р ° (? ° ?-') = Г, тем а-ь к а самым существует предел 11щр(у). [ ) и-ь 4.9. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ Все функпии, рассматриваемые в этом пункте, определены на некоторой проколотой окрестности ()(а) точки а.

Характеристики

Список файлов книги