kudryavtsev1a (947413), страница 26
Текст из файла (страница 26)
последовательность (7(х„)) удовлетворяет условиям критерия Коши для последовательностей и, следовательно, сходится (см. п. 3.7). Таким образом, для каждой последовательности х„~н(7(й), и = 1, 2, ..., удовлетворяющей условию (4.28) последовательность (1'(х„)) сходится. Отсюда, как известно (см. лемму и. 4.6), следует существование конечного предела 1ип 7(х). ( ) е а В случае, если а = х, является числом, то условие Коши можно перефразировать следующим образом, Доказательство достаточности. Пусть функция ) такова, что для любого е)0 существует такая проколотая окрестность ()(а, 6), что для всех й.!.
Точки непрерывности и точки разрыва функций гтй $5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ эд. ТОЧКИ НЕПРВРЫВНОСТИ И ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИЙ Определение 1. Функция !', определенная в некоторой окрестности (у(хо) тонки х„назьсвается непрерывной в этой пюцке (или, что то же, при х=х,), если 11 ш ~ (х) = ! (хо), к к, (5.1) Подчеркнем, что если функция ! непрерывна в некоторой точке, то согласно данному определению она определена в некоторой окрестности этой точки (обычиой, а не проколотой, как это было в случае определения предела функции). В дальнейшем (см.
п. 19.3) будет дано обобщение понятия непрерывности функции в точке, в котором не будет предполагаться, что функция стпределена в некоторой окрестности этой точки. Согласно определению предела функции в точке в терминах последовательностей (см. и. 4.4) определение непрерывности функции в точке х, равносильно тому, что для любой последовательности х„ е= (у(х ), п = 1, 2, ..., такой, что 1пп х„= хо, н со (5.2) "' Мы, естественно, причисляем понятие предела функции при х-и+оз и при х-н — со к понятны одностороннего предела.
Для любого е ) О существует такое 6 = 6 (е) ) О, что для любых х' и х", Удовлетвоуающих УслсвиЯм )х' — х,~<6, !хн — хо)<6, х' ~ х„х" Ф хо, выполняется неравен ство ! ) (х") — ! (х') ( - е. В случае же, когда а=со, условию Коши можно придать следующий вид. Для любого е ) О сущеспгзуепг такое 6 = 6 (е) ы О, нтп для любых х' и х", удовлетворяющих неравенствам ~х')»6, (х" (~6, выполняется неравенства ~ ~ (х") — !'(х') ~ < е. Следует отметить, что эти два критерия существования предела функции, относящиеся к разным случаям и имеющие разную формулировку, благодаря удачно выбранной терминологии (понятию окрестности) получили единое доказательство.
Для случая односторонних пределов" условие Коши можно перефразировать без терминов окрестности следующим образом: для любого е- О существует таксе Ч (В<а в случае предела слева и т1) а в случае предела справа), что для любых х' и х", удовлетворяющих условию т1<х'<а, т1<х" <а, или, соответственно, условию а<х'<т), а<хн<т1, вьгполняется неравенство ~)(х") — !'(х') ~ <е.
б б. Непрерывность Функции е точке последовательность ()(х„)) сходится и 1)гп ) (хи) =1(хо). (5.3) 1 х — хо~ < 6 выполняется неравенство (рис. 19) ~ Пх) — ) (. о) ~ = (5 5) рис. ту Отметим, что в определении непрерывности (5.2) — (5.3) вместо проколотой окрестности У (х,), как это было при определении предела в п. 4.4, была взята обычная окрестность У(хо), а в определении непрерывности (5А) — (5.5) было сделано равносильное изменение: отброшено условие хатха. Дело в том, что в случае, когда предел функции в точке равен значению функции в этой точке, определение предела оказывается равносильным, брать ли обычные или проколотые окрестности или, что то же самое, требовать или нет выполнения условия к=~хо.
Например, в случае (5.4) — (5.5) добавление значения х=х, ничего не меняет, так как и условие (5.4) и условие (5.5) выполняются при х=х, для любого 6) 0 и любого е'- 0: (х,— х,)=0<6, )~(х,) — )(х,)(=0<а. У п р аж не н и е 1. Доказать, что если в определении предела функции у в точке х, в смысле п. 4.4 заменить проколотую окрестность на обычную зкцц, в соответствующем определении п. 4.5 отбросить условие хохл то получится определение, эквивалентное определению непрерывности функции 1 в точке х. Например, доказать, если функция 1 определена в некоторой окрестности гу(хо) точки х, и если существует число А, обладающее свойством, что для любого е ) О существует такое б ) О, что для всех х, удовлетворяющих условию',х — хо ~ <б, выполняется неравенство Н(х) — А!<з, то фуннция г непрерывна в точке хо и А =1(хо), Обратна, если функция 1 непрерывна в точке хо, Понятие непрерывности функции, сформулиРованное в терминах последовательностей, отражает собой обстоятельство, 'обычно встречающееся на практике и состоящее в том, что при косвенном измерении некоторой величины у с помощью параметра х, от которого эта величина д непрерывно зависит: у=) (х), мы имеем объективную уверенность, что чем точнее мы будем получать (вследствие каких-либо экспериментов, измерений или расчетов) последовательно значения х„, и = 1, 2, ...
аргумента х, тем точнее будут получаться и соответствующие значения у„= =) (х„) величины у. Согласно же определению предела функции в точке на языке е и 6 (см. п. 4.5), условие (5.1) равносильно условию: для любого е)0 существует такое 6=.6(е) )О, уттзг что для всех х, удовлетворяющих условию (5.4) бии Точки непрерывности и точки розрьсво функций ТТТ т е имеет место (бл), где предел понимается в смысле 4 4 и, следовательно требуется, что к~лен то число А=)(хо) обладает вышеуказанным свойством, Определение непрерывности функции ) в точке х, можно еще перефразировать так: функция )(х) непрерывна в точке х„если, какова бы ни была заданная степень точности е) О дззя значений функции, существует такая степень точности для аргумента 6 = 6(е) )О, что коль скоро мы выберем значение аргумента х, равное х, с точностью 6, т.
е. удовлетворяющее неравенству (5.4), и возьмем в нем значение функции Т, то мы получим значение Т(хо) с заданной степенью точности, т. е. будет выполнено неравенство (5.5). Как и в случае определения предела, определение непрерывности функции в точке можно дать на я~ыке окрестностей (см. условия (4.5)). Функция Т" непрерывна в точке хо, если для любого е )О найдется такое 6) О, что для всех х е= У (х,, 6) имеем 1 (х) еи У (7 (хо), е); иначе говоря, если для любой окрестности У (у,) точки уо = г" (хо) существует такая окрестность У (хо) точки х„ что выполняется включение (5,5) Наконец, перенося )(хо) в равенстве (5.1) в левую часть, внося 1(х„) под знак предела и замечая, что обозначение х- к„ при пределе функции равносильно обозначению .к — х,— О, получаем 1пп ()' (х) — 1" (хо)1= О (5.7) к — к, О Разность х — х, называется приращением аргумента и обозначается Лх, а разность Т'(х) — )(хо) — приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента Лх, и обозначается Лу; таким образом, бх= х — хо, бу= 1(хо+ Ах) — ) (хо).
(5.8) В этих обозначениях равенство (5.7) перепишется в виде 1пп Ау=О, (5.9) ак о т. е. говоря описательно, непрерывность функпии в точке означает, что бесконечно малому приращению агрумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Примеры. 1. Функция 7(х)=с, где с — постоянная, непрерывна на всей числовой прямой. В самом деле, для любого х, ~ Я имеет место 1пп Т(х)= 1(п1 с=с=)(х,).
( ) Пз у 5. Непрерывность Функции в точке 2. Покажем, что функция ~(х) =-- непрерывна в каждой точке 1 х хо~а О. В самом деле, 1 1 Ах сзУ = ! (Хо+ Гзк) — 1 (Хо) — — — — —— хо+ Ьх хо (хо+ Ь") хо 1 откуда при хо~О имеем: !'нп Ьх 1пп сгу= — 1пп Ьх ьх-о Π— — — — О, ь о ь о (хо+ах) хо 1еп (хо+ах)хо хо Ьх О что и означает, согласно (5.9), непрерывность функции ) (х) = 1/х в точке хо. 3. Покажем, что функция 1'(х) = ! з)ивх ! (см. рис. 13) не является непрерывной в точке х, = — О. Действительно, Игп )з)япх(= х О =1, и этот предел ие совпадает со значением !з)дпО(=0. У и р аж и ен и я. 2.
Выяснить, с какой степенью точности достаточно взять значение аргумента функции х' в данной точке х чтобы получить значение функции с заданной степенью точности в ) О. 3, Выяснить, будет ли функция хсоз — при х~о, 1 1(х) = х О при х=о непрерывной в точке х=о, Определение 2. Пусть теперь функция Г определена на интер- вале (а, 6), кроме, быть может, точки х,~(а, 6). Точка х, называется точкой разрыва функции 1", если функ- ция 1" не определена в точке х„или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной. У и р а ж н е н и е 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
