kudryavtsev1a (947413), страница 30
Текст из файла (страница 30)
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 7Д ИНОГОЧЛЕНЫ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЪНЫЕ ФУНКЦИИ Теорема 1. Любой мноеочлен непрерывен в каждой точке. В самом деле, функция у=с, где с — постоянная, непрерывна, что показано в примере 1 п. 5.1. Функции вида у=х' также непрерывны для каждого фиксированного и ен й( в любой точке х. Зто показано в п. 6.3 (см.
приведенный там пример). Всякий же многочлен получается из функций вида у =с и у=х" с помощью сложения и умножения и поэтому является непрерывной функцией в каждой точке (см. п. 5.2). Теорема 2. Всякая рациональная функция Р (х)1(е (х), (Р (х) и 9(х) — мноеочлены) непрерывна во всех точках, в копюрых ее знаменатель не обращается в ноль. Зто непосредственно следует нз того, что многочлены Р(х) и (с(х) непрерывны в каждой точке и частное непрерывных функций также непрерывно во всех точках, где делитель не обращается в нуль (см.
и. 5.2). Зту теорему весьма удобно использовать при нахождении пределов рациональных функций. Пусть требуется найти 1!гп —. Р (х) 1) (х) Для этого нужно сначала произвести, если, конечно, это возможно, сокращение дроби Р (х)/Я (х) на множитель (х — х,)" с наибольшим возможным показателем пгь1. Если получившуюся рациональную дробь обозначить Р,(х)Я,(х), то (см. п. 4.4) Р(х) . Р,(К) х х н(Х) к х~~1(~) 1!ш — = 1!гп —.
а 7. !т'енрерывноетр элементарных функнаа 122 Если 9т (х,) ~ О, то, в силУ теоРемы 2, этот пРедел. Равен пРосто Р, (х,)/Я, (х„), если же 12, (х„) = 0 (и, значит, Р, (хв) ~ О, ибо в противном случае дробь Р,(х)Я~,(х) можно было бы сократить ца (х †' х,)), то этот предел равен со.
Примеры. 1. !пп = !пп — = — —. хе — 1 „! х-1-1 2 хе — х — 2 . х — 2 2. !пп, = !!тп:=со. хе — 1 х 1х — 1 7.2. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ, ЛОРАРИФМИЧЕСКАЯ И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ Напомним свойства степени а', где а)0, г — рациональное число: г = р!у, р и д — целые, д ФО. 1 . Пусть геСг,.
Если а-»1, то а' <агы а если а(1, то а' )а". аг,, аг аг, -'г г„ 3' (а' )о = а' '* 4'. (аЬ)' = а'6'. Здесь везде г, г, н г,— рациональные числа. Вспомним еще, что а'=-1. Из свойства 2' следует, что а' а-'=ив= 1; откуда 1 (7. 1) Далее, из свойства 1' н из (7.1) вытекает, что а')0 для любого рационального г. Действительно, если г ) 0 и а- 1, то в силу 1' а'-=а'= ! > О. Отсюда, согласно (7.1), имеем а-г= — ) О. 1 Аналогично доказывается неравенство а' >О при а( !. Определим теперь степень а' для любого действительного х и а О. Предварительно напомним, что (см.
в и. 3.9 пример 3, формулы (3.20) и (3.21)) !1П! аин — !тц! а — !/н — !. (7,2) Лемма. 17усть а ) О, Для любого е ) 0 существует такое 6 = 6(е) ) О, что для всех рат1иональных чисел 11, удовлетворяющих ис товию ! (т ! 6, выполняется неравенство ! а" — 1, '( е. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала а ) 1. Из (7.2) следует, что для каждого фиксированного е)0 существует такое натуральное число н„ что )аив — 1((е и !а "" — !!~а (7. 3) 7.2.
Пакаэательная, логарифмическая и степенная функции следовательно (см. свойство 1' степени), — <а '" <а " <1+е (7,4) а" = 1 пи а'л. л сл (7.5) Это определение корректно в том смысле, что указанный предел всегда существует и не зависит от выбора последовательности (г„), сходящейся к числу хеиА'. Докажем это. Пусть последовательность рапиональных чисел (г„) сходится к числу х. Покажем, что последовательность (а'л) удовлетворяет условиям критерия Коши (см. п. 3.7) и, значит, является сходящейся последовательностью. Для этого необходимо оценить разность ~ал от~=от!ап т !) (7.6) Последовательность (г„) сходится и, следовательно, ограничена (см. п. 3.4), поэтому существует такое число А, которое без ограничения общности можно считать рациональным (почему?), что — А <гл< А.
Отсюда в слУчае а- 1 имеем а " -а'п~ал а в случае а<1 — соответственно а ")а' )а, п=1, 2, ..., поэтому при любом а 0 существует такое число В, что а'я<В, п=1, 2, (7.7) (В=ал при а)1 и В =.о-л при а<1), т. е. последовательность 1а' ~ ограничена сверху числом В. Далее, по лемме для любого фиксированного е - 0 существует такое 6=6(е))0, что для всех рациональных г, удовлетворя!ощих условию ~г~ < 6, выполнено. неравенство Если Ь вЂ” рациональное число и !й~ < †, т. е. — — < 6 < †, 1 1 1 "л пе то а та<а <а глл и, значит, 1 — е<а" <1+е. Таким образом, если 6 рационально и ~6!<6, где 6= —, то !аь — 1~<в. 1 ал Для а 1 лемма доказана.
Для а<1 она доказывается аналогично, только соответствующие неравенства, согласно свойству 1' степени а' при а<1, надо заменить обратными. При а=1 лемма очевидна. ) ) Определим теперь степень а" для любого действительного х. Определение 1. Пусть а) О, а х — произвольное действипиельное число.
Пусть, далее, (гл) — последовательность рациональтнх чисел, сходящаяся к х (для любого х в- :)с такая последовательность всегда суи(ествует, сн. следствие леммы 1 в п. 3.10). Положим по определению З 7. Непрерывность элементарных сруннцна Из сходимости же последовательности (г„) в силу критерия Коши (см. п. 3.7) следует, что для найденного 6)0 существует такой номер пь, что для всех п==ссь и т)ль выполняется неравенство ~г„— г„~(6 и, значит, в силу (7.8) неравенство (7.9) Из (7.6), (7.7) и (7.9) вытекает, что для всех и'- пь и тзьпв справедливо неравенство ~а'» а'ы ~(з, откуда в силу критерия Коши следует, что последовательность (са'») сходится. Пусть теперь (г„') — другая последовательность, сходящаяся к х.
Покажем, что последовательности вса'») и !а"") сходятся к одному и тому же пределу. Составим новую последовательность: г ,',= ",' ' я=1„2,,... (7.!О) гь, если и = 2я, Очевидно, что 1ппг„'=х, поэтому в силу доказанного существует предел 1пп а"". Предел же любой сходящейся последовательности совпадает с пределом любой ее подпоследовательностн, поэтому 1пп а'"= 1нп а'"= 1ппа'». (7.11) Корректность определения а" доказана. Определение 1 естественно в том смысле, что в случае, когда х является рациональным числом г, то степень а" совпадает со значением а' в ранее известном смысле. В самом деле, если х=г— рациональное число, то в качестве последовательности рационалы;ых чисел г„, и = 1, 2, ..., сходящейся к х=г, можно взять г„=г, а=1, 2, .... Тогда согласно определению 1 а = !1п1 а' = 1пп а'=а'.
» ьь » сь Определение 2. Пусть задано некоторое число а О. Функция а.', определенная для всех х ~ )с, называется показательной функцией с основанием а, Согласно определению 1'=1 для всех действительных х. Поэтому случай а=1 не представляет интереса для изучения, и в дальнейшем мы не будем его рассматривать.
Теорема 3. Показательная функция а" (а ) О) обладает следующими свойствами. 1'. При а)1 она строго возрастает, а при а = 1 — строго убывает на всей числовой оси. 7.2. Показательная, яогнрифяическня и степенная функции Ив 2'. а" аз=а»ча для любых действительных х и у. 3'. (ах)з=ахз для любых действительных х и у. 4'. Она непрерывна в каждой точке числовой оси. Доказательство свойства 1'. Пустьдля определенности а>! и х<у.
Существуют (почемур) такие рациональные числа г' и г", что х<г'<ге<у. Выберем какие-либо последовательности рациональных чисел !г'„) и (г„") так, чтобы 1!пт гх=х, 1пп г„=у и чтобы г„' . -г' <г" <г„" для всех я =1, 2, .... Тогда а"я<а' <а" <а'"; перейдя к пределу при и — со, получим а' == а"' < а"' ~ аа. (7. 12) Таким образом, если х<у, то а» а", что и означает строгое возрастание функции а' при а) 1.
Случай а<1 рассматривается аналогичным образом. Доказательство свойства 2'. Пусть (г„') и (г„) — такие последовательности рациональных чисел, что !1гп г„'= х, 1!пт г,„" = х со л ос =у и, значит, 1пп (г„'+г„)=я+у (см. п. 3.9). Тогда в силу л со определения показательной функции ахая= !пп а'"+»я= 1епт (а'ха'х) 1пп а'х Игп а' =ахаю и со И со х со Прежде чем переходить к доказательству следующих свойств, заметим, что из свойства 2' следует, что для любого действнтельх ного х справедливо равенство а'а-"=а'=1; поэтому а-»= — „. Доказательство свойства 4'е~. В силу уже доказанной строгой монотонности функции а' утверждение леммы настоящего пункта справедливо (вместе с доказательством) не только для рациональных, но и для всех действительных )г.
А именно: для любого е- О существует такое 6=6(в) )О, что для всех вещественных чисел Й, удовлетворяющих условию )(г!<6, выполняется неравенство !а" — 1|<в. Пусть х фиксировано, у=а", Лу=а»+ь' — ах=-а»(аь — 1). Согласно сказанному, для любого е) О существует такое 6 =. =6(е), что для всех Лх, удовлетворяющих условию !Ах~<6, выполняется неравенство ье! (аь» — 1)< — „, *' Свойство 3' будет доказано после доказательства свойства 4'. *со Отметим, что а» ) О при любом действительном ». Это вытекает из свойств М н 2', сформулированных в теореме 3, и из того, что аа= ! (ср, со свойствами о' при раниональнык показателях г), 1Зб 4 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
