kudryavtsev1a (947413), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

к х, В этом случае говорят, что д(х) приближает или аппрокси- мнрует функцию г(х) вблизи точки х,. Таким свойством обладают например, все бесконечно малые при х-ьхо функции Г' н д. Ниже будет показано, что среди них лишь те, которые экви- валентны между собой: д(х) )(х), х-ьх„ обладают тем свойством, что не только абсолютная погрешность Г(х) — д(х), но и относительная ~ стремится к нулю при ! (х) х-мхе: В 1(к) — а'(в) О 1(х) В этом смысле функции, эквивалентные заданной, ориблнжают ее лучше, чем другие функции даже топо же порядка, что и дан- ная при х-ьхо.

! Например, функции х, --х, 2х, 10х являются бесконечно малыми при х — О, так же как и к[их, а поэтому абсолютные погрешности при замене к[ох каждой из ннх .стремятся к нулю при х-ьО: 1 1пп (я[ох — х) =1!ш [ к[п х — — х) = 1пп (к[п х — 2х) = -о х 2 х е =!1ш (а|их — 1Ох) = О. х е гэ2 Э а Сравнение функций Вычисление пределов Но лишь одна из всех перечисленных функций, а именно д(х) - —— = х обладает тем свойством, что относительная погрешность нри замене з)пх этой функцией будет стремиться к нулю при х-~О: 1пп . =1пп (1 — —.

=О. Мех — х . I х ! (х) — д (х) Стремление относительной погрешности ~ к нулю при 1(х) х-ь.хь можно записать, используя символ «о малоею )' (х) — й' (х) = о (г (х)), х -г" хр. Сформулируем высказанное характеристическое свойство эквивалентных функций в виде теоремы. Теорема 1. Для того чтобы функции г=Г(х) и се=а(х) были экеиеаленпгнылги при хг-хв, необходилго и достаточно, чтобы при х-к-хв еыполнплось условие ! (х) — и (х) + о (и (х)). (8. 32) Доказательство необходимости.

Пусть ! и при х-ь.хв, т. е. ) (х) = цг (х) д (х), где 11гп гр(х) =1. Тогда х г(х) — д(х) =цг(х)д(х) — 8(х) =[ф(х) — !1д(х) =е(х)й (х), где е(х)=цг(х) — 1-к.О при х-к.х„т. е. имеем (8.32). Доказательство достаточности. Пусть выполняется условие (8.32), т. е. ~(х) =д(х)+е(х) а(х), где 1пп е(х) =О. Тогда к кв )' (х) =- [! + е (х))д (х) = цг (х) д (х), где цг(х)=1+в(х)-г-1 при х — к.х„т. е.

Г д при х-з-хь. [ ) Итак, мы показали, что функции 1(х) и и(х) эквивалентны при х-к-х, тогда и только тогда, когда относительная погреш- ность 1() ~() (или ( ~()1 стремится к нулю при х-г-хв. 1(х) ~ ы(х) / Следствие. !)усть !пп — = с Ф О, где с — постоянная.

Тогда Я к к, и с[ и 8=с[+о(1") пРи х-к-хв. Доказательство. Если 11пг -~-=с~О, то 1пп — =1, и, «1 „,я значит, д сГ' при х- х,. Отсюда по теореме ! имеем у=с[+ + о(сг), а значит (см. конец п. 8.2), у=с[+о(~). [ ) (ВВ В.З. Эквивалентные функции Теорема 2. Пусть 1(х) 1,(х) и д(х) дт(х) при х-~-хо Тогда если суи(естеует !пп —, 11 (х) (8.33) х х, Вт(х) то существует и 1пп —, причем 1 (х) х х,а() 1пп — = 1пп —, 1(х) . 1,(х) „, В (х) х , х дт (х)' (8.34) Доказательство. Условие 1 1, при х-ьха означает, что 1 (х) = р (х) 1т (х), где 1пп ф(х) =1, а условие д — и, при х-э-хо — что д(х) =— х х ='ф(х)д,(х), где 1!гп ф(х) =1.

Кроме того, поскольку существует х хе предел (8.33), функция 1т(х)1дх(х) определена в некоторой про- колотой окрестности точки х, н, следовательно, всюду в этой окрестности выполняется неравенство д,(х) ~О. Поскольку д(х) = =ф(х)дт(х) н, очевидно (почемур), ф(х)ФО в некоторой про- колотой окрестиости точки хо, то и функция д(х) обладает тем же свойством. Поэтому функция ~(х)18(х) определена в некото- рой проколотой окрестности точки л,. Теперь имеем: 1нп ф (х) 1пп — = 1пп 1(х) .

ф (х) 1, (х) х„ . 1,(х) . 1т (х) Дщ — =Нт —. 11 „, „,1 — „,(,)„,,— Н„(х)„,,„(„,=,, „,, () х х, Поскольку обе части равенства (8.34) равноправны, то из доказанной теоремы следует, что предел, стоящий в левой части, существует тогда и только тогда, когда существует предел в пра- вой части, причем в случае их существования они совпадают.

Это делает очень удобным применение теоремы 2 на практике: ее можно использовать для вычисления пределов, не зная зара- нее, существует или нет рассматриваемый предел. У и р а ж ксв в с 13. Доказать равсвство (8.34) в случае, когда предел 1пп — равен со, +со влв — со. 1 (х) х х,а(х) 8.4.

МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ ФУНКЦИИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ Пусть а(х) и р(х) — функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки х,. Если функция р (х) представима в виде р (х) =а(х)+о(а(х)), х-ых„ то функция а(х) называется главной частью функиии () (х) при х стремящемся к хаеихс. вли Метод выделения главной части функции Примеры. 1. Главная часть функции з)пх, при х-«О ривна х, ибо з)пх=х+о(х) при х — «О. 2. Если Р„(х)=а„х" +...+а,х+а„а„:~0, то функция а„х" является главной частью многочлена Р„(х) при х-«со, ибо Р„(х) =а„х" +о(х") при х-«со.

Если задана функция р(х), то ее главная часть не определяется однозначно: любая функция сг(х), эквивалентная р (х), является ее главной частью. Например, пусть р=х+х'+х'. Поскольку, с одной стороны х'+ хе = о (х) при х-«О, то р = х + о (х) при х-«0, а с другой стороны, хе=о(х+х'), при х — «О, то ~)=х+хе+о(х+хе) при х-«О. В первом случае главной частью можно считать а=х, во втором а=х+х'. Однако, если задаваться определенным видом главной части, то прн его разумном выборе можно добиться того, что главная часть укаэанного вида будет определена однозначно. В частности, справедлива, следующая лемма.

Лемма $. Если фрнкция р(х) обладает при х-«х„главной частью вида А (х — хе)', А эьО, где А н й — постоянные, то среди всех главных частей такого вида она определяется единственным образом. Действительно, пусть, при х-«х„ Р (х) = А (х — хе) е+ о ((х — хе)'), А Ф О, ($(к)=А,(х — хе)ее+о'((х — х,)'), АгФО. Тогда р(х) А(х — хе)е; ()(х) А,(х — хе)" при х — «хе', поэтому А(х — х,)е Аг(х — хе)', т.

е. л( — х) Итп что справедливо лишь в случае А=А, и й=й,. Д Понятие главной части функции полезно при изучении бесконечно малых и бесконечно больших и с успехом используется при решении разнообразных задач математического анализа. Довольно часто удается бесконечно малую сложного аналитического вида заменить, в окрестности данной точки, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, более простой (в каком-то смысле) функцией. Например, если р (х) удается представить в виде р (х) = А (х — х,)л+ о ((х — х,)е), то это означает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем (х — х,)е при х — «х„бесконечно малая р (х) ведет себя в окрестности точки х как степенная функция А (х — хе)'.

Покажем на примерах, как метод выделения главной части бесконечно малых применяется к вычислению пределов функций. При этом будем широко использовать полученные. нами соотношения эквивалентности (8.26). 8.4. Метод еевдвяення главной часта функции Пусть требуется найти предел. (а значит, и доказать, что он существует) Вт 1и (1+х-):хе)+агап Зх — Зхв яп 2х+ 12'х+ (е" — 1)З Используя доказанную выше (см.

(8.26)) эквивалентность !п(1+и) и при и-~О, имеем 1п(1+х+хя) х+хя при хв-О, поэтому (ем. теорему 1) !п(1+х+х') =х+х'+о(х+хх). Однако о(х+х') =о(х) (почемур) и х'=о(х) при х- О, а следовательно„ 1п(1+х+хх) =х+о(х) при х — ~-0. Далее, агсзбп Зх Зх, вследствие чего агсз) п Зх = Зх+ о (Зх) = Зх+ о (х). Очевидно также, что Зхе=о(х).. Из асимптотического равенства яш2х 2х, получим ейп 2х= 2х+о(2х) = 2х+о(х), нз !я'х х'— !йях=хя+о(хя) =о(х), а из (е' — 1)' х'— (ех — 1)' = хе+ о (х') — — о (х). Все эти соотношения выполняются прге х-е.О. Теперь имеем 1п (1+х+х')+ агсз!п Зх — бхе = =х+о(х)+Зх+о(х) — о(х) =4х+о(х), з!и 2х+ (яя х+ (е — 1)е = 2х+ о (х) + о (х) = 2х+ о (х), поэтому 1(ш 1п(1+х+хв)+ягсе(п Зх — Зхв . 4х+о(х) е)п 2х-, '(нех+(ех — 1)е о 2х+о(х) — 1!гп Но 4х+о(х) 4х, а 2х+о(х) 2х при х-в-О, ин значит, по теореме 2, 4х+ о (х) 1, 4х 2х+о(х) х о 2х Таким образом, искомый предел существует и равен 2.

При вычислении пределов функций с помощью метода выделения главной части следует иметь в виду, что в случаях, не рассмотренных в ц. 8.8, вообще говоря, нельзя бесконечно малые заменять эквивалентными нм. Так, например, прн отгдскаиии предела выражения !пп, было бы.ошнбкой заменить к о функцию з(пх эквивалентной ей при х-в-0 функцией х. Естественный метод решения подобных задач будет дан в 18.4.

р 8. Сравнение дгунняий. Вычисление пределов Для отыскания пределов выражений вида и(х) г"1 целесообразно находить предел их логарифмов. Рассмотрим подобный пример. Найдем предел 1ппсоз'1"*2х. Замечая, что х О С11З11х'2» Е1п сов "зх (8.35) видим, что следует вычислить предел 1(гп1псоз'1"2х=1пп в = — 1пп 1и сов 2х 1 . )п (1 — яив2х) к О х О х О Так как 1п (1 — в(пв2х) — зш'2х, то отсюда, согласно теореме 2 этого параграфа, имеем 1 1. 1п (1 — яив2х) 1,. япв2х — - 1пп,,' = — - - 1(гп х О х-о но в(пв2х (2х)в, а поэтому 1 1пп япв2х 1 .

4г' = — --1пп — ' = — 2; 2 х О х' 2 х-О хв таким образом, 1пп!п соз'лы 2х = — 2. х О В силу непрерывности показательной функции из (8.35) имеем ! 1х' 1ип 1п сов Зк 11гп соз'1"'2х = е"-О ев -о Способ вычисления пределов с помощью выделения главной части' функции является очень удобным, простым и вместе с тем весьма общим методом. Некоторое затруднение в его применении связано пока с тем, что еще нет достаточно общего способа выделения главной части функции.

Характеристики

Список файлов книги