kudryavtsev1a (947413), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Это затруднение будет устранено в дальнейшем (см. 9 13). Упражнении. Вычислить 14. 1пп агсяп 2х — япвх хе+ 1и (!+Зх) О ( сов 2х ) 21.!пп( ). 22. 1пп (!+2 1явх)с!е'х. х О 23. 1'пп ( —.) 1 ги 1 — сов х о 1п (1 + гквх) ах Ох 16, И1и х О (а, Ь ° О; а, О~1). !7. Иги гях — яих х О 1п (1+еах) гп (! ! еах) (а>о, р~о).
пределы: !п (чх 19, 1'пп —. Указание. Полезно х нгв сов 2х и сделать замену х= — — — у. 4 757 Р. К Определение производной 5 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ Вй. ОПРЕДЕ««ЕНИЕ ПРОИЗВОДНОИ Определение 1. Пусть функция у=((х) определена в некото- рой окрестности точки х, и пусть х — произвольная точка эпюй окрестности. Если отношение 1(х) — 1(хе) х — х, имеет предел при х-»-х„то этот предел называется производ- ной функции )' в точке х, или, что то лсе, при х=х, и обозна- чается )' (хо): 1 (х) — 1 (хе) (9.1) к х, Если ввести обозначение х — х, = Ах, то определение (9.1) запишется в виде 1(хе+ах)-1(х«1 1" (х,) =!)ш ьх ьх-о Полагая 7 (хо+ Ьх) — 7'(х,) = Ау, опуская обозначения аргумента и обозначая производную просто через у', получим еще одну запись определения производной: ьд у' = 1(ш —.
ах Если для некоторого значения х, существуют пределы ьу ьу Пгп — =+ сс, нли Вш — = — со, ь-ойх ' ь »ах то говорят, что при х=я, существует бесконечная производная, равная соответственно + оо илн — со. Подчеркнем, что под бесконечной производной понимается только бесконечность определенного знака. В дальнейшем под выражением «функпия имеет производную» мы будем понимать всегда наличие конечной производной, если не оговорено противное. Определение 2. Если функция 1 определена в некоторой право- сторонней (левосторонней) окрестности точки хо и существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел соответственно конечной или бесконечной правой (левой) производной функции )' в точке хо и обозначается )+(хо) (или 7" (х,)).
Правая и левая производные называются односторонними производными. О У. Проивеоднал и диФференциал 2. у=в!пх. Имеем Лх1 . Лх Ьу = 5 !и (х+ Ах) — в !и х = 2 сов (х+ — ~ в!и —. 2' и поэтому Лх Лх) . 2 51П— — — )!пп — =совх. Г~. о Лх 2 1пп — = !!шсов(х (- Лу лх-олх лл о Таким образом (51п х) = сов х, 3. у=совх.
'Так как Лх1 . Лх Лу = сов (х+ Лх) — сов (х) = — 2 51п ~х+ — ~ в!и —, .2 т' 2' 'го будем иметь Лх ОЕ1— Лу .. / Л51. 2 Вгп — = — !пп в!и 11х+ — ')1!ш — = — в!их. лх о Л» ь 'о ~ 2 ~лх о 2 Таким образом, (сов х)' = — в!п х. у=ах. Имеем Лу=а'олх — ах=ах(а' — 1), а поэтому Лу алл-1 — =ах— Лх Лх откуда, в силу формулы (8.17), получаем: !пп — = ах!!гп =ах!па, Лу аьл 1 ьх ол" ьл о Из теоремы об огносторонних пределах (см.
п. 4.5) следует, что фУнкциЯ 7 (х), опРеделенпаЯ в некотоРой окРестности точки хо, имеет производную ~'(хо) тогда и только тогда, когда )' (хо) и 1' (х,) существуют и Г' (х,) =1+(х,). В этом случае ~'(х,) = =г'-( )=г' ( ). Если функция г(х) определена иа некотором промежутке и в каждой его точке существует производная (причем под производной в его конце, который принадлежит промежутку, естественно, понимается соответствующая односторонняя производная), то она, очевидно, также является функцией, определенной на данном промежутке; ее обозначают через ~'(х).
Если у=!'(х), то вместо 7'(хо) пишУт также У'! Вычисление производной от функции называется ди4фервич(ирован ива. Примеры. 1. у=с (с — постоянная). Так как Лу=с — с=О,-то 1пп — =О и, таким образом Лу ь олх с'=О. И2. Дифференциал. фннхцян Таким образом (ах)'=а"1па, в частности, Лу=(х+Лх)" — х"=пх"-'Лх+ "(" х"'Лх'+...+Лх", Ах 2 —" = пх -х+ ) х 'Лх+...+Лх" '. Так как при Лх- О все слагаемые правой части, содержащие множитель Лх в степени с натуральным показателем, стремятея к нулю, то 1пп — "- = пх"-', таким образом, а еах (х")' = пх"-'. В дальнейшем ми увидим, что этаформула справедлива и тогда, когда и — произвольное действительное число. 9.2. ДИФФЕРЕБЦИАЛ ФУИКЦИИ Определение 3.
Функция у=р(х), определенная в некоторой окреотности точки х„назетвается диффервнцируемой при х = хе, если ее прираихение в этной точке Лу=)(хо+ Лх) — )(хе), Лх=х — х„ представимо в виде Лу = А Лх+а(Лх), (9. 2) где А — постоянная *1 и а(Лх) = о (Лх) при Лх-+.О. Линейная функция А Лх (от Лх) называется диффдренциалоле функции 1 в точке хе и обозначается й) (х,) или, короче, йу. Таким образом, Ьу = йу+ о (Лх) при Лх- О, йу= А Лх. (9.3) (9.4) *' При фякснроваяном х, А есть некоторое число, не зависящее от Ах; конечно, при изменении точки хе число А, вообще говоря, меняется.
(вх) = вх. Последнее равенство показывает, что число е обладает замечательным свойством: показательная функция с основанием е имеет производную, совпадЬон(ую с отмой функцией: Зтим и объясняется то обстоятельство; что в математическом анализе в качестве основания степени и основания логарифмов используется преимущественно число е. Зто очень удобно, так как упрощает вычисления. 5.
у =х", и — натуральное число. Используя правило возведения бинома в степень, находим !бд д Ц Производная и дифференциал Заметим, что дифференциал е(д= А Лх, как и всякая линейная функция„ определен для любого значения Лх: — со ( Лх ( + со, в то время как приращение Лд=)(хв+Лх) — )(хв), естественно, можно рассматривать только для таких Лх, для которых х,+Лх принадлежит области определения функции !. Если А 4=0, т. е. если е!дФО, то дифференпируемость функции в точке х, означает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение аргумента Лх, приращение функции Лд является линейной функцией от Лх.
Используя терминологию п. 8А, можно сказать, что главная часть приращения функции Лд в точке х, является линейной функцией относительно Лх; при этом приращение Лд и дифференциал е(д — эквивалентные бесконечно малые при Лх- 0 (см. п. 8.3). Если же А=О, т.е. пд— = О, то Лд=-о(Лх) при Лх — ~-О.
Таким образом, при А=О приращение Лд является бесконечно малой более высокого порядка, чем Лх, когда Лх»-0. Для большей симметрии записи дифференциала приращениеЛх обозначают е(х и называют его дифференциалом независимого переменного. Таким образом, дифференциал можно записать в виде е(д = А е(х. П р имер. Найдем дифференциал функции д=х'. В этом случае Лд =- (х+ Лх)з — х' = Зх' Лх+ Зх (Лх)»+ (Лх)'. При Лх-~0 главная линейная часть выражения, стоящего справа, равна Зх»Лх; поэтому е(д=Зх»е!х. Пусть ((х,) =д„. Подставив в (9.3) значения Лд=~(х) — део Лх=х — х„«(д= А(х — х„), получим ) (х) = де+ А (х — хв) + о (х — х ), х-+ хв.
(96) Итак, если функция ! (х) дифференцируема в точке х„то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем х — х„ вблизи х„ она равна линейной функции; иначе говоря, в этом случае функция ! в окрестности точки х, ведет себя «почти как линейная функция» де+ А (х — хв) причем погрешность при замене функции ) этой линейной функцией будет тем меньше, чем меньше разность х — х„и, более того, отношение этой погрешности к разности х — х, стремится к нулю при х-»-хв.
Если функция ! дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференпиал является функцией двух переменных — точки х и переменной «(х: е(д = А (х) дх. 9.3. Дифференциил функции Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в той же точке. Теорема 1.
Для огого чтобы функция ! была дифференцируемой в некоторой оючке хв, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную', при этом г(у = г" (хв) с(х. (9.6) Доказательство необходимости. Пусть функция дифференцируема в точке х„, т. е. Лу= АЛх+о(Лх), Лх- О. Тогда 1пп — — = А+!пп = А. ьу . и (ьх) ьх Ьх Поэтому производная 7"'(хв) существует и равна А.
Отсюда г(у = =)'(х,)Йх. Доказательство достаточности. Пусть существуетпроизводная )" (х,), т. е. существует предел 1пп — =7"'(хи). Тогда ьх о໠— (хв) + а (Л х), где !пп е(Лх) =О, и для Лх~О ьх о Лу=)'(х„) Лх+е(Лх) Лх. (9.7) Так как е(Лх)Лх=о(Лх) при Лх -О выполнение равенства (9.7) и означает дифференцируемость функции 7 в точке х,. ( ) Нодчеркнем, что в теореме 1 речь идет о конечной производной.
Таким образом, д и ф ф е р е н ц и р у е м о с т ь функции 7(х) в точке х, равносильна существованию в этой точке конечной производной 7'(хе). Из доказанного следует, что коэффициент А, участвующий в определении дифференциала (слг. (9.4)), определен однозначно, а именно А=7'(хв); тем самым и диффеРеиц и ал фУнк ци и в данной точке определен однозначно. Это, впрочем, вытекает также из леммы п.
8.4 о единственности главной части вида А(х — х,)" бесконечно малой функции. Из формулы (9.6) находим у' =- "-. Правая часть представляет дх' собой дробь, числитель которой — дифференциал функции, а зна- менатель — дифференциал аргумента. Формула (9.6) позволяет находить дифференциалы функций, если известны их производные. Так, например, используя произ- водные, найденные в и. 9.1. получаем: с(с=О (с — постоянная), г(созх=- — з(пхдх, д зги х = соэ х г(х, с(ах = ах !п а г(х, в частности, дех=е" г(х, с(х" = нх"-' с(х (и — натуральное число). и Кухрввиев Л.
д. т г э" 9. Производная и дифференциал В заключение выясним связь между дифференцируемостью и непрерывностью в данной точке. Теорема 2. Если функция 1" дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке. Следствие. Если функция в некоторой точке имеет производную, то ана непрерывна в этой точке. Д о к а ватель ство.
Пусть функция 1 дифференцируема в точке х„т. е. в этой тачке Ау= АЛх+о(Лх) при Лх — ~-0. Тогда 1пп Ау= А Итп Лх+ Ипз о(Лх)=0, ьл о ьл о ьл-о функции ) при х= хо. [Д вытекает из теорем 1 и 2. что если функция имеет в точке она может быть разрывной в этой что и означает непрерывность Следствие непосредственно Обратим внимание на то, бесконечную производную, то точке. 1,' (0) = Ит — —" = 1. ьл за" Аналогично, при х«-0 имеем у= ~к~= — х, поэтому для точки хи=О в этом случае получим Лу= — Ьх.
Следовательно, 1'(0) = 1нп — — = — 1. ьу ь„о Ья Тем самым доказано, что функция 1(х) =~к~ не имеет при х=О производной, однако в этой точке существуют как левая, так и правая производные. Отметим еще, что при х)0 имеет место равенство (~х~)'= =х'=1, а при х(О соответственно(~ х~)т=( — х)'= — 1; поэтому для любого хФО справедлива формула ) х ~' = з(дп х. Следующий пример показывает, что у функции может не быть в точке непрерывности никакой односторонней производной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
