kudryavtsev1a (947413), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

( ) Уп р еж пени я, !2. Сформулировать позитивные необходимые и доствточные условия, являющиеся отрицанием критерия Коши, для того чтобы последовательность не имела предела. 13. Доказвть, что для того чтобы последовательность (х„) была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого е ) О существовало такое пьем )у, что для всех л ~а„лщ Ф, выполняется неравенство (х„— хв ) < е. Задача 3. Выяснить, будет или нет вытекать сходимость последовательности (х ! нз условия, что для любого натурального р существует предел 1»щ («л»р — «ь) =О. л ь» 3.8.

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Над последовательностями можно производить арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления. Определим их. Определение 15. Пусть заданы последовательности (х„) и (у„); суммой, разностью и произведением этих последовательностей называются соответственно последовательности (х„+у„), (х„— у„) и (х„у„). Если у„~О, п=1, 2, ..., то частным от деления последовательности (х„) иа последовательность (у„) называется последовательность (х„/у„). Наконец, произведением последовательности (х,) на число с называется последовательность (сх„).

Если последовательность (у„) такова, что в ней имеется лишь конечное число элементов, равных нулю, т. е. существует такое пеенУ, что пРи и'=--п„, п АУ, выполнЯетсЯ неРавенство У„ФО, то можно рассматривать последовательность (х„уу,), понимая под ней последовательность с номерами п — п,.

Определение 16. Последовательность (а„) называется бесконечно м лой последовательностью, если 1пп а„=О. Мы уже встречались в п. 3.1 с бесконечно малыми последова- 1 1 . я тельностями а„= —, а„=- — з)п — п, и=1, 2, ... л' " и Отметим несколько свойств бесконечно малых последовательностей. 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть (а„) и (р„) — бесконечно малые последовательности. Покажем, что и последовательности (а„+ р„) и (а„— р„) являются также бесконечно малыми. Зададим е)О, 3" В З.Предел последовательности тогда существует (почемур) такой номер п„что для всех п)пе е е выполняются неравенства 1сс„!(-2- и (р„1(- -. Поэтому для а~па имеем !гх,~() )~~а„!+ф„!(--+ — =е, что и означает, что !пп (а, +.

р„)=0. л о~ Соответствующее утверждение для любого конечного числа слагаемых следует из доказанного по индукции. ( ) Задача 4. Определив сумму бесконечного числа занумерованных слагаемых (обобщающую понятие суммы конечного числа слагаемых), а затем сумму бесконечного числа последовательностей, построить пример бесконечного числа бесконечно малых последовательностеи, сумма которых не является бесконечно малой последовательностью.

!!. Произведение бесконечно л1алой последовалгельности на ограниченнйто последовательность является бесконечно малой последовательностью. Доказательство. Пусть (а ) — бесконечно малая последовательность, а (х„) — ограниченная последовательность, т. е. существует такое число Ь~О, что для всех номеров и=1, 2, ... выполняется неравенство !х„~ ==Ь. Зададим е)0; в силу определения бесконечно малой последовательности существует такой номер п„что для всех п)пе выполняется неравенство ! сх„) ( —.

Поэтому для всех и) пе имеем (а„х, ! = ( а, ) ) х„! ( — — ° Ь = е, что н означает, что последовательность (а„х„) бесконечно малая. ( ) Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью. Это сразу следует по индукции из свойства П, если заметить, что бесконечно малая последовательность, как и всякая последовательность, имеющая предел, ограничена (см. теорему 2 п. 3.4). Задача 5. Определив произведение бесконечного числа занумерованных сомножителей (обобщающее понятие произведения конечного числа сомножителей), а затем произведение бесконечного числа последовательностей, постро. ить пример бесконечного числа бесконечно малых последовательностей, произведение которых не является бесконечно малой последовательностью.

У п р аж н е н и е 14. Доказать, что для того чтобы последовательность х„ ~= О, и= 1, 2, ..., была бесконечно малой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность 1)х„, л = 1, 2, ..., была бесконечно большой. 3.9. Свойства пределов ЗЛ.

СВОИСТВА ПРЕДЕЛОВ, СВЯЗАННЫЕ С АРИФМЕТИЧЕСКИМИ ОПЕРАЦИЯМИ НАД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ Лемма. Для того чтобы число а являлось пределом последовательности (х,), необходимо и достаточно, чтобы ее член хл имел вид хе=а+а„, п=1, 2, ..., где (ал) есть бесконечно малая последовательность. В самом деле, пусть задана. какая-либо последовательность (хл) и число а; положим ал — 'хл — а. Тогда условие !ип хе=-а л со согласно определению предела последовательности равносильно тому, что для любого г ° О существует такое п,ен Аг, что для всех я~п„п ~ Аг, выполнЯетсЯ неРавенство !хл — а!(е, т. е. неравенство !а„((з, а это и равносильно тому, что 1!гп ал= л со =.О.

П Эта лемма показывает особую роль бесконечно малых последовательностей при изучении понятия предела, так как общее понятие предела последовательности с помощью этой леммы сводится к понятию нулевого предела. Это обстоятельство далее широко используется при изучении ряда свойств сходящихся последовательностей. 1'. Если ха=с, гг=!, 2, ..., то 1ип ха=с. л со В самом деле, последовательность хл — с=с — с = О бесконечно малая, и поэтому в силу леммы !ип хл =с. ( ) 2'. Если последовательности (х,) и (у„) сходятся, то последовательности (х„г-у„) также сходятся и 1ип (хл 4 ул) = 1'ип хл г 1ип у„ т.

е. предел алгебраической суммы двух сходящихся последовательностей ровен такой же сумме пределов данных последовательностей. Доказательство. Пусть !ип ха= а, 1ип ул=Ь. Согласно л со л со необходимости условий леммы для существования предела, имеем и = 1, 2, ..., хе=а+ил, улооЬ+(1„, где 1ип ал = 1ип (3л = О. Следовательно, хл -+.

у, = (а +- Ь) + л со л со + (ал-+.Р„), и = 1, 2, ..., где в силу свойства 1 бесконечно малых последовательностей (см. п. 3.8) 1!гп (а„-г- р„) = О. Поэтому, л со согласно достаточности условий леммы для существования предела, имеем 1!гп (х, + ул) = а г- Ь = 1ип хл.+. 11ш ул. ( ) з З.Придел лослейоллэельлости 70 Следствие. Предел конечной аэиебраической суммы сходящихся последовательностей равен такой же алгебраической сумме пределов отдельных последовательностей.

Это непосредственно сгедует по индукции из доказанного свойства пределов сходящихся последовательностей. 3'. Если последовательности (хи) и (уи) сходятся, то последовательность (хиул) также сходится и !пп хиулил 1пп хи!пп уи, и со т. е. предел произведения сходящихся последовательностей существует и равен произведению пределов данных последовательностей. Доказательство. Пусть Игп х„=а, !пп уи=6, тогда хи=а-)-аи, уи=Ь+(!эс, п=1, 2, ..., где !пп а,= Игп р„=О; позтому хиуиои (а+аи)(Ь+()л)=-а6+ + (сс„Ь+ р„а+ сс,(з„). В силу свойств 1 и 11 бесконечно малых последовательностей (см.

п. 3.8) 1пп (аиЬ-1-рла+а„й„) =О; позтому Игп хиуи = аЬ = 1пп х, 1пп у,. Следствие 1. Если последовательность (хи» сходится, то для любого числа с последовательность (схл) также сходится и 1пп схл=с 1пп хл, т. е. постоянную моясно выносить за знак предела. Это утверждение сразу вытекает из свойств 1' и 3'. Следствие 2. Если (хл» вЂ” сходящаяся последовательность и й — натуральное число, то 1пп х„=!'1пп х„с . л оэ ~и оэ Это непосредственно по индукции следует из свойства 3'. 4'. Если последовательности (х„» и (уи) сходятся, у„~О, и = = 1, 2, ..., и !пп у„чь О, то последовательность (х„!у„» схол со дится и Ип1 — ""- = И т х„/! ип уи, и оэ Ул и со и со т.

е. при сделанных предположениях предел частного сходящихся последовательностей существует и равен частному от пределов данных последовательносп ей. 71 8.9. Свойства луеделов ДОКаЗатЕЛЬСтВО. ПуСтЬ 1!и! Х,=а, !ПП ул=Ь~О И дЛя л со и о» определенности Ь) О. Тогда х„=а+а„, у„=-Ь+р„, п=1, 2, ..., где 1пп а, = !ип !)„= О, а согласно следствию из свойства 111 прел со л со делов последовательностей из и.

3.3, существует такой номер и,, Ь что для всех номеров п="»пв выполняется неравенство у„)- — '- 0 Ь деиствнтельно, заметив, что — (Ь, в указанном свойстве в ка- Ь! честве с надо взять а * — ! — здесь используется предположение, 1 2 что Ь'з»О; поэтому при и)пв имеем --( — (поскольку ул4:О, ул то на него можно делить). Далее, ул Ь Ь+ !!л Ь Ь (Ь+()л) — — — — — (алЬ вЂ” ()„а).

(3.14) Здесь 0( „) — — — (Ьу,т. е. последовательность!)(Ь(Ь+р„))„ 1 1 2 ( +уи) ул и=п„п,+1, ..., ограничена (отсюда, конечно, следует, что эта последовательность ограничена и при всех и=1, 2...,). В силу свойств бесконечно малых последовательностей после- довательность (а,Ь вЂ” !)„Ь) является бесконечно малой, поэтому и последовательность ~ ь (илЬ вЂ” ))„а)~ бесконечно малая.

Характеристики

Список файлов книги