kudryavtsev1a (947413), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Следствие. Для того чтоб!я возрастающая последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничгна сверху. Аналогичное утверждение справедливо и для убывающей последовательности. 3 а м е ч а н и е. Если [а„, б„1 — система вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю, а $ — точка, принадлежащая всем отрезкам данной системы, то $ = Нгп а„= 1!гп 6„. аб, Теооемо Больцоно — Вееерштрассо бз то хл(х„.д, п=1, 2, Далее, замечая, что в (3.10) каждая из скобок- вида 11 — -) л! 1 ! меньше единицы и —, ( — „для всех и =1, 2, 3, ..., имеем х„(2+284-37 1-."+ — 1~2+ й+ 4+" +й — -ь. 1 1 1 1 1 1 Сумма — + —, +... + — „, (которую легко подсчитать по извест- 1 1 1 иой из элементарной математики формуле для суммы членов гео- 1 метрической прогрессии, она равна 1 — — „—,~ при любом и = = 1, 2, ...

меньше единицы, поэтому окончательно (3.11) 2 ( х„( х„от ( 3. Итак, последовательность (х„) возрастает и ограничена сверху, а значит, согласно теореме 3, имеет предел, Этот предел и обозначается буквой е. Переходя к пределу в (3.11), получаем 2 ( е = 3. Более точными оценками можно получить, что справедливо приближенное равенство е 2,718281828459045. Доказывается также, что число е иррационально и, более того, трансцендентно, т. е. не является корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Число е в математическом анализе играет особую роль. Оно, в частности, является основанием натуральных логарифмов. 8.6. ТЕОРЕМА ВОЛЬЦАНΠ— ВЕЙГРШТРАСОА В п. 3.4 было доказано, что всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Обратное утверждение, конечно, неверно. Например, последовательность х„=( — 1)", а=1, 2, ..., ограничена и расходится. Однако оказывается, что всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность. Это утверждение называется теоремой Больцано — Вейерштрасса *! или свойством компактности ограниченной последовательности. Теорема 4. Оз любой ограниченной пзследовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из любой неограниченной последовательноспш можно выделить бесконечно большую "' Б. Б о и ь ц а к о (1781 — 1848) — чешский математик; К.

В е й е р ° штр а с с (18!6 — 1897) — иемециий математик. Э З Предел последовательности иодиоследосательность, имети!ую сеоим пределом бесконечность ооредел. нного знака. доказательство. Пусть последовательность (х„) ограничена, т. е. существует такой отрезок [а, Ь1, что а=.х,~Ь для всех и=1, 2, ... Разделим отрезок [а, Ь1 надва равных отрезка. По крайней мере один из получившихся отрезков содержит бесконечно много элементов данной последовательности.

Обозначим его через [а„, ЬД. Пусть х„— какой-либо нз членов данной последовательности, лежащий на отрезке [аь Ь,(. Разделим отрезок [аь Ь,( на два равных отрезка; снова хоть один из получавшихся двух отрезков содержит бесконечно много членов исходной последовательности, обозначим его через [а., Ьз(. В силу того, что на отрезке [аз. Ь,) бесконечно много членов последовательности (х„), найдется такой член х„„что х„, с= [аз, Ь2( и п,)по Продолжая этот процесс, получаем йоследовательность отрезков [аы Ь»(, в которой каждый последующий является половиной предыдущего, и подпоследовательность таких элементов х„ данной последовательности, что х„„си[ам Ьл(, Ь=-1„2, ... и иге)ил при й")й'.

Последовательность (х„,) является в силу построения подпоследовательностью последовательностй,(х„). Покажем, что эта подпоследовательность сходящаяся. Последовательность отрезков [ам Ь„(, й=1, 2, ..., является последовательностью вложенных отрезков, по длине стремящихся Ь вЂ” о к нулю, так как Ь,— а,=-- —,-»-0 при й — оо. Согласно принципу вложенных отрезков (см. п. 2.10), существует единственная точка $, принадлежащая всем этим отрезкам. Как мы видели (см. (3.9) в замечании к теореме 3), !!гп а„= ! цп Ье = ~, но ал(х„л=:-Ьы й=-1, 2, ..., позтому в силу своиства 1 (см. п. З.З) сходящихся последовательностей последовательность (х„~~ также сходится, и 1!ш х„„=$. й о» Пусть теперь последовательность (х„) неограничена.

Тогда она либо неограничена сверху, либо неограннчена снизу, либо имеет место и то и другое. Пусть для определенности последовательность (х„) неограничена сверху. Тогда существует такой номер и, ~ Ф, что х,, ) 1. Очевидно, послеговательность х„, п = и,+ 1, и, + 2, ..., также неограничена сверху, так как получается из данной неограниченной сверху последовательности х„, п = 1, 2,..., отбрасыванием конечного числа членов. Поэтому существует такое и, )и„ из ен Л», что х„») 2. Продолжая этот процесс, получаем последовательность таких номеров им что и «и,«...«п„«...

8.7. Критерий Ксими сходимости последовательности бб И Отсюда следует, что (х„ь) — подпоследовательность последовательности (х„) и в силу свойства 11 п. 3.3 что 1!ш х„=со. ( ( Определение 13. Предел, конечный или бесконечньсй определенного знака, подпоследовательности данкой последовательности называется ее частичным пределом. Теорема Больнано — Вейерштрасса (первая часть теоремы 4) и ее аналог для неограниченных последовательностей (вторая часть теоремы 4) показывают, что всякая последовательность имеет хотя бы один частичный конечный или бесконечный предел, причем заведомо конечный, если данная последовательность ограничена.

Таким образом, каждая числовая последовательность (ха э х„езус, имеет хотя бы один частичный предел в расширенном множестве действительных чисел, т. е. множество частичных пределов в лс для любой последовательности всегда пе пусто.

Упражнения. 1О. Доиазать, что для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена и имела единственный частичный предел. 11. Доказать, что элемент и (чнсло нли одна из бесконечностей +оэ и — со) является частичным пределом последовательности тогда и только тогда, когда в любой его окрестности содержится бесконечно много членов данной последовательности. 3.7. КРИТЕРИИ КОШИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ До сих пор не было дано достаточно общего критерия, с помощью которого можно было бы узнать, сходится ли данная последовательность. Само определение сходящейся последовательности для этого мало удобно, так как в него входит значение предела, которое может быть и неизвестным. Поэтому желательно иметь такой критерий для определения сходимости и расходимости последовательностей, который базировался бы только на свойствах элементов данной последовательности.

Нижеследующая теорема 5 и дает как раз подобный критерий. Определение 14. Будем говорить, что последовательность (х„) удовлетворяет условию Коши *', если для любого е)0 суи(ествует гпакой номер п„что для всех номеров п и т, удовлетворюои(их условию и =- п„т — п„справедливо неравенство (х„— х )(е, (3.12) Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются также фундаментальными последовшпсльностями.

" О. Коши (!798-!057) — французский математик. 3 Ктюаааааа Л. д т. 1 У 8. Предел последовательности Условие (3.12) можно сформулировать и таким образом. Для любого е) 0 существует такой номер п„юио для.всех номеров п= п, и всехцелых неогприцательных р (3.13) ~ х,лр — х„ ~ ( е. Для того чтобы убедиться в равносильности условий (3.12) и (3,!3), достаточно положить р=и — т, если и~ т, и р=т — и, если т) п. Теорема Б (критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши. Доказательство необходимости.

'Пусть последовательность (х„) сходится и !нп х„ =а. Зададим е ) 0; тогда, согласно определению предела последовательности, существует такое п„ что для всех номеров и -= и, выполняется неравенство ~х„— а(<-2-. Пусть теперь п ~ п, и т ~ п„тогда ( х„— х„( = ) (х„— а) + (а — х„) ~ =: ) х„— а ) +(х„— а ( ( -~- + -~- = е, )ос, - сг„(сб т. е. выполняется условие Коши. Доказательство достаточности.

Пусть последовательность (х„) удовлетворяет условию Коши, т. е. для всякого е ) 0 существует такое п„что если и и, и т = п„то )х„— х ~(е. Возьмем, например, е=1, тогда существует такаси„ что при и- п, и таит выполняется неравенство ~хн — х„~(1. В частности, если и~ и, и т=и„то ~х — х„, ~(1, т. е. х„— 1 ( х„< х„, + 1 при п ~ пь Это значит, что последовательность х„, и = п,, и, + 1, ... ограничена. Поэтому в силу теоремы 4 существует ее сходящаяся подпоследовательность (х„~~, Пусть 1пп х„=а, Покажем, что ася данная последовательность (х„) также сходится и имеет пределом число а. Зададим некоторое е) О. Тогда, во-первых, по определению предела последовательности существует такое !с„что для всех номеров !с ) й„или, что то же самое согласно определению подпоследовательности, для всех п, ~ пл выполняется неравенство е (х.,— ~<-~-.

Во-вторых„так как последовательность (х„) удовлетворяет условию Коши, то существует такое и„что для всех и)ие и е всех т~п, выполняется неравенство (х„— х ~( —,. 8.8. Бесконечно малые последовательности Положим У»=шах(п„пь,) и зафиксируем некоторое пь )Уе. ТЬгда для всех п ) У, получим: ) х„— а )= ) (х„— х„)+(х„— а)! =' ~ ! х„— хел )+ ) х„„— а ( ( — + — = и, а это и доказывает, что !пп х„=а.

Характеристики

Список файлов книги