kudryavtsev1a (947413), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

е. д мень- ше некоторого числа из Е и потому не огра- ничивает сверху это множество. Полученное противоречие озна- чает, что число р ограничивает сверху множество Е и потому р ~ В. Поскольку !! производит сечение Л В, то оно может являться либо наибольшим в классе А, если оно принадлежит этому классу, либо наименьшим в классе В, если оно ему при- надлежит. В нашем случае, как было показано, имеет место второй случаи: () е-=В; следовательно, () =-пппВ. Таким образом, число (3 является наименьшим среди всех чисел множесзва В, т. е.

всех чисел, ограничивающих сверху множество Е. Это и означает, что число () является верхней гранью множества Е, !) =зпр Е. Если теперь Š— иепустое ограниченное снизу числовое мно- жество, то отнесем к классу Л все числа, ограничивающие снизу множество Е, а к классу В все остальные. Далее, рассуждая аналогично рассмотренному случаю верхней грани, можно пока- зать, что множества А и В образуют сечение в множестве дей- ствительных чисел, а число сс, производящее это сечение, является нижней гранью множества Е, ос=)п! Е. Впрочем, утверждение о существовании нижней грани у огра- ниченного снизу непустого множества можно получить и из уже доказанного утверждения о существовании верхней грани у не- пустого ограниченно~о сверху множества.

Для этого достаточно заметить, что если Š— ограниченное снизу множество, то множе- ство Е* всех чисел — х, где х ~ Е, т. е. множество на числовой прямой, симметричное с множеством Е относительно нуля, яв- э" 2. Действительные числа. Числовые льножества ляется уже ограниченным сверху множеством (рис. 6). Действительно, если число а ограничивает снизу множество Е, то число †ограничивает сверху множество Е*. Отсюда легко следует, что 1п(Е = — зпрЕ*.

( ) Теорема о существовании верхних и нижних граней принадлежит к так называемым чистым теоремам существования: в ней доказывается, что при определенных условиях у множества существует верхняя, соответственно нижняя грань. Однако из рассуждений, проведенных при доказательстве этой теоремы, не следует способа нахождения этих граней в конкретном случае. Это следует из того, что построение Гв множества В, с помощью которого пров в в водилось доказательство теоремЫ и которое состояло из всех чисел, ограниРис. В чивающих сверху рассматриваемое множество, равносильно отысканию верхней грани р этого множества. В действительности задача нахождения верхней (нижней) грани множества, заданного какими- либо своими свойствами, может оказаться очень трудной задачей.

Если множество неограничено сверху (снизу), то, как уже отмечалось, никакое число не может являться его верхней (нижней) гранью, так как вообще нет чисел, которые его ограничивают сверху (снизу). Для удобства вводится следующее определение. Верхней гранью неограниченного сверху множества называется +со, а нижней гранью неограниченного снизу множества называется — со. Это определение естественно, так как при соглашениях, принятых относительно употребления символов + со и — со в п.

2.5, так определенные бесконечные грани множеств также удовлетворяют условиям 1' и 2' определений 6' и 7'. Удобство же этого определения состоит в том, что теперь каждое непустое числовое лсножество имеет верхнюю грань, принадлежаи)ую расьииренному множеству действительных чисгл. При этом, если заданное множество ограничено сверху, то его верхняя грань конечна, если же оно неограничено сверху, то б е с к о н е ч н а и равна + со. Аналогичное утверждение справедливо и для нижней грани.

Уп р а жн енин. 4. Пусть заданы числовые множества Хь 1=1, 2, ... ...; и, и пусть Ве1 Х = (х: х=х,+...-)-х„, хс тХь 1=1, 2, ..., и). л Доказать, что зпрХ = ~ зпр Хс. с=! о, Пусть заданы два числовых множества Х и У и пусть Веь Я =- (г: г=-х — д, х<и Х, у т У). Доказать, что зпр Я=вор Х вЂ” 1п1 У. 2.У. Свойство Архимеда Покажем теперь, что из теоремы о существовании верхних и нижних граней вытекают два важных свойства действительных чисел, одно нз которых обычно называют свойством Архимеда*1 (конечно, правильнее было бы сказать: свойство чисел, указанное Архимедом, но это очень длинно), а второе принципом вложенных отрезков. 2.9. СВОИСТВО АРХИМЕДА Свойство Архимеда действительных чисел состоит в следующем.

Теорема 2. Каково бы ни было действительное число а, существует такое натуральное число и, что и) а, т. е. (1еа ~ лх) (Лп е= Аг): п ) а. Локазательство. допустим, что свойство Архимеда не выполняется. Это означает, что существует такое число а, что для всех натуральных и выполняется неравенство и =- а, т. е. (Заялх) (оп е= =Ф): п~а. Это значит, что число а ограничивает сверху множество натуральных чисел. Поэтому множество натуральных чисел, как всякое непустое ограниченное сверху числовое множество, согласно теореме 1, п.

2.8 имеет конечную верхнюю грань. Обозначим ее через 8, !) =зпрАГ. Поскольку р — 1(р, то согласно свойству 2' верхней грани в определении 6', п. 2.8 существует такое натуральное число и, что и) р — 1. Но тогда и+! ) р, причем согласно определению натуральных чисел и+ 1 е== М. Неравенство и+ 1 - р противоречит тому, что !! =зпрМ, так как верхняя грань множества ограничивает его сверху (см.

свойство 1 верхней грани в определении 6' п. 2.8). Полученное противоречие показывает, что указанного числа а не существует, т. е. свойство Архимеда справедливо. (1 Следствие. Каксвьс бы ни бьсли числа а и Ь, 0<а Ь, существует такое натуральное число и, что па) Ь. Действителш1о, согласно свойству Архимеда для числа Ыа существует такое натуральное и, что и) Ь,'а. Это число и искомое, так как, умножая неравенство п)Ь(а на положительное число а, получаем па) Ь. Это утверждение имеет простой геометрический смысл: если взять два отрезка соответственно длин а н Ь, О.с ас' Ь, то последовательно откладывая на большем отрезке от одного из его концов меньший втрезок, мы через конечное число шагов выйдем за пределы боЛ1 щего отрезка. 1 Пример.

Пусть множество Е состоит из чисел вида —, л= 1, 2, .... Найдем зпр Е и 1п1Е. '~ Л р х имев (287 — 212 до н. а.)- ареааегречеекий математик и механик. З 2. двйствитвльыыв число. с!исловыв множества Поскольку множество Е имеет наибольшее число 1, то оно (11 и является его верхней гранью: энр ( -(=1. ))ля отыскания и сл М нижней грани множества Е заметим, что для любого а = 1, 2, ... 1 справедливо неравенство — ) О, т. е.

число ноль ограничивает снизу множество Е. Покажем, что оно наибольшее среди всех таких чисел. Пусть в ) О, тогда согласно свойству Архимеда 1 существует такое натуральное и, что и) —, или, что то же ! самое, - (е. Это неравенство показывает, что любое числов)0 ! уже не ограничивает снизу множество Е, ибо — ~ Е при и любом и = 1, 2, .... Итак, ноль — наибольшее из всех чисел, (11 ограничивающих снизу множество Е, т.

е. (п1 (--1=0. лен 2ЛО. ПРИНЦИП ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ Прежде всего поясним, какая система отрезков называется вложенной. Определение 8, Система числовых отрезков (а„ Ь(1 (аа, Ьа1, ..., (а„, 6„1, ..., а„ ан )т, Ь„ е= лт, п = 1, 2, ..., называется сис(немой вложенных отрезков, если (2. 14) аг~иг -"...~ал=...й:Ьл~ ° .. =ЬгажЬ(, т. е. если каждый следующий отрезок (а„тг, Ь„т(1 содержится в предыдуи(ем (а„, Ь,! (рис. 7). Теорема 3. Д.гя всякой сиспгемы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, которое принадлежипг всем отрезкам данной системы. Это свойство действительных чисел называют также непрерывностью множества действительных чисел в слгысле Кантора *!.

гаоказательство. Пусть Й=Иа„, Ь„]) — система вложенных отрезков. В силу неравенств (2,14) множество (а„) всех левых концов отрезков системы аг ограничено сверху, например, числом Ь,. Поэтому согласно теореме о существовании верхней грани (см. теорему 1 в п, 2.8) у множества (ал) существует конечная верхняя грань (рис. 7) с(= зпр (а„). (2.15) Поскольку правый конец Ь, любого отрезка системы 1) в силу неравенств (2.14) ограничивает сверху множество (а,), а а явля- *' Г.

К а н т о р (1845 — 19!8) — немецкий агател(атак. 2.10, Лрнняил вложеннл!х отрезков ется верхней гранью этого множества, т. е. наименьшим из всех чксел, ограничивающих (а„) сверху, то для всех и==!, 2, ... выпочняется неравенство с! == Ьл. (2.16) Зто означает, что множество (Ь,) вс:х правых концов отрезков системы 11 ограничено снизу, и потому у него существует консчная нижняя грань [) =1п1[Ь„). (2.!7) Поскольку число и согласно (2.16) ограничивает снизу мно- жество (Ьл), а нижняя грань р этого множества является наибольшим среди всех таких чисел, то )) ==-а.

Характеристики

Список файлов книги