kudryavtsev1a (947413), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

У н р аж вен не 3. Доказать, что множество Е ~ В ограничено тогда н только. тогда, когда существует такое чнсло оььо, что для всех х — Е выполняется неравенство , 'х ~ -=' и. Примеры ограниченных множеств дают отрезок 11, 2), интервал (О, 1), множество значений функции Мп х. Бесконечный интервал ( — 5, + оз), множество натуральных чисел 1, 2, 3, ...

являются множествами, ограниченными снизу, но неограниченными сверху. Наконец, множество всех целых чисел, всех рациональных чьсел суть множества, неограниченные как сверху, так и снизу. Формальное обобщение понятий ограниченного сверху, ограниченного снизу и просто ограниченного множества на подмножества расширенного множества А' действительных чисел гс (см. п. 2.5) не приводит к содержательным понятиям, так как все подмножества расширенного множества действительных чисел ограничены сверху символом +со и снизу символом — оз, а потому и просто ограничены в Ю. Однако понятие наибольшего (наименьшего) элемента множества является содержательным и в этом случае.

Его определение формально совпадает с соответствующим определением для подмножеств не расширенного множества действительных чисел: конечное или бесконечное число с е= Е с А' называется наибольишм (наименьшим> в множестве Е с ге, если для ссех х е= Е выполняется неравенство х ==с (соотеетстсенно х - с). В дальнейшем мы воспользуемся этим понятием. 2.8. ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ Среди всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) данное множество, наименьшее (наибольшее) из них имеет специальное Название. з 2. 7(ейсгвительиые числа.

Чггсловьге мнозсесгво Определение 6. Наименьигее среди всех чисел, ограничиваюи(их сверху множество Е~)т, называется его верхней гранью и обозначаетсяю через зпрЕ или зпр (х). хшв Определение 7. Наиболыиее среди всех чисел, ограничиваюи(их снизу множество Е ~ Я, называется его нижней гранью и обозначается*в! через !п1Е или 1п1 (х). хшв Иногда верхнюю (нижнюю) грань множества называют точной верхней 1нижней) гранью этого множества.

Отметим, что в сделанных определениях не обсуждается вопрос о том, существует или нет наименьшее (соответственно наибольшее) число среди всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) данное множество — это будет сделано позже. Здесь же лишь говорится, что если такое чиода существует, то оно называется верхней (соответственно нижней) гранью рассматриваемого множества. Из самого определения верхней (нижней) грани следует, что если 'у данного множества эта грань существует, то она единственна, так как во всяком множестве максимальное (минимальное) число может быть только одно. Проанализируем определения 6 и 7. Пусть р = знр Е.

Это означает, во-первых, что число р ограничивает сверху множество Е, т. е. для каждого х е- =Е справедливо неравенство х ~ р; во-вторых, что число р является наименьшим среди всех чисел, ограничивающих сверху множество Е, т. е. каково бы ни было число 6' ( р, оно уже не ограничивает сверху множество Е, а это означает, что в множестве Е найдется такое число х, что х ~ р'.

Таким образом, в «арифметической формеь определение 6 можно записать в следующем виде. Определение 6'. Число () называется верхней гранью множества Е, если 1') асхаб Е:х~ 6, 2') (Чр' ( (!) (Чх ен Е): х > р', Условие 2") можно перефразировать следующим образом! 2') (туе ) 0) (Зх е= Е): х ) (3 — е. Для того чтобы убедиться в равносильности условий 2" и 2', достаточно взять р' и в, связанные равенством р =!! — е, из которого следует, что условие з'- О эквивалентно условию р'(р. Аналогичным образом, если и=!п1 Е, то согласно определе- ншо 7, во-первых, число а ограничивает снизу множество Е, а во-вторых, любое число а')и уже не ограничивает снизу это множество, ибо число гх является наибольшим среди всех таких *' От латинского слова апргешпш — наибольший.

**' От латннсного слова !и!!ппып †наименьш. дя. Верхняя и нижняя грани нисяових множеств чисел. Это означает, что для любого а')а найдется такой хевЕ, что х(сх'. Следовательно, определение 7 можно перефразировать следующим образом. Определение 7'. Число ес называется нижней гранью множества Е, если 1') Ухаем Е:х~и, 2') ( чсе' > сс) (Лх е= Е): х < сс', Условие 2') эквивалентно условию 2') (т(е- О) (Зх ~ Е): х «. а+ е.

Для того чтобы убедиться в эквивалентности условий 2') и 2'), достаточно взять а' =а+в. Сделаем несколько очевидных замечаний. Если непустое множество Е с: тс имеет верхнюю грань р е= И (имеет нижнюю грань сс~ Й), то оио ограничено сверху (соответственно снизу). Это следует из условия 1' определения 6' (определения 7'). Если ()= зцр Е (а= 1п1 Е) и число Ь (число а) ограничивает сверху (снизу) множество Е, то ~ ( Ь (соответственно а ='а). Это следует из того, что верхняя (нижняя) грань множества является наименьшим (наибольшим) числом среди всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) данное множество. Если в множестве существует наибольшее (наименьшее) число, то оно является верхней (нижней) гранью этого множества.

В частности, такая ситуация имеет место для конечных множеств: любое конечное множество чисел имеет наибольшее и наименьшее число, а потому нижнюю и верхнюю грани. В принпипе их можно найти простым перебором всех чисел из данного множества, так как оно конечно. Однако, вообще говоря, только в принципе, а не на практике: если в данном конечном множестве, заданном какими-то свойствами его элементов, будет «достаточно многоя элементов, то перебрать их все будет не под силу даже сверхмощной современной вычислительной машине, Приведем примеры, иллюстрирующие понятие верхней и нижней граней множества.

Множество .всех положительных действительных чисел, обозначим его через тс„ограничено снизу числом ноль, ибо для любого х еилх, имеет место х) 0; более того, 1п1Ре=О. Множество Кс неограничено сверху, так как нет числа, которое бы ограничивало сверху все положительные числа. Если Е=[а, Ь) — отрезок, то 1п(Е=а, зирЕ=Ь. Если Е= =(а, Ь) — интервал, то также 1п1 Е =а, зцрЕ=Ь. Если, наконец, множество Е состоит из двух точек а и Ь, а ~ Ь, т.

е. Е =(а) () (Ь), то снова )п1 Е =а, зпр Е =Ь. Эти примеры показывают, в частности, что верхняя (нижняя) грань множества может как принадлежать самому множеству, так и не принадлежать ему. В 2. Действительные числа. Числовые множества Перейдем теперь к выяснению вопроса: всегда ли у числового множества существует его верхняя (нижняя) грань? Если множество неограничено сверху (снизу), то не существует чисел, которые бы ограничивали его сверху (снизу)..Следовательно, не существует среди них н наименьшего (на>лбольшего).

Таким образом„ если множество неограничено сверху (снизу), то у него нет верхней (нижней) грани. В этом случае ответ на поставленный вопрос получился совсем просто. Если же множество ограничено сверху (снизу), то ответ дается следующей теоремой. Теорема 1. Всяког ограниченног сверху непустое числовое мноасество илсеет верхнюю грань, а всякое ограничгнног снизу нгпустое числовое множество имеет нижнюю грань. Доказательство. Пусть Š— ограниченное сверху непустое числовое множество, Е ~ В. 05означим через В множество всех чисел, ограничивающих сверху множество Е, а через А — все остальные действительные числа. Покажем, что множества А и В образуют сечение в множестве действительных чисел и что число, производящее это сечение, является верхней гранью множества Е.

Прежде всего у5едимся, что А и В образуют сечение. Действительно, поскольку в множество А отнесены все числа, не попавшие в множество В, то их объединение А()В составляет все множество действительных чисел В: А () В = Ю. (2.10) Множество Š— ограничено сверху. Это означает, что существует число, обозначим его через Ь, ограничивающее сверху множество В. Тогда, согласно определению множества В, имеем Ь ~В и, следовательно, множество В не пусто: ВФф. (2.!1) Докажем, что и множество А не пусто. По условию множество Е пе пусто.

Это означает, что существует по крайней мере одно число хе-=Е. Тогда число х — 1 заведомо ие ограничивает сверху множество Л, ибо х — 1~х, х ви Е, т. е. в множестве Е нашелся элемент х, больший чем х — 1. Таким образом, х — 1фВ, ибо множество В состоит только из чисел, ограничивающих сверху множество В. Поэтому х — 1 ги А, ибо к множеству А отнесены все числа, не вошедшие в множество В. Итак, множество А также не пусто.' (2.12) Покажем теперь, что каждое число а ~ А меньше любого числа Ь гы В: а<Ь. (2.13) Допустим противное: пусть найдутся такие числа авиА> и Ь гиВ, что а:~Ь. Тогда, поскольку число Ь ограничивает сверху 2.8. Верхана и нинснвн грани носновых ннонсеств множество Е, в силу неравенства а =- Ь оказалось бы, что и число а ограничивает сверху множество Е и, следовательно, принадлежит множеству В, а е— : В.

Таким образом, число а принадлежит одно- временно как множеству А, так и множеству В. Это невозможно, ибо к множеству А были отнесены только те числа, которые не содержатся в множестге В. Полученное противоречие показы- вает, что неравенство и †.--.: Ь при условии а е Л, Ь я В, невоз- можно и, тем самым, выполняется неравенство (2.13).

Выполнение условий (2.10) — (2.13) означает, что множества А и В действительно образуют сечение (см. определение 1 в п. 2.1). Пусть р — число, производящее это сечение, р =:- Л ~ В. Такое число существует в силу непрерывносзп дейсзвптельных чисел (см. свойство 7 в п. 2.1). Покажем, что число () ограничивает сверху множество Е. Если бы это было не так, то нашлось бы такое число х е— : Е, что х ) р. Выберем какое-либо р так, чтобы () ( р х (рис. 5). Поскольку д- р и ()=А~В, то уе— = В и, следовательно, число р ограничивает сверху В, б В нз таких чисел. Но это заведомо невозРис, 5 можно, так как у(х и х а= Е, т.

Характеристики

Список файлов книги