kudryavtsev1a (947413), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. для любого Т)0 равенство 1(х+ Т) =1(х) не должно выполняться для всех хеп е«е, или в позитивной форме: для любого Т)0 найдется хане«, для которого 1(х+Т)чь1(х). С помощью логических символов это записывается следующим образом: (»«Т ) О) (3х е= Я): ( (х+ Т) ~ )' (х). Сравнивая запись при помощи логических символов утверждений в примерах 2 и 3 с их отрицанием в примерах 4 и 5, видим, что при построении отрицаний символы существования и всеобщности заменяют друг друга. Для того чтобы в некотором множестве не существовал элемент, обладающий каким-то свойством, надо, чтобы все элементы не обладали этим свойством, т. е. в этом случае при отрицании символ существования и переходит в символ всеобщности 1«.
Если же каким-то свойством обладают не все элементы рассматриваемого множества, то это означает, ото в нем существует элемент, не обладающий данным свойством: символ всеобщности заменился символом существования. 21. Свойства действительиыв чисел Для того чтобы не затруднять читателя, не привыкшего к логической символике, дальнейшее изложение материала ведется в классической манере без использования логических символов, которые лишь иногда употребляются параллельно с основным текстом. С одной стороны, для того чтобы приучить читателя к их применению (что весьма полезно прн конспектировании книг и лекций), а с другой, поскольку они позволяют более кратко, а потому иногда и более выразительно, разъяснить нужную мысль, и тем самым помогают читателю понять содержание излагаемого вопроса.
Символом ( ) в тексте книги отмечается конец йроводимого доказательства. Символ = з означает «следует» (одно высказывание следует из другого), а символ с=> означает равносильность утверждений, стоящих по разные от него стороны. Значок ое1 означает, что сформулированное утверждение справедливо по определению (от английского слова йе1!и!1топ — определение). Например, ве! АсВс=з(Ух~А=:эхе-:В), (я* 1) (х) ='- д (1 (х)). в 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА 2!. СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В элементарной математике изучаются действительные (вещественные) числа. Сначала в процессе счета возникает так называемый натуральный ряд чисел 1, 2, 3 ..., л, ...
В арифметике вводятся действия сложения и умножения над натуральными числами. Что же касается операций вычитания и деления, то они уже оказываются не всегда возможными во множестве натуральных чисел. Чтобы все четыре арифметические операции были возможны для любой пары чисел (кроме операции деления на ноль, которой нельзя приписать разумного смысла), приходится расширить класс рассматриваемых чисел.
К необходимости такого расширения запаса чисел приводят также потребности измерения тех или иных геометрических и физических величин. Поэтому вводятся число ноль и целые отрицательные числа (вида — 1, — 2... — л, ...), а затем и рациональные (вида 'р~д, где р, д— целые, ачьО). Та же потребность измерения величин и проведение таких операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел: появляются иррациональньсв и, йатконец, комллексныв числа. Все рациональные и все иррациональные числа образуют множество всех действительных чисел.
з 2. Действительные числа, Числовые миожестеа Множество действительных чисел, как принято, будем обозначать через !т (от латинского слова геа!вз — действительный). Это множество образует совокупность, в которой определены взаимо- связные операции сложения, умножения и сравнения чисел по величине и которая обладает определенного рода непрерывностью. Напомним кратко свойства действительных чисел, известные из элементарной математики, и дополним их описанием некоторых свойств, обычно не рассматриваемых там достаточно полно. !. О п е р а ц и я с л о же н и я.
Для любой упорядоченной пары действительных чисел а и Ь определено, и притом единственным образом, число, называемое их суммой и обозначаемое через а+6, так что при этом имеют место следующие свойства. 1,. Для любой пары чисел а и Ь а+6=6+а. Это свойство называется переместительным пли коммутативным законом слохсения. 1е. Для любой тройки чисел а и Ь, с а+ (Ь+ с) =-(а+ 6) + с. Это свойство называется сочетательным или оссоциатионылс законом сложения. !а.
Суирствует число, обозначаемсе О и называемое нулем, тмсоае, что для любого числа а а+О=а. 1е Для любого числа а существует число, ооозначаемое — а и называемое противоположным данномо, такое, что а+( — а) ==О. 11. Операция умножения. Для любой упорядоченпстй пары чисел а и Ь определено, и притом единственным образом, число, называемое их произведением и обозначаемое аЬ, так чзо при этом имеют место следующие свойства.
11,, Для любой пары чисел а и Ь аЬ =- Ьа. Это свойство называется переместительным или коммутапгивнила законом умножения. !!и Для любой тройки чисел а, Ь, с а(Ьс)=-(аЬ) с. Это свойство называется сочеткательным или ассоциативным закоиом умножения. 2.1. Свойства действительных чисел !7 11,. Существует число, обозначаемое 1 и называемое единицей, такое, чпго для любого числа а а-1=а. !1. Для любого числа а~О существует число, обозначаемое 1!а или — и называемое обратным данному, такое, что ! а ! а — = 1. а 11! . С в я з ь о и е р а ц и й с л о ж е н и я и у м н о ж е н и я Для любой тройки чисел а, Ь, с (а+ Ь) с == ос+ Ьс.
Это свойство называется распределительным илн дистрибутивным законом умножения относительно сложения. 1У. Упорядоченность. Для каждого числа а определено одно из соотногиений а) 0 (а больиге нуля), а=О (а равно нулю) или 0) а (ноль больиге а), при этом, если а) 0 и Ь)0, пго !Чг а+Ь)О; 1У,. аЬ)0. Если а — Ь)0, то говорят, что число а больше числа Ь и пишут а) Ь (подробнее об этом см. в п. 2. Зв).
Действительные числа обладают еще так называемым свойством непрерывности. Чтобы сформулировать его, введем понятие сечения. Определение 1. Два множества А слч и В слч наыаюпгся сечениелс множесгпва действительных чисел Я, если !') объединение множеств А и В составляет все множество действительных чисел ег, А () В = )г; 2 ) каждое из множеств Л и В не пуспго, А Ф (О, В Ф ф; 3') каждое число лгножества А меныие любого числа множества В: если вен Л, Ь е-:В, то а(Ь. Свойство 1' означает, что каждое действительное число принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В. Из свойства 3' очевидно следует, что множества А и В не пересекаются: А П В =. г««.
Действительно, если бы нашелся элемент хан А ПВ, т. е. хе- =А и'хе- =В, то из свойства 3' следовало бы, что х(х. Сечение множества действительных чисел, образованное множествами А и В, обозначается через А 'В. Множество А пазы. вается нижним, а множество  — верхним классом данного сечения. Простые примеры сечений можно получить следующим образом. Зафиксируем какое-либо число а ~ее. Отнесем сначала к множеству А все числа х=-.а, а к множеству  — все числа у- си А '='=-'(х: хасс), В"— '-'(у: у)а). (2.1) ТаК ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ГВ!)й«КЕЛЛнаг бнйЛЕЕОВб)тйэ1ГЮт СЕЧЕНИЕ, Чта УСта- т'В У 2. Действительные числа. Числовые множества навливается непосредственной проверкой выполнения условий 1'„ 2' и 3 определения 1.
Можно поступить иначе: отнести к множеству А все числа х<а, а к множеству В все числа у - и: А ~=' (х: х < а), В с —" (у: у) а). (2. 2) Снова множества А и В образуют сечение. В обоих случаях (2.1) и (2.2) говорят, что сечение производится числом и и пишут сс=- А (В.
Отметим два свойства сечений, производящихся некоторым числом. 1'. В случае (2.1) в классе А есть наибольшее число, им является число а, а в классе В нет наименьшего. В случае (2.2) в классе А нет наибольитего, а в классе В есть наильеньшее число, им является число сс. Рассмотрим, например, первый случай (2.1). То, что я является наибольшим числом в классе А, ясно из первой формулы (2.1), задающей множество А. Покажем, что во множестве В нет наименьшего числа. Допустим противное: пусть в В есть наименьшее число.
Обозначим его через ~). Поскольку ~! еп В, то в силу второй формулы (2.1) я<р, следовательно, и+и<а+р, т. е. и< —, откуда снова и+6 2 в силу второй формулы (2.1) получаем, что — в= В. Аналогично я+у 2 пз и<р имеем я+() <(1+(1, т. е. — <() и так как (! — наия-1 б о меньшее число в классе В, то — ' — — ен А. Полученное противоре- 2 чпе доказывает утверждение. 2'.
Число, производяи1ее сечение, единстпвенно. В самом деле, допустим, что существует сечение, которое определяется двумя разными числами: я = А ~ В и !) = А ~ В. Пусть, например, а<~). Тогда„как мы видели прп доказательстве предыдущего свойства, 'и - — < р. Из неравенства и< — елея+6 а+о 2 2 дует, что как в случае (2.1), так и в случае (2.2), имеет место †, — е= В. Аналогично из неравенства †, — < () следует, что и+й и+у 2 2 а+ 11 — ~ А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
