kudryavtsev1a (947413), страница 6
Текст из файла (страница 6)
е. (у'а) =-а. вл! По определению полагается ав =-. 1 и для любого п ~ Ф <Ы а-л = 1/ал Отметим теперь несколько свойств, касающихся связи операций сложения и умножения. 13 . Для любых чисел а, Ь и с имеет место равенство а(Ь вЂ” с) =аЬ вЂ” ас. В самом деле, а(Ь вЂ” с) =- а(Ь вЂ” с)+ос — ас == а(Ь вЂ” с+с) — ас= аЬ вЂ” ас.
( 1 14'. Для любого числа а выполняется равенство а. 0=0. В 2. действительные числа. Числовые множества Действительно, возьмем какое-либо число Ь, тогда Ь вЂ” Ь=О (см. свойство 4"). Поэтому согласно свойству 13' будем иметь: а О=а(Ь вЂ” Ь) =аЬ вЂ” аЬ=О. [ ) Из свойства 14', между прочим, вытекает, что утверждение 14=0 при наличии других рассматриваемых свойств ! — !!1 эквивалентно тому, что существует хотя бы одно число, отличное от нуля.
Очевидно, достаточно показать, что если существует число а~О, то 1 ~0. Докажем это: пусть существует ачьО, тогда из равенства а ! =а следует, что 1~0, так как в противном случае согласно свойству 14' имело бы место равенство а=О. 15'. Если аЬ=О, пю, по крайней мере, один из сомножителей а и Ь равен нулю. Пусть„например, ачьО, тогда, умножив равенство аЬ=О на 1та, получим — (аЬ) = — О, откуда [ -а ~ Ь =О, следовательно, а а и Ь=О. Р 16'. Длл любых чисел а и Ь имеем: ( — а) Ь = — аЬ, ( — а) ( — Ь) = аЬ; в частности, ( — 1)а= — а, В самом деле, ( — а) Ь=( — а) Ь+аЬ вЂ” аЬ =( — а+а) Ь вЂ” аЬ = — аЬ.
[ ) Используя это равенство, имеем ( — а) ( — Ь) = — а ( — Ь) = ( — 1) [а ( — Ь)1= ( — 1) ( — аЬ) = = — ( — аЬ) = аЬ. [ ) Из свойств 1, 11, 111 действительных чисел и перечисленных выше их следствий можно получить правила арифметических действий с дробями, т. е.. числами вида а(Ь, Ь ~ 0, а ен )с, Ь ен)ч. 17'. Равенство а с Ь й' ЬФО, й4=.0, справедливо птогда и только тогда, когда ай=Ьс.
Следствие (основное свойство дроби). Каковы бы ни были дробь а/Ь, ЬФО, и число счьО, имеет место равенство а ос Ь Ьс Действительно, умножив обе части равенства а/Ь= с/й на Ьй и использовав определение деления, будем иметь следующую цепочку эквивалентных равенств: ь 2ч» ьЬй=й йЬч»а' ь Ьй сййЬс»ай=сЬ О 2.2 *, ».войства сложения и умножения 18'. Сложение дробей производится по правилу Докажем справедливость этого равенства. Использовав определение деления„дистрибутивность сложения относительно умножения и основное свойство дроби, получим: ай+ Ьс 1 1 1 аа Ьс а с Ы =(ай+ бе) — ай — + Ьс — = — + — = — + —.
П Ьа' Ы Ы Ьй Ьа 6 а' ' 19'. Умножение дробей производится по правилу — — „= ва, Ь~О, й4'=О. Использовав определение деления и свойство 11', получим ас 1 1 1 / 11/ 11 а с 20'. Обратным элементом дроби а~Ь, ачьО, ЬФО является а Ь дробь Ыа, т.
е. —,— — =1. Это сразу следует из правила умножения дробей. 21', Деление дробей производится по правилу — — — 6~0, сФО, дусь О. а с аа Ь 'В Ьс' Использовав определение деления, предыдущее свойство и правило умножения дробей, будем иметь а с а 1 а »1 аа Ь'а Ь ~Ф Ь 'с Ьс' Выведем теперь из полученных свойств правила действий со степенями. 22'. Если т и и — целые числа, причем в случае, когда т--0 или и =-0 имеет меспю а~О, то паап — апзи' [апз)п апзл Если т=О или п=О, то справедливость формул очевидна. В случае, когда т и и натуральные числа, то согласно определению степени ажап=а......аа......а=аже .
ев раз о рзз Если т<.,0, п)0 и а~О, то, полагая А= — т и используя основное свойство дроби (возможное»ь одновременного деления числителя и знаменателя дроби иа одно и то же не равное нулю 2о 4 2. Действительные висла. Числовые множества число без нарушения равенства), при А~п будем иметь л рлз ал' а...а цтцл ц-»цл — "' цл-» цлН-л. аь а...а » рьз а при й)ц: ал 1 цыцл = — = — „= ц'-» = цыьл. а" аь-л Если т(О, и -,0 н а~О, то, полагая Уг= — и, 1= — и и используя свойство 11', получим: цыц' = ц-»ц-' = — — = — = а- Ыьп = ц вл л -»-т а" а' аьы Подобным образом проверяется и вторая формула свойства 22.
И Легко показать, что свойства !„1„П„П, и 1П распространяются по индукции на любое конечное число членов. В качестве примера покажем, что для любых чисел ц„ц„..., цл (п~2) и Ь (а,+ц,+...+цл) Ь=а,Ь+ц»Ь+...+ц»Ь. В самом деле, при п=2 эта формула справедлива согласно свойству 1П. Пусть теперь (2.4) справедлива при ц=й, покажем, что она будет справедлива и при п =1+1. Применив свойство 1, для й+1 слагаемых (считая, что оно уже доказано), затем свойство Ш и использовав предположение индукции, получим (ц, + ц»+...
+ цвы) Ь = ((ц, +... + ц») + ц»ьз) Ь = = (ц, +... + ць) Ь+ ц»мЬ = ц,Ь +... + ц»Ь + цьыЬ. Из формулы (2.4) в случае ц,=ц,=...=ил=1 следует, что пЬ = Ь+...+Ь, л рзз т. е. что умножение числа на натуральное число п сводится к сложению этого числа ц раз. Отметим, что свойства 1 — !1! п. 2.1 не описывают полностью действительные числа в том смысле, что существуют и другие множества, отличные от совокупности действительных чисел, удовлетворяющие тем же свойствам 1 — !11, если в них слово «число» всюду заменить словом сэлемент» рассматриваемого множесгва. Именно в этом смысле всюду в дальнейшем понимается выражение «множество, удовлетворяющее каким-либо из свойств 1 — Ч».
2.З ". Свойство упорядоченности Примером множеств, удовлетворяющих условиям 1, П и П1, являются одни только рациональные числа или, известные из элементарной математики, комплексные числа, а также совокупность рациональных функций, т. е. функций вида ) (х) = —, Р (х) О(х) ' где Р(х) и (е(х) — многочлены. Элементы всех перечисленных множеств можно складывать и и умножать, причем эти операции будут подчиняться условиям 1, П и 1П.
Множества, удовлетворяющие этим требованиям и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называются полями. Таким образом, и рациональные числа, и действительные числа, и комплексные числа и рациональные функции образуют поля. Проанализируем теперь свойства, выделяющие поле действительных чисел среди всех других полей. Одним из таких свойств является свойство упорядоченности его элементов. 2Л». СВОИСТВО УПОРЯДОЧЕННОСТИ Выведем некоторые следствия из свойств упорядоченности 1Ч и свойств сложения и умножения 1, П и П!.
Прежде всего определим понятие сравнения по величине для любых двух чисел (напомним, что в свойстве 1Ч говорилось только о сравнении чисел с нулем). Число а называется числом, ббльшим числа Ь, и пишется а) Ь, или, что то же, число Ь называется меньшим числа а и пишется Ь(а, если а — Ь)0. 1'. Если а)Ь и Ь)с, то а) с. Это свойство называется транзитивностью отношения порядка.
Если а Ь и Ь)с, то согласно определению это означает, что а — Ь ) 0 и Ь вЂ” с) О. Складывая эти неравенства, согласно !Чг получаем: (а — Ь)+(Ь вЂ” с))0, т, е. а — с)0. Это и означает, что а)с. П 2". Если а) Ь, то для любого числа с имеем: а-1-с) Ь+с. В самом деле, неравенство а)Ь означает, что а — Ь О.
Поскольку по свойству 5' из и.2.2* а — Ь=а+с — с — Ь=(а+с)— — (Ь+с), то (а+с) — (Ь+с) ) О, и, следовательно, а+с) Ь+с. () 3'. Для любых двух чисел а и Ь имеется в пючности одно из трех соопшаиений порядка а)Ь, а=Ь нли а(Ь. Действительно, пусть заданы два числа а и Ь. Для их разности а — Ь согласно свойству 1Ч имеет место в точности одно из соотношений а — Ь) О, а — Ь = 0 или 0)а — Ь. Если а,— Ь)0, то по определению а)Ь.
Если а — Ь=О, то, прибавив к обеим частям равенства число Ь, получим а = Ь. Наконец, если О ) а — Ь, то прибавив последовательно к обеим частям неравенства 0) а — Ь числа — а и Ь (см. предыдущее 28 В 2. Действительные числа. Числовые множества свойство), получим 6 — а)0. Это и означает, что 6)а, или, что то же, а(Ь. ( ) Соотношение а Ь читается «а меньше Ьм Соотношение а=Ь читается «а равно 6». Соотношение а~Ь читается «а больше Ь». Наличие транзитивного отношения порядка «больше», «меньше» между любыми двумя числами и называется обычно свойством упорядоченности множества действительных чисел, или отношением порядка. Запись а=--.Ь равнозначна записи Ь)а и означает, что либо а = Ь, либо а Ь.
Например, можно написать 2 ==. 2, 2 ( 5. Конечно, можно написать более точно: 2=2, 2 5, однако неравенства 2= 2 и 2(5 также верны, так как означают, что «два не больше двух», соответственно, что «два не больше пяти>. Соотношения а(Ь, а==.Ь, а) Ь, а'=-6 называются неравенствами. Неравенства а(Ь и а)Ь называются строгими неравенствами. 4'. Если а(6, то — а- — Ь. В частности, если а~О, то — а(0, а если а(0, то — а) О.
Действительно, из а(Ь в силу определения имеем Ь вЂ” а) з О. Поэтому — а= — а+Ь+( — Ь) = (Ь вЂ” а)+( — 6) ) О).( — Ь) = = — Ь. П 5'. Если а(Ь и с(й, то а+с(Ь+й, т. е. можно производить почленное сложение неравенств одного знака. В самом деле, если а(Ь и с==й, то согласно свойству 2' этого пункта а+с Ь+с и с+6~ й+Ь, поэтому в силу транзитивности упорядоченности имеем: а+с Ь+й. ( ) 6'. Если а(Ь и с- с(, то а — с(Ь вЂ” й, т. е.
неравенства противоположных знаков можно вычитать в указанном смысле. Действительно, из с)й имеем согласно свойству 4' этого пункта: — с( — Й. Сложив неравенства а(6 и — с( — й, получим а — с(Ь вЂ” й. ( ) 7'. Если а Ь и с,О, то ас) Ьс. В самом деле, согласно свойству 4' этого пункта — с)0, поэтому в силу свойства 1Ч;. а( — с)(Ь( — с). Отсюда по свойству 16' п. 2.2* получим — ас( — Ьс и, следовательно (см. свойство 4' этого пункта), ас)Ьс. ( ) Из доказанного сейчас свойства 7' (при а=О) и из свойства 1Ът» вытекает правило знаков при умножении действительных чисел: произведение двух сомножителей одного знака (либо одновременно положительных, либо одновременно отрицательных) положительно, а произведение двух сомножителей разных знаков (один из них положителен, другой отрицателен) отрицательно. 8'.
В упорядоченном поле всегда справедливо неравенство 1 ) О. В самом деле, мы уже видели (см. замечание после свойства 14' в п. 2.2*), что из условия существования элемента а~-0 (это условие входит в определение поля, см. конец п. 2.2*) следует, 2.3 ". Свойство упорядоченности что 1 чь О, Покажем, что неравенство 1 (О невозможно. Допустим противное, пусть 1(0. Возьмем какое-либо а) О. Согласно определению единицы имеем а 1=-а.
По правилу знаков произведение положительного числа а и отрицательной по предположению 1 является отрицательным числом, т. е. а(0 — противоречие. Действительные числа снова не являются единственным объектом, который удовлетворяет аксиомам ! — 1Ч. Множества, для которых справедливы эти аксиомы, называются упорядоченными полями. Примером упорядоченного поля, отличного от поля действительных чисел, является поле рациональных чисел. Однако уже ни поле комплексных чисел, ни поле рациональных функций не являются упорядоченным полем. Во всяком упорядоченном поле можно ввести понятие абсолютной величины его элементов. При ее определении и изучении ее свойств для единообразия изложения будем все время говорить о числах, а не об элементах произвольного упорядоченного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
