kudryavtsev1a (947413), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

4.9). Кроме того, для любого а в- =ее по опре- делению полагается выполненным неравенство — со(а(+со и справедливость операций а+(+ со)=+ со+а=+ со, — со+а=а+( — со) = — со; для а)0 а (+ со) = (+ оо) а = + со а ( — со) = ( — со) а = — со; для а(0 а(+со)=(+со)а= — со, а( — оо)=( — со)а=-(-со. Бесконечности +со и — со называют иногда «бесконечными числами> в отличие от действительных чисел а вн А', которые называются также конечньиии числами.

В дальнейшем под числом всегда понимается конечное действительное число, если не оговорено что-либо другое. Множество действительных чисел ес, дополненное элементами +со и — оо, называется расширенным множеством действительных чисел (или расширенной числовой прямой) и обозначается через ас. Элементы + со и — оз называются иногда бесконечно удаленными точками расширенной числовой прямой. 2.6.

ПРОМЕЖУТКИ ДЕИСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ОКРЕСТНОСТИ Напомним определения некоторых основных подмножеств действительных чисел, которые часто будут встречаться в дальнейшем. Если а(Ь, а вн ес, Ь енес, то множество (х: а=-х(Ь) называется отпрезком расширенной числовой прямой ес и обозначается через 2 ктасаьчеь л. Л. т у 2. действитвльиыв числа. Числовые миоиввсгво [а, Ь], т. е. [а, Ь] ="' (х: а ( х ( Ь), а е- =лт, Ь ен К. В случае а=Ь отрезок [а, Ь] состоит из одной точки. Если а<Ь, то множество (х:а<х<Ь) называется интервалом и обозначается через (а, Ь), т. е.

(а, Ь) — (х:а<х<Ь), Интервал (а, Ь) называется внутренностью отрезка [а, Ь]. Числовые множества [а, Ь) -'(х:а~х<Ь) и (а, Ь]в — '(х:а<х~Ь) называются полуинтервалами. Отрезки [а, Ь], интервалы (а, Ь) и полуинтервалы [а, Ь), (а, Ь] называются промежутками, точки а и Ь вЂ” их концами: а — правым концом, а Ь вЂ” левым, а точки х такие, что а < х < Ь вЂ” их внутренними точками. Если а и Ь вЂ” конечны, т. е.

а ен лт н Ь ен )с, то число Ь вЂ” а называется длиной промежуп>ка с концамн а и Ь. Если хоть одно из а и Ь является бесконечным, то промежуток с концами а и Ь называется бесконечным. Замечание Е Промежутки всех типов расширенной числовой прямой обладают следующим свойством: если точки а~Я и р е)с, а<р, принадлежат некоторому промежутку с концами а~В и ЬенА', то и весь отрезок [а, Я принадлежит этому промежутку. Для промежутка каждого типа это непосредственно следует из его определения.

Важным понятием для дальнейшего является понятие е-окрестности точки расширенной числовой прямой. В случае а~Я, т. е. когда а является действительным числом, для любого е ) 0 е-окрестнсстью (т'(а, е) числа а называется интервал (а — е, а+с): () (а, е) =" (а — е, а + е). Если а=+со, то (((+со, е) — "(е, +со]. Если же а=- — оо, то (.>( — со, е) =[ — со, — е). Всякая е-окрестность конечной или бесконечно удаленной точки анна называется ее окрестностью и иногда обозначается просто через (>'(а) *>.

При определении окрестностей бесконечно удаленных точек+ со и — со можно было бы брать не только положительные е„а и всевозможные е ен Я. Условие е)0 накладывается лишь с целью ю Обозначение с> нроисходнт от немецкого слова 1>гоесьипя — окрестность. 2.7. Ограниченные а неограниченные мноаееегва единообразия всех определений: окрестность любого числа а явг или одной из бесконечно удаленных точек + сс, — сс опреде- ляется некоторым положительным числом е)О. Такое единообра- зие бывает иногда удобно при формулировке результатов, для которых не существенно, является ли рассматриваемая точка конечной и(а, — "! и(в, Я илн бесконечно удаленной.

г Лемма. У любых двух различных точек расширенной числовой прямой существуют их непересекающиеся окрестности. и(а,1! и( .а й Доказательство. Покажем, что для любь|х а ен)т и Ь ен вт, а~Ь, существуют такие е, ) 0 и е,) О, что 13(а, е,) ПУ(6, ее)=ф. В самом деле, если а и Ь конечны, то можно взять е,=е,=: (рис. 4, а). Если а~ !с, Ь вЂ” а 2 В! В Вн и Ь=+ ос, то в качестве указанных в! е,~ 0 и е, ) 0 подходят, например, е,=1 и е,=!а)+1 (рис. 4, б).

Ес- и(-,е! и(,е! ли а= — сс, Ь ен Вс, то можно взять е,= ~Ь ~+1, е,=1 (рис. 4, в). Наконеп, если а= — сс, Ь =+ сс, то при произвольном е ) 0 окрестности (7( — со, е) и У(+ ос, е) не пересеРне. В каются (рис. 4, г). Замечание 2. В случае а<Ь, иена ЬенЯ и У(а, е)П П(7(Ь, е,) = (71 для любых хе= У(а, е,) и уенУ(ь, е,), очевидно, справедливо неравенство х(у. Его справедливость устанавливается непосредственной про- веркой во всех возможных здесь случаях, т.

е. при а ен)т, Ь ен)Р, при ага)т, 6 =+со, при а= — сс, Ь ~Вт и при а= — сс„6=+со. а в а! В ач а а! в! и6,11!.1) и(в,1! г в е г! 2.7. ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Введем ряд нужных для дальнейшего понятий и изучим некоторые свойства числовых множеств.

Определение 3. Если для подмножества Е действительных чисел существует такое число 6, что оно нв меньше каждого числа х~ Е, т. е. для любого х вн Е выколняется неравенство хе-Ь, то множество Е называется ограниченным сверку, а число Ь вЂ” числом, ограничивающим сверху множество Е. Множество, не являющееся ограниченным сверху множеством, называется неограниченным сверху множеством. С помо1цью логических символов определение ограниченного сверху множества записывается следующим образом: Я* з и действительные числа.

Числовые множества множество Е с лт ограничено сверху с=о (ЭЬ в= еч) (тех я Е): х=-" Ь; отсюда множество Е с- лт неограничено сверху сФ ( ч Ь ен лч) (Ь я Е): х)Ь, т. е. множество Е неограничено сверху, если каково бы ни было число Ь е= )т найдется такое число х а=Е, что х) Ь. Заметим, что если число Ь ограничивает сверху множество Е, т. е. для всех хе= Е выполняется неравенство х~Ь и Ь(Ь', то для всех х ~ Е, очевидно, имеет место и неравенство х~Ь', следовательно, число Ь' также ограничивает сверху множество Е. Если в множестве Е имеется число Ь, которое не меньше всех других чисел из Е, т. е. Ье=Е, и для всех х~Е выполняется неравенство х~Ь, то число Ь называется наибольшим илн максимальным числом множества Е: Ь =шахЕ.

Очевидно, что если в множестве Е имеется наибольшее число, то оно единственно, а само множество Е в этом случае ограничено сверху этим числом. Отметим еще, что если множество Е неограничено сверху, то согласно определению это означает, что для любого числа Ь е:— тт существует по крайней мере один такой элемент х е- =Е, что х) Ь. Обратим внимание на то, что на самом деле таких элементов бесконечно много. Действительно, допустим, что их оказалось лишь конечное число: х„..., х„, и ен№ Иначе говоря, для всех х епЕ и х ~хи, й=), 2, ..., и, справедливо неравенство х~ Ь. Тогда ясно, что для Ь,=шах (Ь, х„..., х„) и всех хек Е будет выполняться неравенство х~Ьо, т.

е. вопреки предположению множество Е оказалось ограниченным. Аналогично множеству, ограниченному сверху, определяется множество, ограниченное снизу. Определение 4. Если для подмножества Е дейспиительных чисел существует такое число а, что оно не больше каждого числа х е:- Е, т. е. для любого хе= Е выполняется неравенство а(х, то множество Е называется ограниченным снизу, а число а — числом, ограничивающим снизу зто множество. Множество, не являющееся ограниченным снизу множеством, называется неограниченным снизу множеством. С помощью логических символов определение ограниченного снизу множества записывается следующим образом: множество Е~)т ограничено снизу <=» (Эаевг)(тйхеЕ): х)а; отсюда множество Е с тт неограничено снизу с=э (тйа ен тт) (Лх ев Е): хна, т.

е. множество Е неограничено снизу, если каково бы ни было число айна, найдется такой элемент хяЕ, что х<а. Очевидно, что если число а ограничивает снизу множество Е, то и любое число а'(а также ограничивает снизу это множество. Если в множестве Е имеется число а, которое не больше вйех других чисел из Е, т. е. а енЕ и для всех х в= Е выполняется 28. Верхняя и нижняя грани числовых множеств з7 Веравенство а~х, то число а называется наименьшим или минимальным числом множества Е: а=пнпЕ. Если в множестве Е имеется наименьшее число, то оно единственно, а само множество Е в этом случае ограничено снизу этим числом.

Определение 5, )т1 ножество, ограниченное и сверху и снизу, называется просто ограниченным множеством. Другими словами, множество Е ~ )т называется ограниченным, если существуют такие числа а и Ь, что для любого хе= Е выполняется неравенство а:==.х.== 6. Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным.

Характеристики

Список файлов книги