kudryavtsev1a (947413), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Рм В Если А~ Х, то функция г: Х- У естественным ооразом по- рождает функцию, определенную на множестве А, ставящую в соответствие каждому элементу х ~ А элемент ~(х). Эта функ- ция называется сужением функции г на множестве А и иногда обозначается через ) ~л. Таким обРазом, ~~л.А- У и длЯ любого хенА имеет место (~л.х )(х). Если множество А не совпадает с множеством Х, то сужение )(л функции )' на множестве А имеет другую область определения, чем функция ), и, следовательно,' является другой, чем (, функцией.

Нередко сужение функции на некотором множе- стве обозначается тем же символом, что и исходная функция. Если две функции 1 и д рассматриваются на одном и том же множестве Х, точнее, если рассматриваются сужения функций и д на одном и том же множестве Х, то запись ~=у на Х озна- 1.3*. Конечные множества а натуральные часла чает, что г (х) = а(х) для каждого х е= Х. В этом случае говорят, что функция г" тождественно равна функции д на множестве Х. Отметим, что функции, у которых всем элементам некоторого множества соответствует один и тот же элемент, т.

е. функции, у которых при изменении значения аргумента значение функции не меняется, называются постоянными (на данном множестве), или константами. Итак, если при изменении одной переменной (аргумента функции) другая переменная, являющаяся функцией первой, не меняется (т. е. «не зависит> от первой переменной), то это является частным и в определенном смысле простейщим случаем функциональ. ной зависимости, Если Г: Х-+-У и каждый элемент уеп Уг представляет из себя множество каких-то элементов у=(г), йричем среди этих множеств имеется по крайней мере одно непустое множество, состоящее не из одногр элемента, то такая функция Г называется многозначной функцией.

При этом элементы множества ) (х) =(г) часто также называют значениями функции Г" в точке х. Если каждое множество 1(х) состоит только из одного элемента, то функцию ) называют также оДнозначной функиией. Если ~: Х- У и д: У-ь-с, то функция г": Х-ь-г,, определенная для каждого хе= Х равенством г" (х)=д(((х)), называется композицией (иногда суперпозицией) функций ~ и д, или сложной функцией, и обозначается через д»).

Таким образом, по определению иаждого х еп Х Щ () (х) ='д(Г'(х)). Пусть задана функция г: Х- У и Уг — множество ее значений, Совокупность всевозможных упорядоченных пар вида (у, ) '(у)), у~ Ур образует функцию, которая называется обратной функцией для функции ~ н обозначается через г' '. Обратная функция (-' ставит в соответствие каждому элементу у~ У его прообраз Г'(у), т.

е. некоторое множество элементов. Тем самым обратная функция является, вообще говоря, многозначной функцией, Если отображение Г: Х вЂ” У однолистно (инъективно), то обратное отображение, определенное, как всегда, на Ур является однозначной функцией и отображает Уг иа Х, т. е. Г': Уг — Х. Действительно, в этом случае прообразы всех точек у ~ Уг состоят ч точности из одной точки хе= К.

СЗ*. КОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА И НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Важным, часто встречающимся классом множеств является класс так называемых конечных множеств. Чтобы сформулировать определение конечного множества, дадим сначала определение .понятия натурального числа. у !. Множества и функцао. Логические символы Определение 2. Множеслмо гч'= (п) называется множеством натуральных чисел, если а) один из его элементов обозначен символом 1; б) каждому элементу и и= гч1 поставлен в соответствие в точности один элемент этого множества, обозначаемый через пч и называемый элементом, следуюи)им за элеменпюлг п; в) для любого и ~ Ж имеет место п* ~ 1; г) иэ и' = т*, и ен Ж, т ен Л), следует, что и = т; д) (аксиома индукции) пусть множество М = (и) с- Ф обладает свойствами 1') 1вн М; 2') если т~М, то т*~М, тогда множество М содержит все натуральные числа: М =йГ.

Приведенное аксиоматическое определение множества натуральных чисел принадлежит Пеано*), поэтому свойства а) — д) называются аксиомами Леано. Элементы множества )т) обозначаются через 1, 2, 3, 4, ... (здесь после каждого натурального числа написано следующее за ним). Определение 3. Множество Х называется множеством, состоящим из и элементное, и е- =)ч', если существует взаимно однозначное отображение множества Х на множество (1, 2, ..., и). Если для множества существует такое натуральное и, что число его элементов равно и, то это множество называетгя конечным. Всякое множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Прныеролч бесконечного множества является множество всех натуральных чисел. Пустое множество считается по определению конечным, а число его элементов равным нулю. Если множество, содержащее т элементов, может быть получено из множества, содержащего и элементов, вычитанием из него некоторого конечного множества, то натуральное число т называется меньшим, чем натуральное число и, или, что то же, число и называется ббльшим, чем число т; в этом случае пишут т(п, или и )т.

Определение 4. )густь Х вЂ” какое-лабо множество и Ф вЂ” множество натуральных чисел. Всякое опюбражение 1: гч'-~-Х (см. п. 1.2"). называется последовали.льностью элементов множества Х. Элемент 1(п) обозначается через х„и называется и-м членом последовапгельноспш Г": гч'- Х, а сама эта последовательность обозначается через (х„) или х„, и =1, 2, .... Каждый элемент х„последовательности (х,( представляет собой упорядоченную пару, состоящую из числа п~)ч) и соответствующего ему при отображении 1:)т) — ч-Х элемента х множества Х, ") Л.

Печно (!858 — 1932) †итальянск математик. 1.4. Логические символе~ т. е. х„= (и, х). Второй элемент этой пары называется значением элемента последовательности (х„), а первый — его номером. Множество элементов последовательности всегда бесконечно. Два различных элемента последовательности могут иметь одно и то же значение, но заведомо отличаются номерами„которых бесконечное множество. Множество значений элементов последовательности (обычно говорят короче: множество значений последовательности) может быть конечным.

Например, если всем и ~ А1 поставлен в соответствие один и тот же элемент а еи Х, т. е, при всех и ен А1 имеет место 1(л) =и, то множество значений последовательности х„=п, и =-1, 2, ..., состоит из одного элемента а ен Х. Такие последовательности называются стационарными. Если и, С и,, и, е= А1, и, еи У, то член х„, последовательности (х„) называется членом, предшествующим члену хв„а член х„, членом, следующим за членом хае В этом смысле члены последовательности всегда упорядочены.

Е4. ЛОГИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ В математических рассуждениях часто встречаются выражения «существует элемент», обладающий некоторыми свойствами, и «любой элемент» среди элементов, имеющих некоторое свойство. Вместо слова «существует» или равносильного ему слова «найдется» иногда пишется символ (, т. е. перевернутая латинская буква Е (от английского слова Ех!з(епсе — существование), а вместо слов «любой», «каждый», «всякий» вЂ” символ ы, т.

е. перевернутое латинские А (от английского слова Апу — любой). Символ 3 называется символом сущсствпзпния, а символ у — символом есепбщнпсти. П р и меры. 1. Определение объединения () А множеств абак Аа. п.вил, записывается с помощью логического символа существования следующим образом: Ц Аа=(х:Зя«=1(~ х«БАа)у аяма а определение пересечения П Аа, записанное с помощью симаяй вола всеобщности, имеет вид П Аа=(х: Ча си И, х «в : А„).

ам и 2. Пусть Р— множество действительных чисел и пусть задана функция 1: Д'-«-1«, т. е. функция, определенная на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. й 1. Мои»госева и 4гиикции. Логические символы Функция )' называется четной функ«(ией, если для любого х ~ 1« выполняется равенство 1( — х) =1(х).

Используя логическую символику, это условие можно записать короче: 7х ~ 1«: ) ( — х) =1(х). 3. Функция ): е« -е«называется периодической, если существует такое число Т)0, что каково бы ни было хаий' справедливо равенство 1(х+Т)=1(х). Употребляя логические символы, это можно записать следующим образом: ДТ 0)(Чх~Р):~(х+Т)=~(х). Обычно для удобства чтения утверждений, записанных с помощью нескольких логических символов, все, что относится к каждому из них в отдельности, заключается в круглые скобки, как это и сделано в последней формуле.

Двоеточие в подобных формулах означает «имеет место». 4. Функция 1: Р - Р не является четной, если условие 1( — х) =1(х) не выполняется для всех х еп 1«. Однако подобные отрицательные формулировки не очень удобны для их использования, так как трудно делать выводы из того, чего нет. Гораздо удобнее иметь дело с позитивными, как их называют, утверждениями, которые не содержат отрицаний. В нашем случае утверждение, что равенство 1( — х) =1(х) не выполняется для всех х еп 1«, равносильно утверждению, что существует такое хане«, что 1( — х)Ф((х), или, в символической записи, Зх~ ее:)( — х) Ф) (х). 5. Функция 1: 1« — ~-Л не является периодической, если любое число Т )0 не является ее периодом, т.

Характеристики

Список файлов книги