kudryavtsev1a (947413), страница 2
Текст из файла (страница 2)
1.П Множества. Онеранин нод множествами что каждый его элемент принадлежит всем множествам Аа, т. е. условие х ы П Аа означает: для всех а е= Я имеет место х еп Аа. аи®г Если Аа~ Е для всех ая Я, то гг ) "1а= П (Е ~'Аа)' аигг абая П ''1а= 0 (Е ""')а)' (1.!) (1.2) аеп абая Докажем, например, равенство (1.1).
Если х ен Е 1) А„, ами то, в силу определения разности множеств, х~ Е н хф О А . «а. и В свою очередь это, согласно определению объединения множеств, эквивалентно тому, что х ен Е и для всех аен А„имеет место соотношение х ф Аа. Зго же, снова по определению разности множеств, равносильно утверждению, что для всех со~ 6 имеем хек Е',Аа. Наконец, последнее утверждение, по определению пересечения множеств, означает, что х я П (Е, А,). Итак, ахи условия х я= Е', ( ) Аа и х ен П (Е', А„) — эквивалентны, ааааа агап вследствие чего выполняется равенство (1.1).
Равенство (1.2) доказывается аналогично. В следующем пункте 1.2а рассмотрено понятие функции, а пункт 1.3* будет посвящен понятиям конечных множеств и последовательности. Пункты и параграфы курса, отмеченные звездочкой, при первом чтении можно пропустить и вернуться к ннм лишь в случае внутренней потребности. В частности, для понимания дальнейшего материала достаточно представления о функции, имеющегося в курсе элементарной математики, как об определенном соответствви между элементами двух множеств. При этом понятие соответствия можно понимать как первичное.
сов 21, то объединением ( ) А мяожеслгв Аа называется множеаак ство, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из заданных множеств Аа, т. е. условие х~ О Аа равносильно ата К следующему: существует такое а е= т(, что х е= :Аа. Г!сресечением множеспгв А„, сг е= 6, называется такое множество, обозначаемое через Э д Множества и функции. Логические символы 1.2». ФУНКЦИИ Будем говорить, что число элементов множества А равно еди нице 1, если в нем имеется элемент а ~ А и нет других (иначе говоря, если из множества А вычесть множество, состоящее из элемента а, то получится пустое множество).
Миожество А называется множеством из 2-х (двух) элементов, если после вычитания из него множества, состоящего только из одного элемента а ен А, т. е. множества, число элементов которого равно 1, останется множество, число элементов которого также равно единице. Нетрудно доказать, что это определение не зависит от выбора указанного элемента ае А, т. е. если аяА и Ь ен А, причем А' (а) состоит из одного элемента, то и множество А'х(Ь) также состоит из одного элемента (а именно, из элемента а). Пусть теперь заданы множества Х= (х) и У=(у).
Множество, состоящее из двух элементов х еп Х и у гп У, называется ларой (х, у) элементов х, у. Пара вида (х, (х, уЦ, где х ~ Х, уя )г, (х, у) — пара элементов х, у, называется упорядоченной парой элементов х и у. Элемент х называется первым элементом упорядоченной пары (х, (х, уЦ, а элемент у — вторым. Упорядоченная пара (х, (х, уЦ обозначается через (х, у). В дальнейшем под парой понимается обычно упорядоченная пара.
Множество всех упорядоченных пар (х, у), х ен Х, у г— : 1', называется произведением множеств Х и У и обозначается через Х х )г. При этом ие предполагается, что обязательно множество Х отлично от множества )г, т. е. возможен и случай, когда Х= )г. Определение 1. Всякое множество г' = ((х, уЦ упорядоченных нар (х, у), х~Х, уек)г, такое, что для любых пар (х', у')гнг и (х", у") е=) из условия у~у» следует, что х'Фх" низаается функциеи, или, что пи же, отображением. Наряду с терминами «функция» и «отображение» в определенных ситуациях употребляются им равнозначные термины преобразггвание, морфизм, соответствие, Функции будут обозначаться различными буквами: 1, д,..., Р, 6 .
цг ф Множество всех первых элементов упорядоченных пар (х, у) некоторой функции 1 называется областью определения (или мцо. жеством определения) этой функции и обозначается через Х), а множество всех вторых элементов — множеством ее значений и обозначается через Ур Само множество упорядоченных пар ~ = =- ',(х, у)), рассматриваемое как подмножество произведения Х х ~' называется графиком функции ). Элемент х ~ Хт называется аргументом функции г или независимой переменной, а элемент у ~ )' — зависимой переменной. 1.2 *.
Функции Если) =((х, у)) есть функция (отображение), то пишут)':Хг- У и говорят, что ) отображает множества Хт в множество У. В случае Х=Хг пишется просто 1: Х- У. Если ~: Х- У вЂ” функция, т. е. множество упорядоченных пар (=((х, у)), х~ К, у~ У, удовлетворяющих условиям определения 1, и (х, у) ~~, то пишут у=-((х) (иногда просто у=(х) или ~: х у и говорят, что функция 1" ставит в соответствие элементу х элемент у (отображение ) отображает элемент х в элемент у) или, что то же самое, элемент у соответствует элементу х.
В этом случае говорят также, что элемент у является значением функции г в точке х, или образом элемента х при отображении ). Наряду с символом )(х,) для обозначения значения функции1 в точке хн употребляется также обозначение ) (х) („=„,. Прн заданном у ~ У совокупность всех таких элементов х ~ Х, что Г (х) = у называется прообразом элемента О и обозначается посредством Г'(у). Таким образом, Г'(у) =(х:хе= Х, )(х) =у). Очевидно, если у я У',Уг, то )-'(у) = ф. Иногда сама функция ) обозначается символом )'(х).
Обозначение функции ): Х- У и ее значения в точке х ~ Х одним и тем же символом ~(х) не приводит к недоразумению, так как в каждом конкретном случае всегда ясно, о чем именно идет речь. Обозначение )(х) обычно удобнее обозначения (:х у при вычислениях. Например, запись ((х) =х' значительно удобнее и проще использовать при аналитических преобразованиях, чем запись ):х х'. Пусть задано отображение ): Х-эУ, т.
е. отображение мяожества Х в множество У. Иначе говоря, каждому элементу хец Х поставлен в соответствие и притом единственный элемент у ~.У, и каждый элемент ус= У~ с:. У поставлен в соответствие хотя бы одному элементу х АХ. Если У =-Х, то говорят, что отображение 1 отображает множество Х в себя. Если У=-Уг, т. е. множество У совпадает с множеством значений функции (, то говорят, что ) отображает множество Х па множество У или, что отображение ) является сюръективвым отображением, короче, сюръекцией. Таким образом, отображение г: Х-~У есть сюръекция, если для любого элемента у~ У существует па крайней мере один такой элемент х ец Х, что ) (х) = у.
Очевидно, если ): Х- У и Ут — множества значений функции ~, то (: Х-+-Уг является сюръективным отображанием. Если при отображении )':Х- У разным хец Х соответствуют разные у~У, т. е. при х'~х" имеет место ((х')Ф)(х"), то отображение ) называется взаимно однозначным отображанием (взаимно однозначным соответствием) Х в У, а также однолистным отображанием или инъекцией. Таким образом, отображение э б Множества и функции. Логические символы г: Х вЂ” «-У однолистно (инъективно) тогда и только тогда, когда прообраз каждого элемента у, принадлежащего множеству значе.
ний функции ):у~ Ум состоит в точности из одного элемента. Если отображение г": Х«- У является одновременно взаимно однозначным и на множество У, т. е. является одновременно инъекцией и сюръекцией, то оно естественно называется взаимно однозначны.и опгображением множества Х на множество У или, что то же, биективным отображением (биекцией) в У. Таким образом, отображение ~: Х- У является взаимно одно- значным отображением множества Х на множество У тогда и только тогда, когда для любых х'яХ и х" енХ, х'~х", спра- ведливо неравенство г(х') чьг'(х"), и каково бы ни было у ен У существует такой элемент х ~ Х, что )(х) =у.
Взаимно однозначное отображение множества Х на множе- ство У часто называют также взаимно однозначным соответствием элементов этих множеств. Если 1-: Х вЂ” «-У и А с: Х, то множество В=(у:у он У, у=)(х), хя А), т. е. множество всех тех у, в каждый из которых прн отобра- жении ~ отображается хоть один элемент из подмножества А мно- жества Х, называется образом подмножества А и пишется В =~(А). В частности, всегда имеем Уг =~(Х). Если ): Х«-У и В ~ Ут то множество А =(х: хон Х, )(х) яВ), называется прообразом множества В и пишется А =~-'(В). Таким образом, прообраз множества В состоит из всех тех элементов х ~ Х, которые при отображении ~ отображаются в элементы из В, или, что то же самое, которое состоит из всех прообразов точек у е= В: )-' (В) = Ц (-' (у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
