kudryavtsev1a (947413), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Это противоречит тому, что множества А н В не пересекаются. Свойство непрерывности действительных чисел состоит в том, что никаких других сечений действительных чисел, кроме тех; которые производятся некоторым числом, не существует. Ъ'. Свойство непрерывности действительных чисел. Для каждого сечения А~В множеспьва действительных чисел существует число а, производящее вто сечение, а=А(В.

2.1. Свойства действительных чисел Это число, согласно выше доказанному, является либо наибольшим в нижнем классе, тогда в верхнем нет наименьшего, либо наименьшим в верхнем классе, тогда в нижнем нет наибольшего. Таким образом, если А ~ В является сечением действительных чисел, то согласно свойству их непрерывности не может случиться так, что в классе А будет наибольшее число и одновременно в классе В будет наименьшее (рис. 2, а). Не может также быть и того, чтобы в классе А не было наибольшего и одновременно в классе В не было наименьшего числа (рис.

2, б). Образно говоря, непрерывность действительных чисел означает, что в их множестве нет ни скачков, ни пробелов, короче, нет пустот. Сформулированное свойство Ь А Ь непрерывности действительных а) б/ чисел называют также принци- Рис. 2 пом Дедекинда *1 непрерывности действительных чисел, Свойство непрерывности действительных чисел связано с самым простейшим вопросом использования математики на практике— с измерением величин. При измерении какой-либо физической величины мы всегда получаем с большей или меньшей точностью ее приближенные значения.

Если в результате экспериментального измерения данной величины получается ряд значений, дающих значение искомой величины с недостатком (т. е, принадлежащие нижнему классу соответствующего неизвестного сечения, определяемого значением измеряемой величины) или с избытком (т. е. принадлежащие верхнему классу), то свойство непрерывности действительных чисел выражает собой объективную уверенность в том, что измеряемая величина имеет определенное значение, расположенное между ее приближенными значениями, вычисленными с недостатком и избытком. У п р а ж н е н н е 1. Локааать, что свойство Ч непрерывности действительных чисел равносильно следующему: каковы бы нн были непустые множествж А с )т н В с Ю, у которых для любых элементов а ш А н Ь ~н А выполняются неравенстна а~Ь, существует такое число Ь, что для всех а~ А а Ь ~ В имеет место соотношение а ===„й Ь.

Из перечисленных свойств ! — Ч действительных чисел вытекают другие многочисленные нх свойства, поэтому можно сказать, что действительные числа представляют собой совокупность элементов, обладающую свойствами ! — 11. Для вдумчивого читателя заметим, что ссылка в начале параграфа иа то, что действительные числа и их свойства известны из курса элементарной математики, не является необходимой. Сформулированные выше свойства действительных чисел можно " Р. Леде канд (183! — 1916) — немепкнй математик. 2О Э 2.

Деастввгельные числа. Числовые множества взять за исходное определение. Следует только исключить тривиальный случай: легко проверить, что для множества, состоящего только из одного нуля, выполняются все свойства 1 — Ч (в таком множестве 1=0, а сечений в нем просто нет). Множество, в котором имеется хоть один элемент.

отличный от нуля, называют нетривиальным. Теперь, перефразируя итог наших рассмотрений, получим следующее определение. Определение 2. Нетривиальное множество элементов, обладаю- и!их свойствами 1 — Ч, называется множеством действительных чисел. Каждый элемент этого множества называется действительным числом. Напомним, что множество действительных чисел обозначается буквой )г. Построение теории действительных чисел, основывающееся на таком их определении, называется аксиоматическим, а свойства 1 — Ч вЂ” аксиомами действительных чисел.

Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа— точками этой прямой. Поэтому совокуп- ДЮ Р М, а отдельные числа — ее точками (рис. 3). Рис. 3 Имея в виду такое изображение действительных чисел, иногда вместо а меньше Ь (соответственно а больше Ь) говорят, что точка а лежит левее точки Ь (соответственно, что а лежит правее Ь). Сечение А ~ 8 геометрически означает разбиение числовой прямой на два луча, имеющих общее начало и идущих в противоположных направлениях, причем один из них содержит их общее начало (замкнутый луч), а другой нет (открытый луч).

В следующих пунктах 2.2*, 2.3", 2А* будут более детально проанализированы свойства 1 — Ч действительных чисел и выведены некоторые их следствия. Как и все пункты, отмеченные звездочками, перечисленные пункты, во всяком случае при первом чтении, можно опустить без существенного ущерба для усвоения курса математического анализа. Для понимания дальнейшего материала (в п. 2.5 и следующих) вполне достаточно представления о действительных числах, которое дается в курсе элементарной математики. 2.2'. СВОИСТВА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ Рассмотрим некоторые свойства сложения и умножения, которые вытекают из свойств 1„11 и 111.

Прежде всего заметим, что для операции сложения существует обратная операция — вычитание, определим ее. 2.2 '. Свойства сложения и умножения Для любой упорядоченной пары чисел а~)с и Ье=)с число а+( — Ь) называется разностью чисел а и Ь и обозначается через а — Ь, т. е. вм а — Ь -=- а + ( — 6). Если а+ 6 =с, то, прибавляя к обеим частям этого равенства число — Ь, получим (а+ 6) +( — Ь) = с+ ( — 6). Отсюда согласно ассоциативному закону 1, и определению разности имеем а+ (Ь+ ( — Ь)) = с — Ь, но Ь+( — Ь)=0, следовательно, а=с — Ь. (2.3) Таким образом, после прибавления к числу а числа 6 число а восстанавливается вычитанием из суммы а+ Ь числа Ь, поэтому операция вычитания и называстся операцией, обратной операции сложения.

Перейдем теперь к свойствам сложения и умножения действительных чисел. 1', Число, обладаютцее свойством нуля, единственно. Действительно, допустим, что существуют два нуля 0 и 0', тогда в силу 1,: 0'+О=-О', О+О'=-О. Согласно коммутативному закону 1, левые части этих равенств равны, следовательно, равны и правые, т. е. 0=0'. ( ) 2'. Число, противоположное данному, единственно. Пусть числа Ь и с противоположны некоторому числу а, т. е.

а+Ь=О и а+с=О. Тогда из первого нз этих равенств имеем (а+Ь)+с=О+с, т. е. (а+Ь)-)-с=с, откуда (а-1-с)+Ь=с; но а+с=О, следовательно, Ь=с„п 3', Для любого числа а справедливо равенство — ( — а) =а. Из равенства а+ ( — а) = О, определяющего противоположный элемент, в силу коммутативности сложения, получим — а+а =О.

Это и означает, что а= — ( — а). ( ) 4'. Для любого числа а справедливо равенство а — а=О. В самом деле, а — а=а+( — а)=0. ( ) 5'. Для любых чисел а и Ь имеем; — а — Ь= — (а+6), т. е. число, противоположное сумме двух чисел, равно сумме протисрположных им чисел.

Действительно, а+Ь-1-( — а — 6) =(а — а)+(Ь вЂ” Ь) =О. ( ) б'. Уравнение а-1-х=Ь имеет в гс решение и притом единственногч х=Ь вЂ” а. э" 2. Лейсевигельные числа. Числов«и иновсесгва В самом деле, если решение существует, то в силу (2.3) х = = Ь вЂ” а.

Этим и доказана единственность решения уравнения а+х=Ь. Для существования решения достаточно проверить, что число х=Ь вЂ” а является решением. Это действительно так: а+(Ь вЂ” а)=а+[Ь+( — а)1=[а+( — аЯ+Ь==-Ь. [ ) Для операции умножения также существует обратная операция; она называется делением и определяется следующим образом. Для любой упорядоченной пары чисел а и Ь, ЬФО, число 1 а — называется частным от деления а на Ь и обозначается через ь а —, или а!Ь, или а: Ь, т. е.

а Е«1 1 -ь- ††-е а -ь-, Ь чь О. Свойства, аналогичные свойствам 1' — 6' для сложения, справедливы н для операции умножения: 7'. Число, обладасоцее свойствами единицы, единспменно. 8'. Число, обратног данному числу, отличному от нуля, единственно. 9'. Для любого числа а~О справедливо равенство 1 11а 10'. Для любого числа а~ О справедливо равенство а/а= 1.

11'. Для любых чисел а~О и Ьч~О имеем равенство 1 1 1 а Ь аЬ' т. е. число, обратное произведению двух чисел, отличных от нуля, равно произведению обратных к.ним чисел. 12'. Уравнение ах=-Ь, ачиО, имеет в множестве действительных чисел и притом единсп«венное решение. Доказываются свойства 7' — 12' аналогично свойствам 1' — б'. Все рассмотренные свойства 1' — 12' касаются только операций сложения и умножения.

Этн операции позволяют определить натуральные, целые и рациональные числа, операцию возведения в целую степень и операцию извлечения корня. Проделаем это. Число 1+1 обозначается через 2, число 2+1 через 3 и т. д. Числа 1, 2, 3, ... называются натуральными числами. Их обозначение и название совпадают с числами элементов в конечных множествах (см. п. 1.3*). Зто не случайно, поскольку для того, .тобы получить натуральное число и в новом смысле, надо взять конечное множество единиц, число элементов которого в п. 1.2в 2.2*. Свойства сложеиия и умяожеяия было обозначено тем же символом п, и сложить их. При этом отношение порядка, введенное в множестве натуральных чисел (см.

п. 1.3*), совпадает с порядком, имеющимся в этом множестве согласно упорядоченности множества всех действительных чисел (см. свойство ПГ в п. 2.1), причем натуральным числом и*, следующим за и, является п+1, т. е. и*=а+1. Как уже отмечалось, множество натуральных чисел обозначается через )ч". Заметим, что хотя, как это было доказано выше, единица единственна, можно рассматривать несколько экземпляров единицы (как и вообще, несколько экземпляров любого элемента некоторого множества), хотя бы для того, чтобы можно было написать выражение 1+1. Числа О, +-1, +2, ...

называются целыми числами. Множество целых чисел обычно обозначается через У. В дальнейшем будет показано (см. свойство 8' в п. 2.3*), что из всех перечисленных в и. 2.1 свойств действительных чисел следует, что 1 ) О. Числа вида т!и, где т и и — целые, а пФО, называются раг1иональными числами.

Множество рациональных чисел обозначается обычно через (Е. Действительные числа, не являющиеся рациоиальиымн, называются иррациональными. Пусть заданы действительное число а и натуральное п. Число а, умноженное п раз на себя, называется и-й степенью числа а и обозначается через а". Таким образом, вел ал — 'аа а л рлз Число Ь такое, что Ьл=а (если оно, конечно, существует) называется корнем и-й степени из числа а и обозначается через тт'а, или ат!л, т.

Характеристики

Список файлов книги