kudryavtsev1a (947413), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Например, натуральные числа, начиная с некоторого натурального числа пь: а», и = и„ пь+ 1, ..., или одни четные числа: а„, п = 2, 4, .... Случается, что для нумерации употребляются не только натуральные, со и другие числа, например а„, и =- О, 1, 2, ... (здесь в качестве еще одного номера добавлен нуль). Во всех этих случаях можно перенумеровать заново а„, используя все натуральные числа т и только их. В первом примере следует положить т = и =- п — и,+1, со втором — т= —, в третьем — т=л+1. Поэтому в подобных случаях также говорится, что а„образуют последовательность и, конечно, указывается, какие значения принимают номера и. Определение 2.

Число а называется пределом данной последовательности (а,), если для любого е>0 существует такой номер п„чпЬ для всех номеров п- и, выполняется неравенство (3. 1) (а„— а' ,(е. При этом пишут 11ш а„=а, или а„-»-а при п-» со. » оо Употребляя логические символы, это определение можно записать в виде: 1(ш ໠—— а со (Уе > 0) ((пе ен Ф)(Чп ~ ле): ) ໠— а ~ < е. » о Последовательность, у которой существует предел, называется сходяи1ейся.

Таким образом, последовательность (а„) является сходящейся, если существует такое число а, что для любого е>0 найдется такой номер л„что для всех и ==п, сыполняется неравенство )а„— а)(е. С употреблением логических символов это определение выглядит следующим образом: (па ен !с)(че>0) (Зп, ~ й!)(чп'=--п,):',а„— а! <е. !)сследоеательность, не являющаяся сходящейся, называется расходяи(ейся.

бв В 8, Предел последовательности Отметим, что неравенство (3.1) равносильно неравенству а — в(а„~а+в. Напомним, что для заданного числа хенЯ всякий интервал вида (х — в, х+ е), где е ) О, называется г-окрестностью, или просто окрестностью, числа (точки) х и обозначается через [/(х, з) или (/(х), С помощью понятия окрестности определение предела после- довательности можно перефразировать следующим образом. Определение 2'. Число а является пределом последовательности (а„), если в любой его окрестности содерлсатся почти все члены последовательности, т.

е, все члены последовательности, за исклю-' чением их конечного числа. Если 11п! а„=а и а„. =а (соответственно а„)а) для всех и= 1, 2, ..., то говорят, что последовательность (а„) сходится к числу а слева (соответственно справа) и иногда вместо 1(гп а„ = и оо == а пишут 1пп а„=а — 0 (соответственно Иш а„=а+0). и со о со Понятие предела последовательности связано в определенном смысле с встречающейся на практике задачей получения значе- ния некоторой интересующей нас величины с наперед заданной фиксированной точностью е ) О.

Последовательные приближен- ные значения а„ рассматриваемой величины могут получаться в результате проведения каких-либо экспериментов, или вычисле- ния по каким-нибудь рекуррентным формулам нли каким-то дру- гим путем. Эта задача будет, очевидно, решена, если найдется номер и„ начиная с которого все значения а, будут отклоня1ься от точного значения рассматриваемой величины в пределах задан- ной точности.

Конечно, если указанное и, существует лишь для одного данного е ) О, это еще не означает„ что последователь- ность (а„) сходится: в определении предела последовательности требуется, чтобы соответствующий номер и, можно было бы подо- брать для любого е- О. Примеры.

1. Последовательность (1/и) сходится и имеет своим пределом ноль. В самом деле, каково бы ни было е)0, по свойству Архимеда (см. п. 2.9) действительных чисел сущест! вует такое натуральное число п„что и,) —. Поэтому для всех 1 1 п=-п, выполняется неравенство 0~ — - — (е, а это и озна- 1 чает, что 1пп — = О, Очевидно, что последовательность (1/и) схоп,со П дится к нулю справа. 2. Последовательность (з(п — п) является расходящейся.

В са- 2 мом деле, каково бы ни было число а, вне его в-окрестности, 3.!. Определение пределе последовательности например при О =е< 1, заведомо лежит бесконечное число членов данной последовательности, и, значит, оно не является ее пределом. Г! . и 1 .

и 3. Последовательность! — з!и — пу сходится и Игп -з!и--п= (п 2 н- и 2 = О, что следует (почему?) из того, что 1 . и ! 1 . 1 — з1п- п ~ — — и 1!гп — =О. и 2 ~ и „„и Сходящаяся последовательность ! — з!и — п~ не является последо- Г! . и Г,п 2 вательностью, сходящейся к своему пределу слева или справа. 4. Последовательность (и) расходится. Действительно, каково бы ни было число а, например, для в=1 найдется согласно свойству Архимеда такое натуральное и„ что п,)а+1. Следовательно, и для всех натуральных п=-п, будем иметь и) а+1. Поэтому никакое число а не может являться пределом последовательности (и), В примерах 2 и 4 при доказательстве расходимости последовательностей было использовано позитивное определение того обстоятельства, что число а не является пределом данной последовательности. Сформулируем это определение.

Определение 3. Число а не является е1 пределом последовательности (а„), если существует такое е- О, что для всякого нату. рального и существует такое натуральное т„) и **1, что )а — а~ )в. В логических символах это определение имеет вид ! 1гп а, ~ а С:=> (Зе ) О) ( йп ~ Аг) (Чт ) и): ! а — а ) ) е.

и ь» Напомним, что при формулировании отрицания какого-либо утверждения логические символы сугцествования 3 и всеобщности и меняются местами. Именно так и произошло в данном случае, в чем легко убедиться, сравнив запись определений 2 и 4 в логических символах. Заметим, что определение 3 не является самостоятельным определением — оно является логическим следствием определения 2. У п р а ж н е н и я. 1.

Сформулировать позитивное определение понятия Расходящейся последовательности. 2. Доказать, что если 1пп а„ = а, то Нщ ~ ел ~ = , 'а ',. п «» л» Задача 2. Доказать, что последовательность !х„! расходится тогда и только тогда, когда существует такое число е ) О, что, каково бы ни было действи- *' Здесь частица «не» входит не в определение, а в определяемое понятие. **' Индекс и у числа тн показывает, что это число зависит от выбора числа л. й д Предел последовательности 5й тельное число а я каков Вы нн был непер и, найдется такой номер гл = и, для которого выполняет я неравенство, хы — а -- в. У п р а ж н е и н е 3.

Записать позитивное опретелсние расходящейся после. довюельности и условие задачи х в логнческвх символах и сравнить их. В расслготренных выше примерах существование или отсутствие пределов у данных последовательностей было довольно очевидным, а доказательства сводились к злементарной проверке ог,ределения предела последовательности. В качестве более сложного примера отыскания предела последовательности докажем следующее утверждение. П р и м е р 5. Если последовательность (х„) сходипюя, то последовательность средних арифметических ее членов х,—' ,«а+ ...

+Хн ун= ' ", п= также сходится и пртиом и тону же пределу, ото и салга последолательноспиз (х„). Пусть ))пз х„=- а. Прежде всего заметим, что для любых гг- ..ч натуральных чисел и, и и ) и, имеет место равенство ! «а у„— а= '" ' — а= и хз+" д х„— паа (х„л, — а)+...+(хн — а) + "' " . (3,2) !х.— !< ";. (3. 3) Поскольку х, +... + х„, — п„а — фиксированное число, а ! )гп — = О, 1 и чь то, как нетрудно видеть, и х,+...+х„— пеа )нп "' = — О. л- со и Следовательно, существует такой помер те, что для всех и=-гив выполняется неравенство х,+...+х„— пяа ! в ! (3.4) Если теперь задано е ) О, то согласно определению предела существует такой номер и„что для всех и .=и, выполняется неравенство 8.2. Бесконечные пределы Пусть п,=гпах(п„те).

Тогда для всех номеров п ==к, в силу (3.2), (З.З) и (3.4) получим х,+...-1-хл — пса 1 !хл ь1 — а!-1-...-1-, 'хл — а ! — -! л — пч в е е и- г + —,— «г — +,— =в. й и 2 2 2 Это н означает, что !пп ул = а. ( ) У и р а >кн е н не 4. Доказать: !) что отбрасмзапне нлн замена конечного числа элементов последовательностн не влияет ка ее сходнмость, причем в слу- чае скодяпсейся последовательности не влияет и на величину предела. 1 х» прн п=2л — 1, 2) если 1пп хи=а, )пп у„=а н ги =с( л 4 со и .ьоо (.

у» прн и =2й, а=1, 2, ..., то и 1пп г„=а. 3.2. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ Лля удобства вводится также понятие последовательностей, имеюших своим пределом бесконечность. Такие последовательности называются бесконечно болыиими. Определим их. Определение 4. Последовательность (х„', назыеают бесконечно большой, если для любого числа е существует такой номер пги что для всех и =-..

Характеристики

Список файлов книги