kudryavtsev1a (947413), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

[ ) Отметим, что нас в основном интересуют числовые последовательности. Последовательности же точск расширенной числовой прямой введены прежде всего для большей компактности изложения: оии позволяют не,рассматривать отдельно случаи конечных и бесконечных определенного знака пределов последовательностей. Исходя нз основных целей, в дальнейшем определения и утверждения будут в основном формулироваться для числовых последовательностей, хотя многие из ннх безо всякого труда обобщаются на случай последовательностей точек расширенной числовой прямой. 3 амеча н ие. Если последовательность (а„) имеет конечный предел, равный а, и если фиксировано некоторое число с~О, то для каждого а->О существует такой номер, который будет, так же как и в определении предела, обозначаться п„что для всех номеров п ) п, выполняется неравенство (а„— а)(са.

Действительно, если положить а, =са, то согласно определению предела последовательности существует такой номер пео что для всех номеров и =- п,о выполняется неравенство !а„— а)(аг=са н в качестве номера п, можно взять номер ипо э 8. Предел последовательности Например, если 1пп а„=а, то для всякого е)0 существует л се такой номер п„что для всех номеров п)па выполняется неравенство ~ а„— а' ,< —. Полезным понятием является понятие подпоследовательности данной последовательности.

Определение 7. Последовательность Ью й = 1, 2... называется подпоследовательиостью последовательности (а„'1, если для любого й существует такое натпуральное п»о что Ь»=а„, причем п» ~п» е»' 1 в тогда и только тогда, когда й, ( йв. Последовательность (Ь»1 обозначается в этом случае также ~а„~) или а„, й= 1, 2,,... Иначе говоря, если дана какая-либо последовательность и из некоторого подмножества ее элементов образована новая последовательность, то она называется подпоследовательностью исходной последовательности, если порядок следования в ней элементов такой же, как н в данной последовательности. Так, последовательность 1, 3, 5, ..., 2п+1, ... является, а последовательность 2, 1, 3, 4, ..., и, ...

не является подпоследовательностью натурального ряда чисел 1, 2, ..., и, ... В обоих случаях элементы последовательностей образуют подмножество*1 множества натуральных чисел, ио в первом случае члены последовательности расположены в том же порядке, как в натуральном ряде чисел, а во втором случае этот порядок нарушен. Если )а„~»( — подпоследовательность последовательности, то, очевидно, п,=-й, й=1, 2, ..., и, следовательно, 1пп и» = + со.

» о (3,7) В дальнейшем мы будем неоднократно пользоваться следующей леммой. Лемма. Если последовательность точек раситиренного множества действительных чисел имеет предел (конечный или равный со, + со или — оо), то любая ее подпоследовательность имеет тот же предел. Доказательство. Пусть х„~М, и=1, 2... и (х„~~— некоторая подпоследовательность последовательности (х„). Если 1пп х„ = а, где а в либо число, либо одна из бесконечностей оо, и се + оо, — со, то согласно определению б для любой окрестности У (а) элемента а существует такой номер п„что для всех и- п„ " Напомним (см.

и. 1.1), что само множество также считается своим подмножеством. Зль Ограниченность сходянхихся посеедовательностей б9 и ы йг, выполняется включение х„еп П (а). (3.8) В силу (3.7) для указанного по существует такое й, е- :й7, что при всех й~йо, й е= М, будет иметь место неравенство па--п, и, следовательно, в силу (3.8) — включение х, еп П (а). Это и озиачает, что 1пп х„=а. У п р а ж и е и не 9*. Пусть Ь ь-ь нь — некоторая биекция миожества иатуральиых чисел АГ ва себя: Ьалт, наяхч. Доказать, что если последовательиость (х„) сходится (расходится), то и последовательность (х„ ) сходится (расходится), причем в случае сходимости последовательности (хн) или сувгествоваиия у иее какого-либо бескоиечного предела последовательиость (к„ ) вмеет тот же предел.

3,4. ОГРАНИЧЕННОСТЬ СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Следует различать последовательность (а„), т. е. множество элементов а„и множество значений ее элементов. Первое миожество всегда бесконечно, так как состоит из совокупности элемеитов, отличающихся по крайией мере номерами и =1, 2, ... Второе множество состоит из всех чисел, являющихся значениями элементов данной последовательиости, опо может быть и коиечиым. Например, последовательность а„=1, п=!, 2, ..., как и всякая последовательности, состоит из бесконечного числа элементов, а множество значений ее элементов состоит из одного числа 1. Определение 8. Погледовапмльносто называется ограниченной сверху (снизу), если множество значений ее элементов ограничено сверху (снизу).

В терминах элементов последовательности это определение может быть перефразироваво следующим образом. Определение 8'. Последовательность (а„) называется огр ниченной сверху (снизу), если существует такое число Ь, что для всех номеров п=1, 2, ... выполняется неравенство а„Ь (соответственно неравенство а„)Ь). Определение 9. Последовательность, ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной. Очевидно, что последовательиость (а„) ограничена тогда и только тогда, когда существует такое число Ь, что для всех номеров п=1, 2, ... выполняется неравенство )а„~ ( Ь. Определение 1О. Последовательно ть, не являющаяся ограниченной (сверху, сншу), называется неограниченной (сверху, снизу).

бд Э З.Предел последовательности Например, последовательности 1 -) и (з!и — п1- ограничены. Последовательность (п) не ограничена, точнее она ограничена снизу, ио не ограничена сверху, а последовательность (и з!и "- п~ является неограниченной как сверху, так и снизу. Теорема 2. Если паслсдозатгльноспгь имеет предел, пю она ограничена. Доказательство. Пусть дана сходящаяся последовательность (ал) и пусть !пп аз =а.

Возьмгм, например, а =-1. Согласно определению предела последовательности, сущ ствует такое и„ что для всех и - и, выполняется неразенстзо ! ал — а( ( 1. Пусть й — налбзльшее из чисел 1, !а, — а,, ..., !а„ 1 — а'. Тогда для вс х и = 1, 2, ... справедливо неравенство (ал — а(.='Й, т. е. для всех и а — й =- а„~ а+ й. Это и означает ограниченность заданной последовательности. ! ) Злй МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Опргделениг 11. Верхняя (нижняя) грань множества значений злемгнтоз последовательности (а„) называется верхней (нижнгй) гранью данной последовательности и обознача тся зпр ',а„) или зпр а„(соотвепзственяо !п1 (а„) или 1п1 а,).

л=1,2, ... и = 1, 2, .. Если верхняя (нижняя) грань является числом, то это определение можно сформулировать следующим образом. Определзниг 11'. Число а язляется верхней (нижпей) гранью последовательности ал, и =1, 2, ..., если: 1) для всех и= 1, 2„... ьыполняется неравенство ал ='а(соответственно неравенство а, — а); 2) для любого а ) О существует такой номер п„что ал, ) а — в (соответственно ал,: а+ е).

Аналогично можно сформулировать определение верхней (нижней) грани последовательности в случае, когда указанная грань бесконечна. (Сделайте это.) В качестве примеров отметим, что зпр (1/п) = 1, !п1(1,'и) = О, впр (и) =- + со, 1п1(п) = 1. Здесь везде и = 1, 2, ... Определение 12. Последовательность (х„', назьюагтся возраста ощей (убывающей) последозательностью, если для каждого и = 1, 2, ВЫПОЛНЯСтСЯ ЯЕРааЕНСтВО Х„=" Хл З (СатПВСП1СтВСННО НгРавгиетаа «л Г Н ХЛЗ1). *' Возрастающие (убывающие) последовательности называются таиясе неубывающими (соответственно невозрастающнми).

Вд. Монотонные носледовогвлвновгн 61 Возрастающие и убывающие последовательности называются Монотонными. Например, последовательность )1/л) убывает; последовательнссть (и) возрастает, а последовательность !з!и 2 п~ не является и монотонной. Теорема 3. Всякая возрастаюи!ая (убыеаюи!ая) последовательносп|ь )х„) имеет предел, конечный, если она ограничена ссерху (снизу) и бесконечный, равный + сс (соответственно — сс), если она неограничено сверху (снизу), причем 1'ип х„=ьпо )х„) (соотсетственно, 1!гп х„= 1п1 )хн)). Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть псследовательнссть (х„) возрастаег и ограничена сверху. В силу последнего условия, она имеет конечную верхнюю грань (см. теорему 1 в п. 2.8). Пусть р "-'~зир (х,). Покажем, что р = 1!гп хв. и со Зафиксируем произвольное е) О. Из того, что р =знр (х„). следует, что для всех а=1, 2, ... справедлнво неравенствах„-.- )! и что существует такой номер п„что х„,)р-е. Тогда в силу возрастания последовательности (х„) для всех номеров и -= п, будем иметь: р — е ( хвв «- х„-: )). Поэтому для всех п =- и„ и ен Л), выполняется неравенство ) х„— р ) ( е.

Зто и означает, что р = ! ип х„. Если последовательность (х„) неограничена сверху, то еср(х„)=-+со (см. п. 2.8). 1!окажем, что в этом случае и 1'ип х„=+ со. о са Снова выберем произвольным образом е) О. Из того, что псследовательность (х„) неограничена сверху, следует, что существует такой номер п„что х„в ) е. Тогда в силу возрастания псследовательности )хн) для всех номеров п==-п, будем иметь: х )х„)е.

Зто и означает, что 1!щ х„=+ сс. н н» Аналогично разбирается случай убывающих последовательностей. Впрочем, его можно свести и к случаю возрастающей последовательности, если заметить, что для каждой убывающей последовательности (х„) последовательность ( — хн) будет уже возрастающей. П Таким образом, всякая монотонная последовательность имеет предел: конечный, если она ограничена, и бесконечгый, если она ие ограничена. Зтот предел равен +ос, если монотонная последовательность не ограничена сверху, и он равен — сс, если она не ограничена снизу.

В Я,Предел последовательности (3.9) В самом деле, в п. 2.10 было показано, что 5=ьпр(а„) = = (п1 (Ь„). С другой стороны, последовательность (а„) (соответственно (Ь„)) возрастает (убываст), откуда и следует (3.9). Пример. Число е. Пусть х„= (1+ -„-), и = 1, 2, ... Покажем, что эта последовательность сходится. Применяя формулу бинома Ньютона„получаем: х„= (1+ — „) ! л(л — !)(а — 2) 1 аь ! 2.3 аь ! п(л — !)...! ! п"+' '+ ! 2...а л" =1+ .'+п',"," п(п — !) ... (и — Й+ !) '+ ! 2...Ь + +2' ( л) +3! ( л)( л)+'" ! (1 !) (1 л — !) (3. 10) Поскольку при переходе от и к и+1 число слагаемых, которые все положительны, возрастает и, кроме того, каждое слагаемое увеличивается: 1 — -„- (1 — — г, 5 = 1.

2, ..., и — 1, Поскольку всякая подпоследовательность монотонной последовательности также монотонна, то она в свою очередь всегда имеет конечный или бесконечный предел, который, очевидно, совпадает с пределом всей последовательности (см. лемму в п. 3.3). Мы видели, что если последовательность сходится, то она ограничена (теорема 2), отсюда, в частности, следует, что если возрастающая последовательность сходится, то она ограничена сверху; с другой стороны, если возрастающая последовательность ограничена сверху, то она сходится (теорема 3). Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Характеристики

Список файлов книги