kudryavtsev1a (947413), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

гт, еыполняется нграеенстсо !хл )~ е. В этом случае, употребляя символ со, пишут Вгп хилл со. л со Если последовательность х„я=1, 2, ..., такова, что для любого числа е *' сушествует такое п„что для всех п)п, выполняется неравенство х„) в (соответственно х„~ е), то пишут 11п1 хи=-+ со !'соответственно 1пп хи= — ос). Во всех этих слУ- и со л со чаях говорят, что последовательность (х„) имеет бесконечный предел, соответственно равный оо, -1-со или — со. Если 11ш хлои л со =+со или 1)гп хл= — со, то и !пп хи=о», т. е. (х„) является и о и о бесконечно большой последовательностью.

Очевидно, что бесконечно большие последовательности не имеют предела в том смысле, как он был определен в п. 3.1. Применение в этом случае обо. значения <!цп» н использование слова «предел» является традиционным. В дальнейшем всегда под пределом последователь«ости будем понимать к о н е ч н ы й п р е д е л, т. е.

число, если, конечно, не оговорено противное. *' Следует обратить ввнманне на то, что здесь е не предполагается положнтельнмм. Э З,Предел последовательности Термин «сходящаяся последовательностьь употребляется только для последовательностей, имеющих конечный предел. С помощью понятия окрестности можно всем сформулированным выше определениям конечного или бесконечного предела последовательности придать более единообразную форму. В п. 2.6 было введено понятие окрестности чисел х е- :Я и бесконечно удаленных точек +со и — со.

Аналогично можно для любого в ~ О определить и понятие з-окрестности У (со, е) бесконечности со без знака: и(, е)вми(+..в) () ((( —,.). е-окрестность У (сс, е) называют также просто окрестностью бесконечности со и обозначают через У(сс). Используя понятие окрестности, определение конечного и любого бесконечного предела числовой последовательности можно сформулировать единым образом. Определение 5.

Элемент а, являющийся числом или одной из бесконечностей оо, + со, — со, называется пределом числовой последовательности (х„), если какова бы ни была окрестность (l(а) элемента а, для нее существует токаи номер п,в=Ф, что для всех пЗ-.пь, пяФ, справедливо включение х,„«=У(а). Наряду с числовыми последовательностями в нашем курсе будут встречаться последовательности точек расширенной числовой прямой, т.

е. занумерованные натуральными числами совокупности(х'„) элементов расширенного множества действительных чисел 1«(см. и. 2.5). Таким образом, элементами этих последовательностей наряду с действительными числами могут быть бесконечно удаленные точки + со и — оо. Для таких последовательностей также можно ввести понятие предела, аналогичное пределу числовых последователыюстей и содержащее его в себе как частный случай. Определение 6. Элемент а, являющийся числом или одной из бесконечностей со, + со, — оо, называппся пределом последовательности точек х„вяжи, п=1, 2, ..., если какова бы ни была окрестность У(а) элемента а, для нее сущеспюует такой номер и, е= У, что для всех и = п„п еи АГ, выполняется включение х„ея У(а). Если последовательность х„ еи л«, и = 1, 2, ..., такова, что все ее члены равны между собой: х„=х„при всех и в= Ф и т еиДГ, то она, как известно, называется стационарной.

Всякая стационарная последовательность точек расширенного множества действительных чисел имеет предел, равный общему значению ее членов. Это сразу следует из того, что каждая точка расширенной числовой прямой содержится в любой своей окрестности. В самом деле, если для всех и я А«имеет место х„= а яМ, ДД 77роствйшие свойства предела последовательности йб то для любой окрестности (7(а) точки а и всех лен Ф очевидным образом выполняется включение х„= а ~ (7(а). В дальнейшем под последовательностью всегда понимается числовая последовательность, т. е. последовательность, элементами которой являются действительные числа, если, конечно, специально не оговорено что-либо другое. У ар а ж н си и я. 5.

Привести пример неограниченной последовательности, не являющейся бесконечно большой. 6. Доказать, что если а„=.~дл~, и=1, 2, ..., н !пп а„=+со, то 1пп Ь„=со. и са 7. 11оказать, что любая подпоследовательность бесконечно большой послеаовательности также является бесконечно большой последовательностью. 8. Доказать: почленное произведение бесконечно большой последовательности на последовательность, абсолютная величина всех членов которой ограничена снизу положительной постоянной, является бесконечно большой последовательностью. ЗЛ, ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Докажем прежде всего корректность определения предела в том смысле, что если он существует, то он единствен. Теорема 1.

Последовательность точек расишренной числовой прямой леожет илсеть на этой прямой люлько один предел. Следствие. Числовая последовательность может иметь только один предел, конечный или бесконечный определенного знака. Доказательство теоремы. Допустим, что утверждение теоремы, несправедливо.

Это означает, что существует последовательность х„енлс, а=1, 2, ..., у которой имеется, по крайней мере, два различных предела а~ах и ЬенЯ. Выберем ет О и ив~О так, чтобы е,-окрестность точки а не пересекалась с е,-окрестностью точки Ь. Это всегда можно сделать согласно лемме п, 2.6 (см. рис. 4, а, б, в и г). В силу определения предела из условия 1пп х, = а следует, что существует такой номер п,енМ, -что для всех номеров и тв п„п ~ Ф, имеет место включение х„ен(7(а, е,), а из условия 1пп х,=Ь следует, что существует такое и, ~Ф, что для всех и=п„п еэ)Ч, справедливо включение х„ен (7 (Ь, е,). Следовательно, если обозначить через пв наибольший ве) из номеров и, и пз.

п,=-шах(п„пз), то для любого пзвп, будем одновременно яметь х„~(7(а, е,) и х„~(7(Ь, е,), т. е. х„ен(7(а, е,)П(т'(Ь, ез). Это противоречит условию (7(а, е„)П Пи(Ь, е,')=Ф. П' Следствие является частным случаем утверждения теоремы. Для единственности бесконечного предела последовательности элементов из вс существенным является рассмотрение лишь бесконечностей определенного знака, так как если после- Э З.Предел последовательности вв довательность имеет своим пределом бесконечность со знаком, то одновременно ее пределом является и бесконечность без знака. Например, если 11ш х, = + ос, то, конечно, и 11пт хи = со.

и са л са Докажем теперь некоторые простые свойства конечных и бесконечных пределов. 1. Если х„вн4, у„ен 4, г„яЯ, и=1, 2, ..., (3.5) х„~уи -ги 1пп х,= 1пп го=а-)!'» л и л со (3.6) то 1пп уи=а. л са Доказательство. Пусть зафиксировано е)0. Тогда сот гласно определению предела существуют такие п, ен й! и ие ен Аг, что для всех и»и,, и ен Ф, выполняется включение хи е= У(а, е), а для всех и'==и,, и ен Ф, — включение г„ен(т" (а, е). Следовательно, если обозначить через и, наибольшее из чисел ие и и;. па-"шах(ип ие), то для всех номеров п»и„п Аг, будем иметь х„ен(» (а, е), г„АУ(а, е), а поэтому и !х„, г„] с У(а, е) (см. замечание 1 в п. 2.6).

Неравенство (3,5) означает, что у„ер(хи, ги]. Следовательно, при и=-и, имеет место у„~(т'(а, е), т. е. 1пп улааа. ( ] л со. !1. Если х„=уи, х„енес, у„яМ, и=1, 2, ..., и Дптхи ил и со =-+ со (соответсепввнно, !пп у„=- — со1, то и ! пп уи = + со л» у л со ( соопыетстввнно, 1пп хи =-- — со]. и .а Эго сзолство явля тся усилением сээйства 1 для бесконечных пределов: в этом случае вторая посл'.довательность (г„) не нужна. Доказательство. Из условия !нп хи=+ оо следует, что и о» для любого е) О существует такое и, ~й1, что для всех п»и„ и~М, выполняется условие хи е.

В силу неравенства х„.~у„, очевидно, что для всех и»п, имеет также место неравенство у„)е. Зто и означает, что !пп уи=+ ос. л со Аналогично рассматривается случай 1пп уи = — оо. ( ] л са !11. Если х„я !с, у, я ес, и = 1, 2, ..., и существуют пределы 1йп хи=а, !ип уи=Ь, причем а(Ь, агнес, Ь~М, то сущее о» л са ствует такой номер п, ~» А1, что для всех номеров п-"-п„п ~ А(, выполнястся иеоавенство х„< ул.

Следствие. Если существует предел )пп хл='а, х„~Я, и =1, л о» 2, ..., ае=ес и а(с (соответственно, а»с), сенте, то суще- З.З. Простейшие свойства предела лоеледоеотеловоеги ствует таков поят, чпго для ссех п)п„п ев йг', сираввдлисо неравенстсо хо ( с (соответственно, х„) с). До к аз атель ство. Выберем какие-либо числа аг) 0 и ел)0 так, чтобы окрестности У(а, е„) и (г'(Ь, е,) не пересекались (см. и.

2.6). Тогда ясно, что в силу неравенства а С Ь для любых х е- =У (а, ег) и у е- =У (Ь, ее) выполняется неравенство к < у (см. замечание 2 в п, 2.6). В силу определения предела существуют такие и, е= ггг' и и, е:— !г(, что при и~и„п ев У, вь:полнястся включение х„я у(а, аг), а при и=и„п я дг, — включение у„~ У (Ь, ае).

Следовательно, еслгг положить п, — ' шах (и,, ие), то при п~гге будет справедливо неравенство х„(у„. ) ) Следствие вытекает нз свойства П!, если в нем в качестве последовательности (у„) взять стационарную последовательность у„=с, и=1, 2, ..., (см. п. 3.2). ! Ч. Если суи(ествует ! (гп х„= а е= М, х„е= Ф, п = 1, 2, о о и, для соек и е= Ф справедлисо неравенство х„( Ь (соответспгсснно, неравенстсо х„геЬ), Ье=)с то а~Ь (соответспгеенно, а~Ь).

Действительно, если бы оказалось, что а)Ь (соответственно, а<Ь), то согласно следствию свойства П! нашлось бы такое п,ен Ф, что при и==-п„п ев Л', имело бы место неравенство х„>Ь (соответственно, х, -Ь), что противорсчит предположению, что х„~Ь(х„-=Ь) для всех п ~Ф.

Характеристики

Список файлов книги