kudryavtsev1 (947411), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Полученное противоречие показывает, что и второй случай невозможен. Итак, ни один из рядов (36.57) и (35.58) не может сходиться в предположениях леммы, значит, оба онн расходятся. Лемма доказана. оо.7. Скоояо!песк ряди, яе окопе!Чиеоя пбоолюгяо. 17риенок Лирикле ВОЗ Теорема 18 (Римаи). Если ряд (35.56) скадигпся, но не аби~- лютно, то, каково бы ни было число А, можно так нереста. ил!ь члены впюго ряда, чл!о сумма лолучияисегося ряда будет равной А Д о к а з а т е л ь с т в о.
Снова рассмотрим ряды (35.57) и (35.58). Согласно лемме, ~ч~ и+ — +,о, !» ! (35.67) Пусть, для определенности, А>~0. Выберем число лт так. чтобы и;+и;+... +ич«А и чтобы (при л «1) и', + и' + ... + и', < А, (35.69) Существование номеров п„для которых выполняется условие (35.68), следует из условия (35.66); для того чтобы при этом выполнялось н условие (35.69), надо взять наименьший из этих номеров и,. Далее, выберем из ряда (35.58) и, первых членов так, чтобы и', + ... +и„" — и, — ...
— и„(А и чтобы (при ля«1) и+,+ ... +й ! и,—... — и„,)~А. и',+ ... +и'„— и,—... — и„+и+,-1-... ( и» «А (при ля«и!+1) и+,+ ... + и" — и, — ... — и„+ и„+, + ... -1- и+, <: А. Продолжая этот пропесс дальше, получим ряд и'+... +и' — и- —...
— и +и' +... +и'— ! "' », ! -' »»1+! " ». — и —,.— и +.... а,+! " »„ (зо. 70) СУществование такого номеРа пе доказываетсЯ исходЯ из (3гь67) аналогично существованию номера и,. Далее, снова выберем подряд из ряда (35.57) члены до некоторого номера и, так, чтобы ф 8Б. Числоаьы ряды бра Для последовательности его частичных сумм г, 1 о г в силу построения выполняются неравенства д„А, з„+„«" А, з„„.ьА, ..., причем отклонение от числа А каждой из указанных частичных сумм да +„не превышает ее последнего члена: л» "а+! — ! . 'и+" а+! ~ ' "а+!' (35.71) где через и,+, обозначен член ряда (35.70) с номером п„+,, аа+ ! наверху у него в ряде (35.70) стоит индекс «+ь или а — и.
В силу сходимости исходного ряда (35.56) 1пп и„== О, и так как при !т — со номер члена и,* в ряде (35.56) также Гг+ ! стремится к оо, то 1пп и+ = О. а гг+! Поэтому из (35.71) следует, что 11ш зл +и =А. а+! (35.72) Если теперь взять любую частичную сумму з„ ряда (35.70), то в силу конструкции этого ряда всегда можно нанти такой номер й = й(п), что будет иметь место либо неравенство зп + и «~ Зп«ч. Згг +и Гг а+1 «+ ! *-!-д либо неравенство дл +я «» дп ~~ Зп +л а' д+! а+! а+д а потому из (35.72) следует, что и !1 гп з„=- А. Теорема доказана. У и р а ж и е и и е 2.
Доказать, что если рид (55.5б) сходится, ио ие абсолкгтио, то сожио так переставить его члены, что ои будет расход!о ьси (соотсстствсиио так, что его сумма будет равна +со, а также и так, что оид будет равна — сс). об,7. Сходни!иетя ряды, тм сходящиеся абсолютно. Приэнок х!ирихяе 811 где рн Ь!, ! = 1, 2,..., а, — комплексные числа. Положим в, = ьм в„=. ь, + ь„..., в„= ь, + ь,+ ...+ ьп, тогда Ь! = В! Ьг'=Вэ Вт ". ~ Ьп Вп Вп — ! Б=.а,В, +ах(вэ — Рт)+ ...+а„(Вп — В, !). Раскрывая скобки и группируя по-новому члены, получим В = (а! — ак) В, +(а„— а,) Вя+ ... + (о„, — а„) В ! + апВп. Таким образом, окончательно и†! ~~".,а,.ь! = ~~Р„(а! — а!+!) В!+ апВ . ! ! =! (35.74) Зто преобразование сумм вида (35.73) называется т!реобрпзоааниея! Абеля*', оно является в известном смысле аналогом интегрирования по частям.
Зта аналогия особенно бросается в глаза, если формулу (35.74) записать в виде и и — ! ~ч'.; а! В, — В, !) =(апВп — а,в!) — ~~'.~ (гч+! — а,) В,. ! э Докажем с пов!оп1ыо преобразования Абеля лемму. Лемма 2 (неравенство Абеля). Если а, > а!+!)О, !=1, 2, ..., и — 1**1, (35.75) ( Ь, + ...+ Ь,) < В, 1= 1, 2, ..., л, (35.76) ~ а!Ь, < Вам ! Н. Лбсль (!802 — 1829) — норвежский матеиаткк. *и! Следовательно, числа аи ! =- 1, 2, „л, — всечсствсвкм.
В заключение этого параграфа дадим достаточный критерий для сходимости числовых рядов, пригодный и для рядов с комплексными числами. Предварительно расслсотрим одно преобразование сулэм! вида В=рты+акЬ,+ ... + апь, (35. 73) Э Вп. Числовые рядн Действительно, согласно условию (35.75), а,— а1+! > О, и позтому в силу фх1рмулы (35.74) и условия (35.76) ! П П вЂ” ! ~', а1ь,~ < ~ (а,— а!+!)) В1(+а„1В„~ < — ю=- ! Гп — 1 .„В ~ ~ (а! — а!+ !) + а„= Ват. 1=! Теорема 19 (признак Дирихле). Пуси!ь дан ряд ~ а„Ьп, (35.
77) П=! п1акой, что последовательносп1ь (ап) моноглонно убывает и стрело!я!си к нулю, а последовательность чася1ичнмх сумм (Вп) ряда ХЬп (35.78) П=! ! и+Р Ь, = — !Вп+Р— Вп 1) < 2В. (35.79) 1=и Из условия 1ипа„.=-О следует существо- П что Пусть задано е) О, наине такого номера и, а„(— (35.80) для всех и> п .
Теперь, применяя неравенство 1пбеля к сумме и+Р ~ а,Ь1, 1= где и> пв, и учитывая неравенства (35.79) и (35.80), получим неравенство ! П+Р ~ а,Ь! (2Ва„(е, 1 П откуда, согласно критерию Коши, и следует, что ряд (35.77) сходится. Теорема доказана, ограничена, тогда ряд (35.77) скодтпся. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу ограниченности последовательности (Вп) существует такое число В О, что ~ В„! < В для всех и == 1, 2, .... Отсюда следует, что для любого и = 2, ... и любого палого р > 0 дд7.
Сходяисиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Приеник с!ириске Згз Б качестве примера рассмотрим ряд -т а!оп с! и=! я (35.81) Прежде всего, если ачь 2пт, т =О, + 1, + 2, ..., то а я к 2снп — мп яа 2 Х ' .=-Х и=! г !и " ~, !соя~~а — — )а — сох!!а+ 2 ~~а~ соа — а — соа(сп+ — ~~а а=! 2 алп —, г 2 спп —, г я+! и агп — а а!п — а 2 ' 2 (35.82) а а!ив 2 и поэтому Х ! з!пяа ~— е 1 а|ив 2 (35.83) где а„> а,+г' >О, положить !г„=( — 1)", то, очевидно, суммы Ьт+...+(г„, и=1, 2, ..., огранйсгены и, значит, по признаку Дирихле ряд (35.83) сходится.
У пр а !к не ни е 3 Исследовать сходимость и абсолютную сходимость следую!пик ряаоя я !я + !) !п'(я + !! «=! И! С другой стороны, последовательность ~ — ! монотонно убывает и стремитси к пулю. Поэтому при и + 2плт по признаку Дирихле ряд (35.8!) сходится.
При а = 2птп, л! = О, +1, -Е2, ..., все члены ряда (35.81) равны нулю, н тем самым он также сходится. 3аметим, что признак Лейбница (см. и. 35.5) следует из признака Дирихле. Действительно, если в ряде ~ч'., ( — 1)" а„, 86 д Еходнлюсть функинонольных носледоеотельностеа! и радое 5!3 и, соответственно, ряды у~ иь(х). (36.2) н=1 При каждом фиксированном значении аргумента х эти последовательности и ряды, очевидно, представляют собой уже рассматривавшиеся числовые последовательности и ряды.
Пусть Š— некоторое множество элементов, в частности, мно. жество точек прямой, плоскости или вообще и-мериого пространства, и пусть (36.1) — последовательность функций, которые определены иа множестве Е и значениями которых являются, вообще говоря, комплексные числа. Определение 1. Последовательность (36.1) называется ограниченной намножесспве Е, если существует ьс~аная посспоянная IИ ) О, что !1.(х)! <М для всех х~ Е и всех и = 1,2, .... (Иногда в этом случае последовательность (36.1) назглзается также равнольерно ограниченной.) Определение 2.
!)сследонательнссспь (36.1) называепкн монотонно убывающей (соотпетственно, монотонно ыьзрастающей) на множестве Е, если р„+, (х) < 1, (х) (тоитетглпвенно если (ь ы(х) > га(х)) для всех х ~ Е и всех п=1,2, .... Это определение, очевидно, предполагает, что функции /„(х), и = 1, 2, ..., принимают вещественные значения. Определение 3.
Последосхстельность (36.1) называется сходяи(ейся в точке*' ха б Е„если числовая последовательность (1„(ха)) сходится. Последовательность (36.1) называется сходящейся на л~ножестве Е, если она сходгипся в каждой тонне множеспихс Е. Если 1!гп Г"„(х)=1(х), х~ Е, то говорят, что последовательность (36.1) сходится х функ.- иии 1(х), х~Е. Аналогичное определение можно дать и для ряда (36.2).
Определение 3 . Рлд (36.2) называется сходяи(и ися и пючке хо ~ Е, если сходится числовой ряд :«' ин( ). Ю Мы называем элементы множества .Е точками, яа В 86. Фцякяоопольние последовательности о Лядм Ряд (36.2) называется сходящимся на множестве Е, если он сходится в каждой точке этого множества. Определение 4. Ряд (36.2) называется абсолютно сходящимся на множестве Е, если на множестве Е сходиаюл ряд «е ( ип(х)~.
и=! Подобно случаю числовых рядов сумма зп (х) =. ~ и„(х), л =- 1, 2, . ь.! называется и-й частичной сумльой ряда (36.2); предел частичных сумм сходяшегося на множестве Е ряда (36.2) называется его суммой з(х): в(х) =- Игп в„(х). и Ряд иь(х) (36.3) ь=п+ь называется л-м оста>пном ряда. Он сходится на Е тогда и только тогда, когда на Е сходится ряд (36.2). Если в этом случае сумму ряда (36.3) обозначить через г„(х), то в(х) =. з„(х)+ г„(х). Как и для числовых рядов, каждому функциональному ряду (36.2) можно поставить в соответствие последовательность его частичных сумм в„(х)= и„(х), п=1, 2, .... к Г1ри этом каждая функциональная последовательность (36.1) окажется поставленной в соответствие некоторому ряду, для которого она будет последовательностью его частичных сумм.
Члены этого ряда определяются однозначно: иь(х)=-) (х), и„(х) =Г„(х) — Г„ь (х), п=2, ..., Это обстоятельство дает возможность перефразировать всякую теорему, доказанную для функциональных рядов, всоответствую>цую теорему для функциональных последовательностей, н наоборот. Мы неоднократно будем использовать это обстоятельство. Зб.1. Скодиноеть еданкиионильник последовательностей и рядов В17 П р и меры.
1. Пусть дан ряд л '+'+2!+- + й!+-' (36.4) к — комплексное число. Исследуем его абсолютную сходимость, т. е. сходимость ряда с и-ьи членом (г !" и п Применяя признан Даламбера, получим ~ил+!1 . 1г) ! и,1 „и+! Бп! — „= Игп — =-0 при любом комплекснол! з. Таким образом, ряд (36.4) абсолютно, а значит, и просто сходится при любом комплексном г, или, как обычно говорят, на всей комплексной плоскости.
2. Изучим сходимость ряда кь кл кк+!+,.+...+„+, +..., (3 к — вещественное число. Этот ряд сходится при всех к. Действительно, если кФО, то мы имеем геометрическую прогрессию со знаменателем 1 ! =,+„,, 0<4<1. Рив. !И И в этом случае сумма з (к) ряда (36.5) легко вычисляется: з(х) = = 1+ хь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
