kudryavtsev1 (947411), страница 80
Текст из файла (страница 80)
ходятся. и которые тем самым мы можем пытаться использовать для исследова!ьия сходимостн данного ряда с помошь!о признак! сравнения, Если в качестве «ряда сравнения» (35.21) взять ряд »= ! э йд. Числовые рлдн и потому ряд а значит, и ряд и=! сходятся. 1+(Н и 3) ии = 1п " , и =- 3, 4, и и и !11 Имеем и„~~О и (н — =- — +о~ — ), поэтому и и н, = 1п 11 + 1н — 11 — 1и 11 — 19 — 1 = и( и) = 2 1д а + о ~1д — ) = — + о ~ — ).
Таким образом, и а так как ряд лп м! и и=! расходится, то расходится и ряд 1+ (и и -з ' (а— и Может, конечно, случиться, что с помощью теоремы 9 довольно сложно установи!ь, сходи!ся или расходится рид, а с помощью какого-нибудь другого приема это сделать значительно проще; примером такого ряда является рид у 1 и! !(а +1)!и (а+1) Збе.
Критерни сходимотти рядов с меотрицотеллиыми чиеиоии 493 Этот ряд легко можно исследовать с помощью интегрального признака сходимости: из того, что интеграл +С (' д( (х + 1) !и (х + 1) ,) Ю "~~~ и„, и„) О, я= 1, 2, ..., о ! (35.27) тогда: 1) если существуют такое число т), 0 < о<1, и тпкой номер и„ что — <д для всех и> пи, по+1 ии то дп ный ряд сходитсяг 2) если сущесп(вует токой номер п„, чпю — )~1 для всех и~~пи, и„(! ио то данный ряд рпсходип!ся.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть О < () < 1 и пусть существует такой номер п„что при и> и, и„+~ ии и <ди. м Ж Лилаибер (1717 — 17ЗЗ) — фрвниухскяй философ и ивтсмвтии. расходится, следует, что и ряд (35.26) расходится. Иногда оказываются полезными некоторые спепнальные признаки сходимости ряда.
Отметих! среди них так называемый признак Даламбера*' и признак Коши, непосредственно получающиеся из признака сравнения, если ь качестве ряда сравнения взять соответствующим образом выбранную геометрическую прогрессию. Теорема 10 (признак Даламбера). Пусть дан ряд с положитпельными членами е Зд Числооые ряды Тогда я+! я Ч' ия„+я < ия*1 д.<и„о', и,+ <и,„,осы...<и ае, и так как ряд и а+ ия д'+ ... + и, де+ ...
сходится, являясь геометрической прогрессией со знаменателем Ч (О( о( 1), то по признаку сравнения сходится и ряд а значит, и весь ряд (35.27). Если же существует такое а,, что > 1 для всех п > п,. ия и„, )~и, и„Ьз ~ и )~ ияи и так как по предположению и„, > О, то и-й член ряда, будучи ограничен снизу положительной постоянной, не стремится к нулю. Следовательно, не выполняется необходимое условие сходимости ряда (см. теорему 5 этого параграфа), и потому ряд (35.27) расходится. Теорема доказана.
С л е д с т в и е. Пуапь суи(естест ип 1 1пп "+ я ~ Ия Тогда, если 1< 1, то ряд (35.27) сходится, а если () 1, то ряд (35,27) расходится. Это вытекает непосредственно из доказанной теоремы. В качестве примера рассмотрим ряд за.4 Критерии схадииасти рлааа с неатрицателены.ии тленасси и„+с 1 и, -- — и !пи =Итп =О, 1 и.
а иа «-+ а+! позтому, согласно следствию теоремы 10, данный ряд сходится. Теорема 11 (признак Коша). Пйспсь дан ряд ~" ите ии)0, п=-1,2, ..., а.= с тогда: !) если сйи!естпв(ссопс исаков с1, Ок. с! 1, и яткое п„что (35.29) ат— !!и„< с) для всех и .'..-пта то данный ряд сходится; 2) если сус!естсисессс такой номер п„тпо и !т и„>! для всех п ..пе, то данный ряд расходится. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Если при и =- и, )ттии < с1, т. е. сси ~(с)"ч то по признаку сравнения ряд (35.29) сходится, ссбо ряд ) У с)т при О<, с)е.,1 сходится. и с Если исе т' сси > 1, п ~ па, то и > 1, и, зна сит, ряд (35.29) расходится (см. теорему 5). Теорема доказана. Следствие. 4!усть сци(есспврет и; ! с си с! с си = 1. и Доказательство следствия очевидно. Тогда, е<'ли !(1, то ряд (35.29) сходсипся, а если 1 > 1, то ряд расходипсся, Зд Чаелоеь!е ряон 499 Расс!!отри!! ряд (35.ЗО) Так как 1ип 1! и„= Ищ — = О, и я к то, согласно следствию теоремы 11, ряд (35!.ЗО) сходится.
Сходнмость ряда (35.30) легко устанавливается и с помощью следствия пз теоремы 9. 35.5. Знакопеременные ряды (35.31) (35 32) и„> и„+ ! ) О, и =- 1, 2, ..., то знакочеред!!юн!ийся ряд (35.33) сходится. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим частичные суммы четного порядка ряда (35.33): 2е з,к =Ъ'( 1)" 'и„. Г! к — -! Их можно записать в виде зм=(и,— их)+(и,— и,)+...+(ивл — ! — ие„), я=1, 2, .... В силу условия (35.32) выражения в круглых скобках неотрицательны и потому з,к < зе!ль!1, т.
е. последовательность частичных сумм четного порядка ряда (35.33) монотонно возрастаег. В атом пункте рассматриваются ряды с вещественными членами, знаки которых, вообще говоря, изменяются при изменении номера; такие ряды называются знакопеременныл!и рядалш. Рассмо~рим прежде всего так называемые знакочередующнеся ряды, т. е. ряды, члены которых поочередно то положительны, то отрицательны. Теорема 12 (Лейбниц). Если 1!ш и„==О 85 Б. Знелопереленние ряди 497 Замечая, что частичные суммы яе„можно записать также и в виде вм — — и,— (и,— и,) —...— (изе е — и е 1) — и,д, Й-=1, 2, ..., Покажем, что и частичные суммы нечетного порядка ряда (35.33) стремятся к тому же пределу. Действительно, (35.35) и так как, согласно (35.31), 1ппие „, =-О, то в силу (35.34) и (35.35) имеем йгпя, +,— я.
и (35.36) Из (35.34) и (35.36) следует, что йгп я„=я. Теорема доказана. Заметим, что для рядов вида (35.33) справедливо неравенство яе„( я < я,л о А =- 1, 2. (35.37) Действительно, с одной стороны, мы уже видели, что я являечся пределом монотонно возрастающей последовательности (вм), поэта. му яя .в.
С другой стороны, вел+,--Явь,— (и„,— и,„,) ее в „„у=1, 2...,, т. е. последовательность (в,„,) монотонно убывает, и так как я является пределом и последовательности (я„,,) (см. 35.34). то в (яе, С л е д с т в и е. Любая частичная сумма я„ряда (35.31) отличагтсл от его сульиы в на величину, люныиую следуклиего члена и„ем и что выражения в круглых скобках в силу условия (35.32) неотрипательпы, а иел)0, получаем, чтояеьс и„т.
е. последовательность (вж) ограничена сверху. Из монотонного возрастания и ограниченности сверху последовательности (вел) следует, что она сходится. Пусть 1йп якч — в. (35.34) В ЗВ Числовые ряды иначе говоря, абсолютная величина остатка ряда ч этол! слу и!в не превышает абсолютной величины его первого члена, т. е )' г ~ = ') в — в„~ < и, Действительно, из неравенства (35.37) следует, что 24 44+! 24 2!г ь!' ввл — ! 2п — ! эл хА' ))=1. 2, .... Следствие доказано. В качестве примера рассмотрим ряд ! — 1)"'+ юы и (35.38) — <5 <1. 2 (35.39) На ряды переносятся не все свойства конечных сумм.
Поясним это на прин!ере того же ряда (35.38). Если + + +, (35.4О) 1 1 7 1 ! 1 1 1 1 . ! 1 — 5= — !11 — — + — — — +... ) = —,— + — — -)-...; з 4 ) г 4 в в сложив этот ряд с рядом (35.40), получим 2 3 2 З 7 4 Э !1  — 5 =. 1+ -! + + + '- - ° (35.41) т. е. ряд, сосгавленный из тех же членов, что и данный ряд (35.40), взятых только в несколько другом порядке, поэтому — 5=3, 3 2 откуда следует, что 5 = О, что противоречит (35.39).
Несмотря на кажущуюся очевидность законности наших рассу7кдений, мы где-то сделали грубую ошибку. Где? Подробный анализ этого будет дан в одном из следующих пунктов. Его члены удовлетворяют, очевидно, условиям теоремы 12„и ! потому он сходится. Замечая, что у него в, = 1 и вз = —, иля его суммы в имеем оценку оо.б.
Абеомотно ехоояии!еея ряда 35.6. Абсолютно сходящиеся ряды. Использование абсолютно сходящихся рядов для исследования сходимости произвольных рядов В этом пункте снова изучаются ряды, члены которых, вообще говоря, комплексные числа. Определение 4. Ряд ~2~ и и=- ! называется абсолютно сходяецил!ся, если ряд Х !и„! (35.43) сходится. П! ичепяя критерий Коши сходнмости ряда к ряду (35.43), получим: для того чтобы ряд (35.42) абсолюо!но сходшия, необходимо и достаточно, чтобы для л!обого е я О суи!естеоеал такой номер п,„что если и > и, то и+! Х~~ ~< для любого целого р > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
