kudryavtsev1 (947411), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Пусть фиксировано число а~0 В силу сходимости ряда (38.11) существует такой номер й, что !а< —, ° ага+1 (38.13) тогда и подавно Зафиксируем снова произвольное число в ~ О. Выберем номер йе так, чтобы выполнялось условие (38.13), а следовательно, и условие (38.14). Далее, подобно тому как это было сделано выше, выберем номер Л! так, чтобы частичная сумма Янт н ряда (38,2) содержала в качестве слагаемых все члены ряда (38.10), входящие в сумму Я . Тогда при всех!в.п-Ф и п>Уе ~~) ия — 8» < ~ ~~~~~ и„< ~е=е +1 ~З вЂ” 8,~=,")"„о.
< — ,' я=в +! е Выберем номер )т' так, чтобы частнчная сумма Яи тт ряда (38.12) содержала в качестве слагаемых все члены ряда (38.10), входящие в сумму 5е . Пусть тл> !!' и л>)У . Положим Кап= Зтп Яп ' е Тогда, используя (38.13) и (38.14), получим !8 — 8.'„1=18 — 8, ~+~8.'„!<е. Итак, 5 является суммой любого ряда (38.12), в частности, сум- мой самого ряда (38.2).
Покажем, наконец, что Я является н суммой повторных рядов (38.8). В самом деле, при любом фиксированном п !п~ Х!и „(< Х !о,!=8. Следовательно, все ряды О~ ~и„„, п=1,2,..., гп ! сходятся, и притом абсолютно. Положим и„=~!и „. (38.15) т=! й ВВ. Кратные ряды Переходя в этом неравенстве к пределу при т — »-оо, получим (см. (38.15)) Отсюда в силу (38.14) следует, что при п.~ Л' выполняется неравенство ! л л т,,— а~ <~ т. ! — е,~»~е,.— х~<.. е=! с=! Это и означает, что Теорема 4 доказана. У я р а ж н е н и е !. Обобщить критерий Коши сходииости однократных рядов на случай иратных рядов.
38.2. Кратные функциональные ряды Определение 7. Ряд вида (38.16) и„,,„(х), .,=! где функиии и„,.„„(х) определены на некотором множестве Е, называется й-кратным функциональным рядом, а суммы вида т,, ..., т» Ят, „, (х)= ~ и„,.„,„(х) «о ...,л =! — его частичными суммами. 88.2. Кратные фулкцоонольлые ряды 569 Определение 8. Ряд (38. ! б) называется сходящимся на множестве Е, если при каждом 4иггсированнол! ха ~ Е сходится кратпный чис.твой ряд и лл ...л (Хо). ла, ....
л ! ! Если ряд (38.18) сходится на Е, то 4унк!(ия 5(х)лл '~~ ил,„.л (х), х~Е ла..... л, 1 называется его суммой. г!а кратные функциональные ряды легко переносятся понятия равномерной сходимости ряда, критерий Коши для равномерной сходимости ряда, признан Вейерштрасса равномерной сходимостн и т. и. Мы не будем на этом останавливаться. У п р а ж н е н н е 2, Определив понятие равномерной сяоднмости двойаого ряда, доказать, что если ряд (38.16) сходитсн равномерно и если его члены явля!отея непрерывными функциямн на множестне Ег: Е", то н сумма ряда (38.16) является непрерывной на множестве Е функцией.
Определение рл Ряды вида сл . (х — х!!) ...(хл — хл) л„, ...,л -о где сл л — комплексные числа, называются кратными степенл! ...ла ными рядами. Хотя, как это видно из предыдущего, многие утверждения, справедливые для однократных рядов, обобщаются и на кратные ряды, последние имеют и много своих специфических особенностей, существенно отличающих их от однократных рядов.
В качестве примера приведем двойной степенной ряд, который сходится лишь в двух точках плоскости, а именно в точках (О; ()) и (1; 1). Таким образом, аналога теоремы Абеля для степенных рядов (см. п. 37.1), во всяком случае в прямом смысле, для двойных рядов нет. Этот пример показывает опасность использования аналогий, не подкрепленных математическими доказгпельствами. р ЗЯ. Крап!ыя ряди 570 Рассмотрим ряд Х с„,„хи у", ы. л=а (38.17) где с „=О, с,=ел =п!, п=1, 2, т=1, 2,..., с =- с„= — т!, с„„=-О, и> 2, п~~2.
Его частичные суммы имеют вид Б„л(х, У)=(1 — У) ~ Их"+У-!-(1 — х) ~, !!У!. РР,.18) й=! сг г и! гл и=! равен нулю (см. ряд (37.6) п. 37,1), при этом его частичные суммы Ял (г) = Х И гл, п = 1, 2, ..., я=! при веп!ественных г~О, очевидно, стремятся к + со. Если хке г (О, то„ объединяя попарно соседние члены, получим л Б, (г) = ~~"., '(27! — 1) ! ! г Р" — ! (2Ф ! г ! — 1).
й=! Отсюда видно„что при любом фиксированном г(0 при ! гя — ! )!) — выполняется неравенство Зя„(г) ~~~ (2/! — !)1!г~ ~г! й-! Легко убедиться аналогично случаю ряда (37.6) (см. п. 37.!), что ряд,~~ (27! — 1)!г~~ ' расходится при всех гпмО Следовательно, я=! ~ял(г) = + л Очевидно, что В,-,„(0, 0) = 0 и 8 „(1, 1) = 1, т, и = 1, 2, ..., и потому ряд (38.17) сходится в точках (О, 0) и (1, 1). Заметны теперь, что радиус сходимости ряда 671 Ззыя Крагнные функциональные ряды Из сказанного и из равенства (38.18) следует, что если (х.
у)+(О, О) нли (х, у)+(1. 1), то, каково бы нн было число н,ьО и каков бы ни был номер т, всегда могкно подобрать такой номер и, что Л зто н означает, что ряд (38.17) расходится. Упражнение 3. Число 8 назовем суммой ряда ~~ и„, если для н,ш ! любого е>0 существует такой номер Л', нто ~ 8 — сны ~ < е, если только н + гл > й.
Выяснить. вквивалентны илн нет вто определение н определениедп 381 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
