kudryavtsev1 (947411), страница 86
Текст из файла (страница 86)
2. Радиус сходимости ряда 16 и=-с (37.7) «> Врн г = О, очевидно, сходится любой ряд вида (3?.4). равен +ос, ибо, как мы видели (см. п. 36.1), этот рял сходится при любам г. 3. Геометрическая прогрессия з 87, Сгеленньге ряди айо 1~« л=! (37.8) сходится при ~ г1 < 1, ибо при выполнении этого условия л ! ° ч 1 — 1с"-, а РЯД , — СХОДптСЯ.
аь ( пв -,ьм лт л=! При ~ г~.я1 ряд (37.8) расходится, так как в этом случае 1(гп —,= + оо'1, (л л-ь л т. е. не выполняется не~4ходиыое условие сходимости ряда. Радиус сходимостп ряда (37.8), как и ряда (37.7), равен единице, однако в каждой точке гранпцы круга сходимости ряд (37.8) в отличие от ряда (37.7) сходится. Теорема 3. Пусть К вЂ” радиус сходииости спиленного ряда ~~~~ а„г"; л=о (37.4) тогда ! «*1 1;и„/.(пл! (37.9) Формула (37.9) называется формулой Когии — Адамара*а«1.
Доказательство. Положим — л р= 1пп р ~!а„1. «1 Действительно, легко, например, с помощю правила Лопнталя убе~й даться, что Пю ' — т — =+ сл (см. пример 8 в и, 12.2), Х ~+ 'л) О верхнем предала см. в и. 8.8. «««1 ?К. Адамар (1866 — 1988) — франц!асана ы«тематак. сходится при ~г! с. 1 и расходится прп 1г~ ~ 1. Поэтому ее радиус сходимости гс = 1. Отметим, что во всех точках границы круга сходимости, т.
е. во всех точках окружности ( г1=1, ряд (37.7) расходится (почему?). 3. Ряд д7.Л Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда 64! Рассмотрим сначала случай р = О. Покажем, что в этом случае ряд (37.4) сходится при любом г. Возьмем какое-либо г чь О и такое е, что О ч. е с. В Тогда(см. теорему 10 п.
3.8) существует такое Л' г, что ~/!а„~ ( — для всех п)~Ут, т. е. (а„((г(як, ек для всех и )~ Лгг, Отсюда по признаку сравнения следует, что ряд (37.4) абсолютно, а значит, и просто сходится при данном г, а так как г было произвольно, то это означает, что Я = + со. Возьмем другой крайний случай." пусть р = +оо, Покажем, что в этом случае ряд (37.4) расходится при любом гФ О. Действительно, если р = +со, то существует подпоследовательиость и„, й = 1, 2...„натурального ряда, такая, что 1(щ тг1п„~ =+ со. Ф "а Поэтому, каково бы ни было г~О, существует такой номер й„что при А)А; (а„г а~)~1. Таким образом, не выполняется необходимое условие сходимости ряда — стремление к нулю и-го члена, поэтому при данном г+ О ряд расходится, а так как г~ О было произвольно, то это означает, что гс =- О, Пусть теперь О(рс" +оо, покажем, что ряд (37.4) при всяком г таком, что (г! <— ! р сходится.
Выберем е >О так, чтобы )г)<" — * ! и Дня этого достаточно взять в с — — Р. )г( й е7 Степенные ряде! 542 тогда число д = (р + е) ! г ! с 1. Согласно свойству верхнего преде- ла, существует такой номер й и что при и > Л'т у' ! а„! <. р+ е, поэтому при п>)у, ),„, ! <(р ( иу !.! =4, О<4<1, н по признаку сравнения ряд (37.4) прн рассматриваемом 2 абсолютно, а значит, н просто сходится.
Покажем теперь, что ряд (37.4) при всяком 2, таком, что )2!)— ! р расходится. Выберем е > О так, чтобы (2! >р:р' ! тогда (г! (р-е))1. Согласно свойству верхнего предела (см. теорему 1О п. 3.8), сущестнует подпоследовательность ид, й = 1, 2,..., натуральных нюел, такая, что е» у'!аЧ ! >р — в, й=1, 2, Из это~о следует, что а а л е ~ ~ ( р е ) я е ! а ! л е ) т. е. в этом случае не выполняется необходимое условие сходимости ряда — стремление к нулю его и-го члена, и поэтому для рассматриваемого г рнд (37.4) расходится. 1 Таким образов!, ряд (37.4) сходится, если )г!е, —, и расходится, 1 1 если ! г ! ~ —, а это и означает, что К = —. р р' Теорема доказана.
У п р е яс я е и и е 1. Определить рвдитсы сходимости рядов е и ~» (1 + ~)Г~ еи пе" ле (,п) ' «М (и+1);и+2) и-1 87 г Авали!и«е! «пе гггянкчии 37.2. Апаггггтическне функции Определение 3. Функ!(ия 1(г) наяиваепгся аналггтггческой в точке г„если сущесгпвуеп! и!акое К ) О, что ь кру~е ( г — г«1 = (лг она !!рсдс!!!авил!а стеггеннылг рядом вида (37.1), т. е. суигестггуюгп такие колт.гекснью число а„, п = 1, 2, ..., что Р(г)= ~ а„(г — г„)", )г — гь) «. 1«г. (37.10) «=ь Сумма, разность и произведение аналитических в точке г, функ ции сиона является аналитической в этой точке функцией (почелгу7). Лемма. Если .()= Х .( —.)' ь=«+ ! — остаток сходтцееося ряда 137.10), гпо г'п(г)=О 1!(г — г„)«Ь ) при г-!.г! (37. 11) и, значипк «„(г)=о((г — г,)") при г- г,.
Локазательство. Если )г — гь)(д, то (37.12) гя (г) =-(г — го)"+' Х ал (г — г,)"-"- ', г «-г-! и ряд, получившийся после вынесения множителя (г- г,)"+', сходится. Поэтому функция чг (г) = ~~~~ и, (г — г )гг -и ! л;«+ ! 1ч'(гП < М если (г — г„~ ~~«. Поскольку (г) = (г — ге)"+ чг (г), )«„(г))=)г — г 1"+')г(г(г)) < М) г — г,("+' как сумма степенного ряда„непрерывна в круге ) г — гг!) е. К. Если теперь 0( «ч., )г, то функции ф(г), будучи непрерывной на замкнутом круге ) г — г,) < «, йудет и ограничена на нем, т. е.
найдется !акая постоянная М ) О, ч Э гг Сгеяенные ряды в44 если ~г — г,! < г, а это и означает (37,11). Условие (37.12) непа- средственно следует из (37.11). Лемма доказана. Теорема 4. Представление аналгипической в точке г, функции !(г) в виде апеленноео ряда (37.10) единственно, т. е. если ~2„" а„(г — гя)Я= ~ Ь„(г — г,)", 1г — г,1(К, ??)О, (37.13) яс.о га а„=Ь„, п=1, 2, Доказательство. Из (37,13) в силу (37.11) следует, что а, + а, (г — г„) + ... + а„(г — г„)я+ 0 ((г — г,)" +') = =Ьр+Ь,(г — г,)+ ... + Ь„(г — г,)'+0((г — г,)"+').
(37.14) Переходя в этом равенстве к пределу при г-~ г„получим а, = Ь,. Пусть уже доказано, что а? = ЬЬ ? = О, 1, ..., /г — 1. Тогда, уничтожая одинаковые члены в обеих частях равенства (3?,14) н деля обе части на (я — г„)', получим ая+аял ~(г — г,)+ .. -1-О((г — гя)"+' ")= =Ья+ Ья+~ (г — го)+ -. +0((г — г,)я+'-"). откуда прн г-~гя следует, что а„= Ь„. Теорема доказана (ср.
с п. 13.2). 37.3. Вещественные аналитические функции ~ а„(х — х,)", яе В (37.15) где а„, п=1 2, ..., х и хр — вещественны В дальнейшем в этом параграфе везде, где не оговорено противное, будем предполагать, что коэффициенты всех рассматриваемых рядов вещественны и что переменные г и г, также вещественны (в этом случае будем их обозначать х и х„). Правда, все рассматриваемые ниже свойства степенных рядов переносятся в определенном смысле и на степенные ряды в комплексной области, однако для осуществления этого нам пришлось бы обобщить понятие производной и интеграла на функции комплексного аргумента, а это не входит в задачу настоящего курса.
Итак, мы будем рассматривать ряды ЗГХ Веи!ест»енине имели«ические фуииции Если Й вЂ ради сходимости ряда ~ а„(г — хе), где г †компе=е лексное число, т. е. ряда с теми же коэффициентами, что и у ряда (37.15), но рассматриваемого в комплексной области, то, очевидно, ряд (37.15) сходится„ если !х — хр1< )7, и расходится, если 1х хе!) !« В этом случае К по-и режнему называется радиусом сходимости, а интервал (х„— Я, х„+ К) — инп!ервалом сходимости ряда (37.15).
Теорема б. Если И ) Π— радиус сходимоспш степенного ряда (37.16) т:о 1) функция 1 имеет в интервале (хе — К, хе+ Я) производные всех порядлов, ко!поры» находяп!ся из ряда (37.16) почлгнным дифф«ренцироианием; 2) оля л!обого (~(хр — 7(, хе+17) . ! ) 1(х) дх.= ~~'„а„ (37.17) «« и О т. е.
внутри интервала сходимосепи ппепенноб ряд ложно почленно интегрирсоап!ь' 3) степенные ряды, получи>оециеся из ряда (37.16) и результоюие си!пленного диффере»!ц!грования ит! инпьегрировония, имеют тот ж» радиус сходимоспш, гало и ряд (37.16). До к аз а тел ьст во. Найдем радиусы сходимости ряда, получающегося из ряда (37.16) почленным дифференцированием, т е. ряда Х паи(х — х„)" (37.18) е 1 и ряда, получающегося иа ряда (37.16) почленным интегрированием, т.
е. ряда (37.17). Заметим, что по правилу Лопиталя — !пл . 1 И!и!пт~п = 1>и — = Ип! — =О, и-«с и-«и-«о и поэтому п Игп ~/ и =1. яе й З/. Степенные риды Аналогично и> >/г+1 =1. и Учитывая это и применяя лемму 2 и 3 п. 3.8, получим !!гп >I!паи! =Ип»>'и !!!>и >/'!!а„(=„—,, не.- и и ° и / > — и !пп ~/ ~ — ', ~ = !пп и !>и> т/(аи! = —, и ! + и-и и Е/г> -1-> и-и Р и и Заметим, что ряд (37 18) и ряд, получающийся из него умно. жением па (х — х„), а также ряд (37.17) и ряд, получаю>пийся из него вынесением за скобку множителя (1 — х„), имеют соответственно одни и те >ке радиусы сходимостп.
Поэтому согласно формуле Коши †Адама и сделанному замечаншо радиусы сходи- мости рядов (37.16),(37.17) и (37.18) совпадают. Утверждение 2 теоремы теперь непосредственно следует из того факта, что всякий степенной ряд равномерно сходится на всяком отрезке, великом лежащем в интервале сходимостп (см. теорему 2), и соответствующих теорем о дифференпируемости и интегрируемости рядов (см. п. 36.3). Теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
