kudryavtsev1 (947411), страница 85
Текст из файла (страница 85)
В силу равномерной сходимости ряда (36.337 Игп анр ~г„(х)~ =О и»Га.ь) (см. п. 36.2), позгому из неравенства (36.38), согласно признаку Вейерютрасса для равномерной сходимости последовательности, следует, что последовательность частичных сумм ряда (36.34) равномерно сходится к функции (36.37), а это и означает равномерную сходимость ряда (36.34) к функции (36.37).
Теорема и, в частности, формула (36.36) доказаны. гПерефрази)~уеы полученныч результат для последовательностей. Теорема 7. Если последовагпельность непрерывных на отрезке (а, И 4ункгГгсй г„„п = 1, 2,..., равномерно на згтам отрезке сходится кфункпии (, то к к ~ ~„(с) Ж вЂ” ~~(г) гй на (а, Ц, и а а иктностги )(пг ) („(() й(=- ') гйгп 1„(()1йт. З ЗВ сьанпциональние последовательности и рлдн Теорема 8. Пусть фу!нлцис! ип\х), и = [, 2,..., непрерывно дифференцирусма! ни оп!резке [а, Ь[ и ряд, сосспавленныс! из их произ- водных и„(х), (36.39) п=! равномерно сходгипся на отрезке [а, Ь[.
Тогда, если ряд ~ ип (х) сходится котя бы в одной точке с~ [а, Ь[, всо он сходгапся равномерно ла всем отрезке [а, Ь), его сумма з(х) = .~'., ип(х) и=! (36.4О) непрерывно дифференцируема и в'(Х)пп ~ и„(х). (36.41) п ! Есгн! эту формулу переписать в виде | ~, и„(х) =- ~ и„(х), и=! л и=! то видно, что она означает законность при сдеяанных предподо. жениях почленного дифференцирзвсисия ряда. До к аз а тел ь ство. Пусть ОР а (х)= ...'~ и„(х), п=! (36.42) ~ о(!)с[!.=- ..."„~ и„(!)сд= 2.", [ип(х) — ии(с)[, а «;х «„Ь. (36.43) с и=! с и=-! По теореме 7 ряд ~ [и„(х) — и„(с)), а<х< Ь, и ! (36.44) в силу равномерной сходимости этого ряда его можно почленно интегрировать: Зб.в Своагтво о««вол!еров сходлсилхсв Олзов сходится.
Сходится по условию теоремы и ряд ~', ил(с), л =-! (36.45) поэтому сходится и сумма рядов (36.44) и (36.45), т. е. ряд ,У, ил(х), а < х л К (36.46) «=1 Поэтому (36.43) можно переписать е виде ~ о(1) г(1.= ~ ил(х) — ,'~~ ил(с), л=! л=! плн, что то же (см. (36.40)), в виде ~ о(1)т(1=а(х) з(с). с (36.47) Ряд,~З ~) и„(1) т(1 равномерно сходится на отрезке (а, Ь] (см. теол=! с рему 7), а ряд,~~ ил(с) — числовой ряд, поэтому и их сумма, л ! т. е.
ряд (36.40), равномерно сходится на отрезке [а, Ь). Теорема доказана. Перефразируем теорему 8 для последовательностей. Теорема 8'. Пусть последоеатлельность непрерыена дифт)терен. Чируемых на отлрезне (а, Й 4унщий п=),2, ..., (36.49) Функция, стоящая в левой части этого равенства, имеет производную по х, значит, н функция з (х) также имеет производную. Дифференцируя равенство (36.47), получим (см.
п. 29.2) е' ( х) = о (х), (36.48) где функция о(х) является непрерывной на отрезке (а, Ы функцией, ибо представляет собой сумму равномерно сходящегося ряда (36.39), члены которого — непрерывные функции. Подставляя (36.42) в (36.48), мы и получим искомую формулу (36.4!). Остается лишь отметить, что из равенства (36.43) в силу доказанной сходпмости рядов (36.44) и (36 45) следует, что л к лс Х ил(х) = ~ ~ и„(1) !(1 + ~ ил(с).
« л=! с л ! В ЗУ Степенные Пяди зза сходипюя хотя бы в одной точке с ~с!а, И, а последовательностпь их производных 1,',, и = 1, 2,..., равномерно сходтпся на !а, И. Тогда последовтпельность (36.49) равнолеерно сходится на [а, И, ее предел является непрерывно дифференцирйемой на этом отрезке функцией и Бп1 —" — = — 11 ш 1ь (х), а " х < Ь. 1 (х) вх вх „ Примеры применения этих теорем будут даны в следуьяцем параграфе. й 37. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 37.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда. Формула Коши — Адамара Определение 1. Функциональные ряды вида а (г — г)н н=ь (37.1) где а„, г и г, — комплексныс числа, называются спипеннылш рядами. Числа а„, п = 0„1, 2,..., (37.2) 1.= г — г„ то получим ряд н=-О (37 3) Очевидно, что исследование сходимости ряда (37.1) эквивалентно исследованию сходимости ряда (37.3), поэтому в дальнейшем будем рассматривать ряды вида (37.3), употребляя, правда„как правило, для обозначения переменной букву г, а не ь.
Теореьеа ! (Абель). Если степенной ряд ~~З а„ан и 0 (37.4) называются коэффициентами степенного ряда (37.1). Будем предполагать, что коэффициенты ряда и число е фиксированы, и будем исследовать поведение ряда (37.1) при различных г. Если в ряде (37.1) сделать замену переменного, положив д7.!. Радиус скодимости и круг сходииости степенного ряда сходютюся при г = г„то он сходшпся и притом абсолютно при люболю г, у котороео !г! < ) г,й До к а з а т ел ь с т в о.
Пусть ряг ~ а„го я=о (37.5) сходится, тогда его и-й член а„го стремится к нулю при тю -э- оо (см. и. 35.3), и поэтому последовательность (аиго) ограничена, т. е. существует такая постоянная М ~ О, что )а„г3~<М, п=О, 1, 2, .... В силу этого для и-го члена ряда (37.4) получается следующая оценка: Если ) г) <) гею, то ряд являясь геометрической прогрессией со знаменателем сходится.
Поэтому по признаку сравнения (см. п. 35.3) сходится и ряд ~.'~ )а„гя), а это означает абсолютную сходимость ряда (37.4) прп ~-~ <) г,(. Теорема доказана. С л е д с т в и е 1, Если степенной ряд (37.4) расходится при г = г„то он расходится и при вс>скалю г, у которого ~ г) ~ ~ ге 1 Действительно, если ~ г) ) ) ге 1 и ряд (37.5) расходится, то расходится и ряд (37.4); так как если бм он сходился, то в силу доказанного сходился бм и ряд (37.5).
Определение 2. Величина Д>О (7т — число или символ +оо), такая, что при всех г, у которых ) г) < юг, ряд (37.4) схсдюются, а при мех г, у которых ) г) ~ )т, ряд (37.4) расходится, навьювююетстю радююусолю сходилюости спиленного ряда (37.4). Множесююию точек г, у которых ) г) < юс,, наэываеюпся кругом сходимоспш ряда (37.4).
87. Степенные ряды азв Теорема 2. У всякого шпепенного ряда (37.4) суи(естпвует радиус сходилгосоги !т. В круге сходилгоспги, гп. е. при «тюболг г, у когпорого / г ~ ( )т, ряд (37.4) сходится абсилготно, На любим круге ~ г/ < г, где г фиксировано и г ( тт, ряд (37.4) схидтпся равно.верно. До к аз а тел ь от в о. Разобьем все вещественные числа на лва класса: к классу А отнесем все неполож1пельные числа и те из положительных х) 0 (если такие существ)пот), для которых ряд 2',а„х" сходится, а к классу В отнесем все остальные.
Если класс я о В не пуст, то это разбиение является сечением в множестве вещественных чисел (см. и. 2.2); действительно, если х~ А и у ~ В, то, согласно теореме Абеля, х ( у. Обозначим через )с число, определяющее это сечение. В случае, когда множество В пусто, по определению положим А' =- + со. Величина Тт« является радиусом сходнмости ряла (37А).
В самом деле, пусть зафиксировано некоторое г, у которого (г! ( Я. Возьмем вещественное ха, такое„что )г~ ( х ( Я. В силу определения величины гт получим х„~ А, поэтому ряд ~ а„хо и.= о (37.5) сходится. Отсюла по теореме Абеля следует, что в зафиксированной точке г, )г) (К, ряд (37А) сходится, и притом абсолютно. Если же ~г,'»Яс, то выберем вещественное х, так, что К(хе . ~г(, тогда х,~ В и, следощпельно, рял (37.5) раскалится. В силу следствия из теоремы Абеля отсюда следует, что в этом случае ряд (37.4) расходится. Если теперь 0(г( гт, то по доказанному рял (37.4) при г = г абсолютно сход~тон, т. е. сходится числовой рид л.„' )а„(гн.
»=е А так как для любой точки г круга ) г! < г )а гч~ <) а„)гн, то, согласно признаку Вейерщтрасса (см. п. 36.2), на этом круге ряд (37.4) сходится равноагерпо. Теорема доказана. Таким образом, областью схолимостн всякого степещюго ряда является всегда «круг»*' с точностью ло множества его граничных Ю Слово «круг» пишется в кавычках, так как в случае!«« =- -Г ч; «круг» о»качает всю плоскость. д?ич Радиус сенди.«ости и круг схсдииисги сссиениигс ряди бзэ точек. В граничных же точках круга сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться (см.
нижеследующие примеры). Было показано, что на всяком круге, лежащем вместе с границей внутри круга сходнмости, степенной ряд сходится равномерно. Поскольку члены степенного ряда являются непрерывными функциями, то его сумма непрергявна на всяком указанном круге. Очевидно, что для тпабюй точки г круга сходимости можно подобрать круг, содержащий эту точку и лежащий вместе с границей в круге сходимостн (достаточно взять его радиусе таким, что ~г~Сгк" Й), поэтому оцененной ряд непрерывен и каждой точке сесега круга сходимсспти ~ г~ ( Я (подчеркнем, что здесь речь идет об открытом круге). Все сказанное с помощью преобразования (37.2) легко переносится и на общие степенные ряды вида (3?.1).
В часгностн, областью сходимостн такого ряда всегда являетсн круг вида (г — гс~()ч, конечно, как и выше, с точностью до ега граничных точек. Этот круг называется кругам сходимостп рида (37.!), а !г— его радиусом сходимости. П р и м е р ы. 1. Радиус сходимости )т ряда ~Ля п) г" и=-с (37.6) равен нулю, т. е. этот ряд сходится только при г = О*'. Действительно, исследуя абсолютную сходнмость этого ряда па признаку Даламбера, получим прн любом г~б Опт,, = 11гп (и+ 1) ~ г ~ = + с . !( +1)1 "+'! и-ООО О -« Таким образом, ряд (37.6) не сходится абсолютно прн л)абел! гФО; отсюда в силу следствия из теоремы Лбеля он расходится при любам г Ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
