kudryavtsev1 (947411), страница 83
Текст из файла (страница 83)
! —— ! + к" Если же к = О, то все члены ряда (36.5) равны нулю, поэтому он, очевидно, сходится и з(0) =- О. Таким образом, з(х) = ( О для к =- О, ( 1 + хя для х Ф О. График функции з(к) изображен на рис. 113. Как видно, несмотря на то, что все члены ряда (36.5) является непрерывными функциями и ряд сходится во всех точках ве- В Зб. Функциональные последовательности и ряды 518 ществепной оси, его сумма является разрывной функцией.
Сдедователшю, в случае сходящихся рядов (36.2), членами которых явля!отея непрерывные вещественные функции и„(х), их сумма з(х), вообще говоря, не является непрерывной, т. е. 1пп з (х) Ф з (хо) =- л~ы и„(х„), ««, н=! или, что то же, 1ип . и„ (х) Ф ~~ 1пп и„(х). «- «о,=! н=! ««о Таким образом, предел суммы бесконечного числа слагаемых необязательно равен сумме их пределов. Рассмотренный ряд (36.5) показывает, как при естественных процессах (геометргическая прогрессия) из простых непрерывных функций возникают функции значительно более сложной природы — разрывные функции.
В дальнейшем мы выясним условия, при которых можно гарантировать непрерывность суммы сходящегося ряда непрерывных функций. У п раж нение 1. Исследовать сиодимость и абсолготнуго скодимость рядвв — 2 ' ~~ пр а!и н« «и ' л«И !+но н=! н 1 36.2. Равномерная сходимость последовательностей и рядов Определение 5. Пусть задана последовательность функций (36.1) и функция П определенная на множеспгве Е. Будем говорить, чпю указанная последовательность сходится к ф~~нкг1ии 1 равномерно на множестве Е, если для любого е) О существуегп такой номер и, чпго если и.-и,, то 11 (х) — ~„(х) ~ с ' е (36.6) для всех к~~ Е.
Последовательность (36.1) называется равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция П к ко!порой она равномерно сходно!си на Е. Очевидно, что если последовательность (36.1) равномерно сходится к функции 1 на множестве Е, то она и просто сходится к этой функции на Е, зб.2 Равномерная сяодилюсть послсдовательностеа в рядов 51 а Если последовательность (/,) сходится на множестве Е к функции /, то мы будем это символически записывать следую>цил> образом: /„— ь/ на Е. Если же эта последовательность(/„) рапнол>ерно сходится на Е к функции /, то будем писать / на Е.
Заметим, что если последовательность (36.1) просто сходится к функции / на множестве Е, то ьто означает, что для любого е) О и любого х ~ Е существует номер пв = па(е; х), зависящий как от е, так и от х, такой, что для всех номеров п.л. и, имеет место неравенство (36.6). Сущность равномерной сходимости последовательности функций состоит в том, что для любого е ) О можно выбрать такой номер пв, зависящий только от заданного е и ие зависящий от Рис. П4 выбора точки х~ Е, что при т>>п неравенство (36.6) будет выполняться всюду на множестве Е, т.
е. «графики» функций /„ будут расположены в <е-полоске», окружающей график функции / (рис.! 14), Таким образом, в случае равномерной сходимости для любого з) О при всех достаточно больших и (имеано при п>п ) значения функций /„дают приближенное значение функции / с погрешностью, меньшей е, сразу на всем множестве Е. (! р и и е р ы. 1. Последовательность 1, х, х«, ..., хн, . (36.
7) 520 Е дд Функциональные последовательности и ряды на отрезке !О, д), 0(ь7 . 1 сходится равномерно к функции, тождественно равной нулю на этом отрезке !О, 1)!. Действительно, если 0(х < (1, то О ( хн .< с)я, п = 1, 2, ..., (36.8) Поскольку !(ш да=- О, то для любого фиксированного е)0 и существует такое п„что дя(е для всех п)~пв. Отсюда в силу неравенства (36.8) 0.<,хн(е для всех в~~па и всех х ~ !О,д!. Это означает, что х"-~0 на !О,д), 0(д(1. 2. Та же последова- У тельность (36.7) на отрезке !О;1! сходится к функции 0 для 0 ( х ( 1, ) (х) =- (36.9) л но уже неравномерно (рис. 115). Формула (36.9) очевидна. Докажем, что последовательность (36.7) не сходится равномерно на отрезке !О, 11, Так как предельная функция в точРис. 1!5 ке х = 1 делает скачок, равный 1, то естественно ожидать, что если взять е >О, не превышающий половины этого скачка, то уже не удастся найти таков номер п„что при и'- п на всем отрезке !О, 1! будет выполняться неравенство ! х" — 7 (х) ! ( е.
(36.10) 1 Действительно, беря для функции 1„(х)=хн точку х„=— 'т"2 получим !7„(х„) — ((х ) ! = — — 0=-— 1 1 1 Поэтому, если взять е( — „то в этом случае заведомо не найдется номера п, для которого выполнялось бы неравенство (36.10) для всех хсп !О, 1!. А это и означает, что последовательность (36.7) на отрезке !О, 1! не сходятся равномерно. ге.а Равномерное схооимосгь яосяедовстельнястев я рядов 52$ Сформулируем и докажем критерий равномерной сходнмости последовательности, обычно также называемый критерием Коши. Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимостн последовательностей). Для того чтобы последовательность функций /„, и = 1, 2„..., определенных на некопюром множестве Е, равномерно сходилась на етом мновкестве, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О существовал такой номер п„что длл всех нол!еров и> п, всех целых р > О и всех точек х Е Е вьтолнялось неравенипео (36.11) ~(„ч „(х) — г„(х)((е.
Доказательство необходимости. Пусть последовательность (1„) равномерно сходится на множестве Е. Тогда, согласно определению равномерной сходимостн, существует функция й такая, что для любого е„> О существует такой номер и, что для всех п,япе и всех х ~ ~Е У() — 1.(~Н< — ', . Поэтому если п > и, н р.» О, то для всех хс-Е Дя+р(х) ~я(х) ~ ~( ~)л+р(х) 1(х) ~+ ! 1(х) ~ь(х)~ ч е Доказательство достаточности. Если выполнено условие (36.11), то при любом фиксированном хс~ Е последовательность )„(х), п=1,2, ..., (36.12) является числовой последовательностью, удовлетворяющей критершо Коши (см. и. 3.2), и потому сходится.
Обозначим предел последовательности (36.12) на множестве Е через 1(х). Покажем, что последовательность (1„) сходится равномерно к функции 1 на множестве Е. Действительно, в силу условия (36.11) для любого е >О сушествует такое п, что для всех п > и, всех целых р>О и всех х(Е (~,+ (х) — 1„(х)! (— (36.13) Замечая, что 1пп 1„+ (х) =1(х), перейдем к пределу в не- еравенстве(36.13) при р- ьо, тогда для всех п> и и всех х~В получим 11(х) — 1„(х) ~ < — (е, Э Ж Фэннннональные лослесовагельности и ряды 522 а зто и означает, что 1„-.
1 на Е. Теорема доказана. Часто бмвает полезным следующее простое достаточное условие равномерной сходимосспи последовательностей. Теорема 2 (признак Вейеринтрасса). Если существует снакая числовая последовательность (а„1, чясо (36.14) 11сп а,=О, а„> О. л (36.15) 11(х) — 1„(х) ~ ~~ а„ для всех и = 1, 2,... и всех х ~ Е, пю последовательность (1„) равномерно на Е сходится к функции 1. Д о к а з а т ел ь с т во. В силу условия (36.14) для любого е) О сушествует такой помер и, что ал(е для всех п)п,.
Но тогда в силу условия (36.15) /~(х) — )„(х) / л'е для всех и > п, и всех х (- Е„а зто и означает равномерную сходимость последовательности (1„) к функции 1 на множестве Е, Теорема доказана. Для рядов, естественно, также можно ввести понятие равномерной схолимости. Определение 6. Ряд (36.16) члены которого являются функциями, определенньмси на мноэкесспь ве Е, называется раьномерно сходяи(имся на этом множестве, если последовательность его частичных сумм равнолсерно сходится на Е. Таким образом, равномерная сходимость ряда (36.16) означает сушествованпе такой функнии в(х), что эл(х) 'з(х) на Е.
(36.17) Поскольку из (36.17) следует, что вл(х) — з (х) на Е, то з (х) является суммой ряда (36.16). Положим г„(х) .= ~и ил (х). я=лил ззз ЗВ.«. Равномерное с«оденвсть последввасельнвссел в рядов Тогда в(х) — в„(х)=г,(х) и условие (36.17) можно переписать в эквивалентной форме: гв(х)- О на Е, (36.18) откуда следует, что, для того чтобы сходшцийся на Е ряд (36.16) равномерко сходился на лсножестве Е, необходимо и достаточно, чтобы (36. 19) !пп энр1г„(х)~ ==О. и- хае Таким образом, из равномерной сходнмости ряда, в частности, вытекает, что начиная с некоторого номера верхние грани онр ! г„(х) ! хее конечны, а условие (36.19) сводит понятие равномерной сходкмости ряда к стремленшо к нулю числовой последовательности этих верхних граней. Докажем эквивалентность условий (36.18) и (36.19, В самом деле, если имеет место (36.18), то для любого е) О существует такой номер п, что для всех номеров и:л пе и всех точек х(- Е асвполняется неравенство )г„(х) ! «" —, Отсюда для всех и > и, знИг.
(хн « — '<е, «ее а это и означает выполнение условия (36.19). Обратно, если выполнено условие (36.19), то для любого е) О существует такой номер п„что для всех п>ссе анр ~гв(х) ! «" е, «сс а значит, и подавно для всех п~л и х — Е ~г„(х)) е, что и означает выполнение условия (36.18). Утверждение доказано. Далее, замечая, что вар в,.ьр(х) — з„1(х) =- ~ и„(х), из теоремы 1 получаем след)чощий критерий равномерной сходи- мости. В дб. Функциональные последовательности и ряды Теорема 3 (критерий Коши равномерной сходимости рядов), Для того чтобы ряд (36.16) равномерно сходился на множестпве Е, необходилю и достаточно, чтобы для любого е >О суи(ествовал такой номер и, что для всех нг>меров и > и, всех целых р> 0 и всех х~ Е выполнялось неравенство ! л+р ~~~ иь(х) (е.
(36.20) ь=-и Следствие (необходимое условие равном е р н о й с х о д н м о с т н р я д а). Если ряд (36.16) равномерно сходится на множестве Е, то и„(х) 0 на Е. (36.21) Условие (36.21) получается из (36.20), если положить р = О. У п рамн е н не 2, Дояаэать, что условие (36.21) анвивалентио условию 1ип вар[и„(х)) =О.
и я лвв У п р а ж не н не 3. Лояаэать, что если ряды ~~ ил (х) н ~~ о„(х) рави=! и=- ! номерио сходятся, то и ряды ~~ [ип(х)+о„(х)1 и ~~ сил(х) и-! равномерно сходятся. Часто бывает полезным следующий достаточный признак равномерной сходимости. Теорема 4 (признак Вейерштрасса). Пусть даны два ряда: функциональный (36.16), членами которого явля!отса функции, определенные на множестве Е, и числовой ,й„' а„, и„' ° О, а=1,2, .... и=! Если ряд (36.22) сходится и )и„(х) [ < а„, п = — 1, 2, ..., (36.23) пю ряд (36.16) абсолютно и равномерно сходится на множестве Е. Лбсолютная сходимость ряда (36.16) на Е в случае сходимостн ряда (36.22) сразу следует по признаку сравнения из неравенства (36.23). Равномерная же сходимость этого ряда легко следует из теоремы 2 этого пункта. Иы, однако, приведем ее непосредственное докавательство. дд.в Равнонелнаи ееоднаоеть иоееедовательноетед а аидов Если ряд (36.22) сходится, то в силу критерия Коши для лю.
и+и бого а)0 сушествусг такое п„что ~ ах<.е для всех и ул А=-и и всех целых р лО.Отсюда и из (36.23) следует, что ! л+о 1 иди и+и ,)д„их(х) ~ < ~~ )иь(х) ~ < ~~~~ о„л. е *=-л А л е и для всех и> и и всех х~ Е. Поэтому в силу критерия Коши для равномерной сходимости ряда (см. теорему 3) ряд (36.16) равномерно сходится на лтножестве Е. П р и и е р ы. 1. Рассмотрим снова (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
