kudryavtsev1 (947411), страница 78

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 78)

При 1 О < о — интегралы (34.28) сходятся, а интеграл (34.29) расходит- ся, следовательно, расходится и интеграл (34.26). Заметим, что при и<О интеграл (34,26) расходится. Действи- теньно, в этом случае знаменатель подынтегральной функции обра- >цаегся в цоль бесконечное число раз; причем если хо — з!п х, = О, то функция х" — з|п х в окрестности точки х, согласно формуле Тейлора имеет вид (почему?) х" — з!и х = (х — хо)к гр(х), где й— некоторое натуральное число, а ср(хо)ФО. Поскольку з|п х ФО, то в каждой подобной точке хо мы имеем неннтегрируемую особен- ность. У и р а >кнен ив 3. Исследовать сходвмость и абсол>отнуго сходимость следу>ано>х интегралов: +~' + к'+ х'+1' д )/1 — х" ',~ |/1-|-х> ' + + > 2 , (' дк ~' а(п к ах х |и'х*,| 1/ к" (1 — к'1' о о дх з.

—. — ср <+ .1 1+(! н х)Р о 4. ~ дх. (х+ сок х) о + > — (к* + —,) б. х" с * >(х, Задача 17. Привести пример двух эквивалентных прн к 1-~ фуннция и л: 11го 1 = 1, таких„чт.> ) >'(х) дх сходится, а интеграл «-ь+ю я(х) я (х|ах расходится. 1 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ й ЗЗ. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 35.!. Определение ряда и его сходимость В настоящем параграфе понятие суммы обобщается на некоторые случаи бесконечного числа слагаемых и изучаются свойства таких сумм. Многие из рассматриваемых ниже вопросов справедливы пе только для вещественных чисел, но и для комплексных чисел.

Поэтому в отличие от предыдущих глав в настоящей главе будем вести рассмотрения в комплексной области. Определение 1. Пусть задана последовательность колтлексных чисел и, п =- 1, 2.... Формально написанная сумма (35.1) и,+и,+ ... +и„+ ... или, что то все, нтыеается рядом, а число и„ вЂ” его и-м членом, п = 1, 2,.... Подчеркнем, что всюду, где не оговорено противное, члены рассматриваемых рядов подразумеваются комплексными. Определение 2.

Конечная сумма з„=и,+и,+...+и„, (35.2) слагаемыми которой являются первые и членов ряда (35.1), называется и-й часпшчной суммой донного ряда, а ряд и„+, +...+и„чь+..., (35.3) членами кострово являются все члены ряда (35,1), начиная с (и + 1)-го, написанные в гном псе порядке, что и в данном ряде, нааыеается и;и остатком ряда (35.1). у Вв.

числовые олди Определение 3. Ряд (35.1) низывае>пся сходтцил>ся, если >юследовательносп>ь его час тинных сули 1в„) сходил!ся (ем. п. 3. 1 и п. 23.1). Если ряд не сходится, то гоеорял>, что он расходин>ся. Есла ряд (35.1) сходится, !по предел 1>п! вь называется еео сулсиой. В этол! случае пишут в=- и,+и,+ ... + и„+ ... или Х иь (35,4) и=! Согласио этому обозиачеии>о, выражение (35.1) в случае сходящегося ряда всегда обозначает его сумму.

Если 1пп в„=со, или Игп в„=+ос, или 1)п! в„= — оь, то соответственно пишут ~~, и„=оь,,' иь=+ьь или ~~' и„= — оь. ь=! ь=! ь= ! Каждому риду естествеииым образом соответствует некоторая последовательность — последовательность его частичпых сумм; при этом по определеи>ио, сходиыость ряда энвивалеитиа сходимости последова!ельиости его частичных сумм. Обратно, каждой последовательности можно поставить в соответствие такой ряд, что опа будет являться последовятельиостью его частичных сумм. Действительно, пустьдапа последовательность комплексных чисел 1г„). Положим и, =- г, — г„..., иь = г„— г„ и,=г,, и рассмотрим ряд и,+и,+ ...

+иь+ ... Тогда в„=-и,+ив+ ...+и„= = г +(г.— г )+(гв — г!)+ - + !г — гп — !) =в!я Таким образом, исследование сходимости ряда, согласно определению, сводится к исследованию схсдимости последовательиостп, а исследование сходимости последовательиости всегда может быть указаииым приемом свсдеио к исследованию сходимости соответст- З5.!.

Определение ряда и ееа еадииае!пв гп — ли ив. ъп в=п-(-! (35.5) Всякую сумму конечного числа слагаемых Ип+ Ил+ ... + Ип„ можно рассматрзвагь как ряд, добавив к ней члены Ип .!. ! = Ип„+ 2 "= .. = О Сумма получившегося ряда, очевидно, будет совпадать с задашюй суммой, ибо при всех и) и, его частичные суммы равны зп„.

Если заранее неизвестно, содержит сумма конечное или бесконечное число слагаемых, то иногда удобно в обоих случаях называть ее рядом, счвтая, что конечная сумма является рядом в вышеуказанном смысле. П р н и е р ы. !. Пусть д — комплексное число и ! !)! < !. Тогда ряд ц+ц'+!)в+".+ц"+- с членами и„=- !)и, л =- 1, 2,..., называющийся, как известно, бгсКоне!Иой геалнапричеснай прогпгссией, сходится. Действительно, Чп+! д и+! г) ! л)! ! ! <!и и так как п+! !нп — == О, и- в ! — а то !Ип за= —. и и ю ! — а 2. Ряд с членамн ип- (- !)и,! И=-1,2, ..., расходится, вуюшего ряда. Г!озтому всякое утверждение о сходимости ряда можно перефразировать в терминах сходимостн последовательности„ и наоборот.

Если остаток (35.3) ряда (35.1) сходится, что его сумму будем обозначаты„: й Хд уиеловае рлдн В самом деле, в этом случае э« =--О, 2.==1, 2, ..., 8»»+~ = 1, й=-О, 1, поэтому последовательность частичных сумм (в„) не имеет пре- дела. 35.2. Свойства сходящихся рядов Тепрел~а 1. Пусть с — комплексное число. Если ряд Х иь сходится, то ряд ~«си„, ь=! называемый произведением данного ряда на число, тояаее сходится и ~ си„=.с ~, ив. (35.6) ь ~ «=1 Эта теорема означает, что числовой множитель «можно выносить за скобку» и в случае бесконечного числа слагаемых, если они образуют сходящийся ряд. «Можно» в том сл1ысле, что справедливо равенство !35.6!.

Доказательство. Пусть ь ь в„=- ~', и„и е„= ~~,", сил, » ! »=1 тогда, очевидно, (35.7) хь= сев По условию !!гп а„существует, поэтому в силу (35.?) 1нп в„также «а ь существует и Ищ в„=с!пи е», это и есть равенство (35.6). Теорема доказана.

Теорема 2. Пуся~в ряды ,г«иь и,~~ о «=1 ь= « яя.2 Саолстаа ссадина«сл раааа сходтося, сяоеда ряд Х (и„+о.), называелгый суммой данных рядов, также сходится и Х (.+о.)= Х и«+ Х . «=! «=! «=1 (35.8) « « « я, = л~ и! я«= ! ог, и о«= ~ (и»+о!,)~ »-! »=- ! »=- ! тогда ц так как 1пп я„и Игп я, по условию существуют, то Ит и Н- «М «с« также сущгствует и )пп о„=!пп (я«+я.') =!пп я„+ 1ипя„', «« « вто и есть равенство (35.8). Теорема доказана. Теорема 3.

Если ряд сходиягся, то любой еео остаток сходится. Если какой-либо ос»!гас!гак ряда (35.1) сходи»ноя, пю и сал! ряд пгикясе сходится. Доказательство. Пусть я„=и,+и,+ ... +и„, и 1, 2, ..., частичные суммы ряда ~ и„, а «=! г!«! я» ' = и«, +, + ...

+ и«+» частичные суммы его т-го ос~а~ка и«+!+и, ° + ...+и„, »+ ... Очевидно, что ь;,=-я +я),, и =!гг+Й, (35.9) Эта теорема означает, что сходящиеся ряды «можно складывать почленно» (и-й член с н-м), «можно» в тол! ел!меле, что справедливо равенство (35.8). Доказательство. Пусть й Зд Чис,юлие ряди откуда при фиксированном т следует, что предел (пп з„ л- существует тогда и только тогда, когда существует !!П1 ял~ Иначе говоря, ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится его некоторый остаток. Поскольку патуральиое число т было произвольио, то теорема доказана.

Из атой теоремы следует, что отбрасывание или добавление конечного числа члеиов к данному ряду ие влияет иа его сходимость. Заметим, что, употребляя обозначение (35.4) суммы сходящегося ряда и обозначение (35.5) суммы остатка сходящегося ряда и переходя к пределу при й -ео в равенстве (35.9), получим з=з +г . 35.3. Критерии сходимости рядов Критерий Коши для сходимости последоватсльаосгей может быть легко перефразирован дла рядов.

Действителыю, как известно (см. п. 3.3), для того чтобы последовательиосгь(з„) была сходящейся, необходимо и достаточпо, чтобы для любого е ) О существовал такой номер и., что ~з+л — з — ~ ~~е для любых вомеров п~ и, и любых целых р~О (для удобства использоваиия этого критерия в случае рядов мы здесь пишем разность з„лл — з„1 вместо разности з„+л — з„, которую писали рапьше в п.

3.2. Это, конечно, ие влияет йа суть дела). Если теперь последовательцость (з„) является последовательностью частичных сумм ряда (35.!)„то зл Ьл — а„| =- и„+ и,+ ~ + ... + и,ы л и сформулированный критерий в этих обозиачеииях принимает следующий вид. Теорема 4 (критерий Коши). Для того чтобы ряд ~ и„схол ! дился, необходилю и досталючно, члюбы для любого е ) 0 сущеспивеал такой нолгер и, шпо ~и„+ил+1+ ...

+ и„лл(~, е Р5. (0) при любом п,э. и и любам ~(елом р = О. ада Критерии еяодряоети рядов 488 Теорема 5 (необходимое условие сходимости ря за). Если ряд ~,' и„сход!иься, !тто и=- ! И и! ив =. О. (35.11) Действительно, в этом случае неравенство (35.10) выло.шяется для любого р > О и, в частности, для р = О. Поэтому 1 „~<а дла всех !1> лв, а зто в силУ пРоизвольности е ) О и означает, что 11и! и„== О. в П р и и е р ы. 1.

Бесконечная геометрическая прогрессия и+й'+ц'+ -. +!)" +- при~д~ > 1 расходится, нбоееп-йчлени =д" нестремится к нулю: !и„1=! )1я> 1. 2. Рассмотрим так называемый гарлоиичвскии рлд 1 1 1+ — + - + — -р" 2 и 1 Здесь п-й член и, = — „стремится к нулю при и- ов, но ряд расходится. Действительно, для любого и = 1, 2, ... имеем 1 1 1 и„+ ие<ь + ... +ие — = — + — + " + — > л в -1-1 2я — 1 +...+ ' > "= — ', (35,12) 2а — 1 2в — 1 2а — 1 2в 2 ' 1 т е, для любого и при а = —, и р = и — 1 неравенство (35.РО) ие 2 выполняется.

Таким образом, из критерии Коши следует, что гармонический ряд расходится. Этот пример показывает, что условие (35,11), являясь необходимым для сходпмости рида, не является вместе с тем достаточным. У 85. Ччслпвие ряди 35.4. Критерии сходимости ридов с неоьрицательными членами. Метод выделения главной части и-го члена ряда В этом пункте займемся исследованием сходимости рядов, все члены которых неотрицательны и, значит„заведомо веществен им.

Характеристики

Список файлов книги