kudryavtsev1 (947411), страница 73
Текст из файла (страница 73)
(32.26) Анало~ично определяется и вычисляется момент М кривой Г относительно оси Оу: М,= ~ хйэ. (32.27) о Из формулы (32.26) видно, что в случае, если кривая Г яв,юг етсв графиком однозначной неотрицательной функции у = йх). то момент М„только множителем 2п отличается от площади 7„ поверхности, образованной вращением графика функции / вокруг оси Ох, т.
е. 2пМя = 7.„. 11одобное утверждение имеет место, как это следует нз формулы (32.27), и для момента М~. Раб Виоисяеиие статических иаяеягов и центра тяокегта кривой 441 Определение 4. Точка плоскости Р = (хо, у,), обладающая тем свойством, что если в нее поместить материальную точку массы, равной массе кривой (т. е. в рассматриваемом нами случае массы 5), то вта точка относительно любой координатной оси имеет статический момент, численно равный статическому моменту кривой относительно той же оси, называется центром тажести данной кривой.
Таким образом, 3хо ™о 3)'о ™о откуда в силу формул (32.26) и (32.27) для координат центра тяже- сти получаем формулы !' 1 Г хо —— ~ ) хдз, уо= ~ ) удв. о ! (32.28) В качестве примера найдем центр тяжести цепной линии у=асй —, — Ь<х< Ь. В силу симметрии цепной линии относ1пельно оси Оу имеем гИ„= О. нбо х(в) — нечетная функция. Поэт!!му хо=О.
Лалее, Как отмечалось выше, 2пМ„= й„, где Ех — площадь поверх ности, образованной врашеннем цепной линни вокруг оси Ох, и слеловательно (см. п. 32А), ~2Ь+ зй — ), Ь'1 а)' поэтому М = —, ~2Ь+ а зй — ) . а ! 2ь1 х 2 ( а) Действительно, выбирая за начало отсчета дуг точку цепной линии, лежащую иа оси Оу, и обозначая длину всей цепной линии через 23, получим М,= ) х(в,йв=О, 4 Зг. Интегралы от неограниченных функций 442 С другой стороны, длина 25 цепной линии легко вычисляется по формуле (32.15): ь ь 3= ~)гг1+у' е)х=- ~ )г' 1+а)«з х е)х= а -ь — ь ь „!ь ь ~ с)« — с)х = а з)« — ~ = 2а з)« — .
4 — 'ь Поэтому в силу форлгулы !32.23) имеем 2Ь + а Уе= 4зн— а У п р а «к н е н н я. 4. Найти площадь конечной области, ограниченной параболой у' = 2х + 1, и прямой у = х — 1. б, найти площадь области, ограниченаой циклоидой х = а(! — Ип 1), у = а(1 — соз Г), О <- Г < 2н, и прямой у = О. 6. Найти площадь области, ограниченной кривой р' = а'соз 24« !лемнискагной). 7. Найти объем тела вращения, образованного вращением одной арки синусоиды у = зш х, 0 щ х к и, вокруг оси Ох.
3. Найти длину дуги кривой у =!и сов х, 0 < х < а < —. 2 9. Найти длину дуги спирали Архимеда р = ачч 0 гс Ф щ 2л. 10. Найти площадь поверхности, образованной вращением астроиды 2 2 з х з + у з = а з нокруг оси Ох. 11. Найти координаты центра тяжести дуги кругах = г соз Ч«, у = г Ип Ф, 1 Ф ) а а лс н. й ЗЗ. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИИ 33.1. Определение интеграла от неограниченной функции Известно, что если функция неогран«щена иа отрезке 1а, Ь], то она не интегрируема поРнману.
Поэтому, если мы хотим, чтобы хотя бы некоторые неограниченные функции интегрировались в каком-то сл«ысле, нам необходимо обобщить понятие интеграла. Определение 1. Пусть г)«ункцин г определена и не ограничена на полуинтереале 1а, Ь), причем она ограничена и интегрируеми по рил!ану на любом отрезке 1а, Ч), а<ЧС Ь. Тогда, если сущесп«еует конечный предел «) 1нп ~ !1х)дх, Ч- ь-о, ЭЭ.1.
Определение интеграла от неограниченной функции 443 тио он называеткся несобственным интегралом от функции Г на отрезке $а, Ь) и обоэначаептся ) )(х)е(х. а Таким образом, т" пас- и ~ ти1ы а ь — Оа (ЗЗЛ) Это определение можно записать также в виде ~1(х)бх= Итп ) ~(х)т(х. а е +О ь Существование несобственного интеграла ) ~(х) т(х эквиваленте но существованию несобственного интеграла ) ((х)е(х прн любом с сЕ(а, Ь). ч В самом деле, интеграл ) Г (х) ь(х отличается от интеграл» а Ч ~ г'(х)Их (при ск..ч)к. Ь) на конечную, не зависящую от Ч величину ) Г(х) г(х: а с тюс*-(тю .стттюн. поэтому при т)-ь-Ь вЂ” 0 оба указанных интеграла одновременно имеют предел или не имеют его.
В отличие от несобственного интеграла ) ь (х)г(х обытнтый ина ь теграл Римана ) )(х) тех будем иногда называть также собственнылт интегралом. й ЗЗ. Интегралы от неограниченных Ч1рнкггил 144 а Если 1) О на 1а, Ь), то несобственный интеграл ~ 7 (х) дх а численно равен площади неограниченной области 6=-((х, у):а< х< Ь, Оа у<,.)(х)): ~ у (х) дх = вез 6.
(33,2) а Действительно (см. рнс. 107), если ба — — ~(х, у):па х< Ь вЂ” —, 0<у< !(Х)~ю 1 то, согласно доказанному в п. 32.1, п1ел 61, — — ~ ~ (х) с(х. (33.3) а Поскольку б,сб,с... сбас... () ба= б, 1 1 то в силу теоремы 2 и. 31.2 Ь-г Риа. 107 !! т п1ез 6„= гпез 6. а а Согласно же определена!0 1 з —— а несобственного интеграла 1нп ~ !'(Х)дх= ~ )'(х) г(х; а а поэтому, переходя к пределу в равенстве (33.3), мы н получим (33.2).
У п р а ж н е и н е 1. Пусть функция ! определена н ограннчена на (а, Ь), причем она ннтегрнруема по Рнмаяу на любом отрезке [а, Ь вЂ” в!, ь — е 0<в < ь — а. Наказать, что в этом случае предел 1нп 1 !1х)11х существует е +с" а тогда н только тогда, когда функцпя й будучн пронзвольным образом дооаредсленной в точке х = Ь, является интегрируемой по Рнману ва отрезке (а, Ь) ь н в этом случае указанный предел равен ) !!х)ах. а 83 1. Оаределгиие интеграла ог нгогроничанноп фрнчнии утверждение етого упражнепвя показывает, ч>о если в определении несобственного интеграла (33.1) условие неограниченности функции / на 1о, Ь), заменить условием ее ограниченности, то в случае суп>естаования предела 133.!) мы не придем к новому понятию, а придем к старому понятию инте рала 1'имаиа.
Определение 1, конечно, можно сйюрмулировать и без требования неограниченности функции ьа (а, ь). ) 1(х)г>х=-~1(х) г(х+ ~ 1(х)с)х. (33.5) Прн этом в рассматриваемом случае сушествование и величии на интеграла ~ 1(х)дх не зависят от выбора точки с~(а, Ь), Дег!с>вительно, в этом случае функция 1, очевидно, интегрируемз Для справедливости нижедоказанных теорем несушественна ограниченность или неограниченность подынтегральных функций.
Поэтому мы не будем накладывать этого ограничения, последует иметь в виду, что асе эти теоремы будут содержательны только в случае неограниченных подынтегральных функций, содержательны в том смысле, что для ограниченных подь>нтегральных функций они либо тривиальны, либо доказаны ранее. ь Итак, в дальнейшем под несобственным интегралом ) 1(х)с(х с б>удем понимать интеграл, определенный формулой (33.1), однако без предположения неограниченности функции 1 на [а, Ь). Тем самым (см.
упражнение 1) теперь у нас собственный интеграл является частным случаем несобственного; этим оправдывается примеь пение одного и того же символа ~ 1(х) г)х для обозначения как рис мановского, так и несобственного интегралов. ь Аналогично определяется и несобственный интеграл ) 1(х)дх от функции А определенной на полуинтервале (а, Ы и интегрируемой на всех отрезках 15„Ы, а с.. $ < Ь: ь ь ~1(х)г(х= 1пп ) 1(х)ь(х. (33.4) с с+о Если же функция 1 определена на интервале (а, Ь) н если при некотором выборе точки с~(а, Ь) сушествук>т несобственные инс ь тсгралы ~1(х)г)х н ~1(х)г(х, то по определени>о положим, а с ь с ь 446 6 8Д Ингегрплы аг неограниченных функций по Риману на любом отрезке К, з)1, где а($(г((Ь, и опреде- ление (33.5) в силу определений (33.1) и (33.4) равносильно определению ь ) )(х)е(х= 1(п! г(х),(х и э а+О тв ч ь — а Здесь предел в правой части понимается всмысле предела функции двух переменных„ 'образно говоря, переменные $ и г) стремятся к своим пределам независимо друг от друга.
Пусть теперь существует конечное число точек хг, ь=О, 1„.... гг, а=хе(хх(... (х„=Ь, акакия, что все несобственные интегралы к! г(х) е(х, !'=1, 2, ..., й, к ! — ! существуют, тогда несобственный интеграл ) ) (х) е(х определяется и согласно формуле ь .к! 1 ) (х) !(х = ~~'„~ ! (х) г(х. и г=! к ! †! (33.6) ь ! (х) е(х не существует, то говорят также, что он расходится. О Из этого определения и определения (33.5) следует, что несобственный интеграл в общем случае сводится к интегралам вида (33.! ) и (33.4).
Поэтому при дальнейших рассмотрениях мы ограничимся лишь изучением несобственных интегралов двук указанных видов. У и р а ж н е н н е 2. Йоказатьч что сушествованне нзначенне несобствень ного интеграла ~ 7(х)йх в определении (33.6) не зависит ог выбора точек ки и ! = О, (, 2,,..., й, удовлегворяюшнх сформулированным выше условиям. ь Иногда вместо выражения енесобственный интеграл ) 1(х)с(х существуеть (и, следовательно, конечен) употребляется равнозначь ное выражение «ннтеграл ) ((х) г(х сходится». Если интеграл и ЗЗ.2. Форе!ули интегрального исчисления Примеры. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
