kudryavtsev1 (947411), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Из условия (31.12) следует, что Е - Я»н,...д с=6„, ' *''' дч <»о' и, следовательно, нз системы (31,9) можно выделить конечное покрытие множества Е "4~им...д, а именно покрытие, состоящее » ° ''' д 8!.2 Монотонность леры отнрытыл лнозаесгн 419 только из одного множества б . Это противоречит выбору множеств Яиы...г . Лемма доказана. У и р а ж и е н п н. К Доказать аналог леммы 2 длн ограниченного взм кнутого множества н-мерного евклидова пространства Б», и ) 2. 2. Доказать, что, каково бы ни было конечное открьиое покрьпне И =- (О»]„ » = 1, 2, ..., гн, ограниченного замкнутого множества Е с: Р', суцествует такое число ~>0, что, каково бы нн было множсс~во Р с: Е диаметра меньшего чем Д существует мвожесгво б» Е й, такое, что Р с 6», с 3.
Доказать теорему Кантора о равномерной непрерывности функпни, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве, с помощью леммы Борели. Лемма 8. Пусть 6», й=1, 2, ...,— открытые плоские множества, пусть 6, с 6, с ... с 6» с 6»+1 с= ... (31.13) и пуспв 6= () 6». »гм (31.14) Тогда если Š— ограниченное замкнутое множество и Есб, Р1 Рб) тпо существует номер )го, такой, что Е с 6»,. (31.1Е) Д о к а з а т е л ь с т в о.
Из (31.14) и (31.15) следует, что система (6„), )г = 1, 2,..., образует открытое покрытие множества Е. Поэтому, согласно лемме 2, сушествует конечное покрытие (6»„..., 6»ы) множества Е: Ес () 6»с г-1 Обозначим через/гь наибольший из номеров йы..., )г„,. В силу условия (31.13) имеем гз () 6», =6»„. г=! гпез ба < пзез 6, < ... < п1ез 6» 4 ..., (31.17) Следовательно, Есб„. Лемма локазана.
)( о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2. Предварительно заметим, что из условия б,с:бас... б„с... следует (см. теорему 1), что 4ла й Л Мело клоекил отклытых ыноктегтв поэтому последовательность п1ез б„, к = 1, 2,..., всегда имеет предел, конечный или равный + оо. Рассмотрим два случая.
1. Пусть всемножества 5 (6), т = О, 1, ...,состоят из конечного числа квадратов. В этом случае каждое из множеств 5„(б) является ограниченным замкнутым множеством и, согласно лемме, для всякого номера т существует такой номер й, что 5м(6) с бв, т= 1, 2, .... (31.18) При этом выберем Ав, так, что лт ))т при т' >т. Это всегда можно сделать, например, следующим образом. Если выбраны номера й, <йт< ... к" 1г т и для множества 5„,(6), согласно лемме, найдено множество бв„такое, что 5 (6)с 64,.
(31. 19) то обозначим через к какое-либо натуральное число, такое, что й ))т„, 1 и А > Ф„, тогда бв,~бв, и, значит, 5 (6)с:бв . Таким образом, последовательность кво т = 1, 2, ..., является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел. Обозначим теперь через 5„(б) совокупность всех внутренних точек множества 5 (6). Очевидно, 5„(6) — открытое множество и 5 (6) ~ 5,„(6) ~ бт, поэтому в силу теоремы 1 глез 5(6) ( тпезбе (31.20) Поскольку б„с: б, й=-1, 2, ..., то в силу той же теоремы 1 шез бл„~( глез 6.
(31.21) Объединяя неравенства (31.20) и (31.21), получим нл.5в,(б) =-. пл. 5 (б) -:: тпезб» < птез 6. Переходя вэтомнеравенстве к пределу при т- оо, в силу (313) имеем 11п1 шез бе = шез6. кл ы Последовательность (птез 6„), как отмечалось выше, имеет конечный нли бесконечный предел, поэтому он совпадает с пределом тпобой ее подпоследовательности, т. е. Игп птез б„= шеь б. Теорема в первом случае доказана. а!2 гнонотпнноеть меры откоытык аножеето 2.
Пусть сушествуег множество 5 (6), содержащее бесконечно много квадратов, тогда пл. Б,н(6) = +оо, а потому и глез 6 = + оо. Покажем, что в этом случае и Н т глез 6„= + ~. Пусть задано в) О и пусть 5,„(6) состоит из бесконечного множества квадратов. Площадь каждого квадрата ранга пг равна 1 — Зафиксируем натуральное число и так„ чтобы и 1пгы)в, (31 23) н выберелг из Зы(6) гг каких-либо квадратов. Обозначим множество их точек через Р, Множество Р является многоугольником (оно является объединением конечного числа квадратов) и, следовательно, ограниченным замкнутым множеством, причем пл. Р= гахан (31.24) В силу леммы существует такой номер й, что Рсбм (31.25) Обозначим через Р гиножество внутренних точек многоугольника Р. Согласно теореме 1 и формулам (31.23), (31.24), получаем гпез6„)~ил. Р= пл.
Р)в. В силу же (31.17) для всех й'~И пгез6к ) в. Это и означает выполнение условия (31.22). Теорема доказана. Примером неограниченной плоской области, имеющей бесконечную меру, является полоса 6.=((х, у): 0(у(1). Для того чтобы построить пример неограниченной области с конеч- ной площадью, поступим следующим образом. Она содержит в себе бесконечное множество, например, квадратов первого ранга н потому гпез 6 = + оо.
422 5 зд Мера плогеи» откдгетых егнангегтв Пусть Я вЂ” единичный квадрат: !',!=((х. у): О (х~ 1, О<у~ 1). Положим 6, = ~(х, у): О <' х <' 1, О с" у ( — '~ ° 6,=6, ((х, у): 1 <х<2, О<'у( — ~. Вообще 6е+, =- 6„!.г ((х, у): й < х ( А+ 1, О ~ у ~ — „+, ~, й = 1, 2, . 2 "+' Ка>ггдое множество 6д открыто (почемуу). Наглядно образованйе множеств 6» можно представить себе следу!ощим образом: 6, — половина квадрата ф для получения 6, берется половина оставшейся половины квадрата Я и приклады- рггг. яг вается соответствующим образом к б„получается 6,; далее, половина оставшейся части квадрата О прикладывается уже к 6, (рис.
92), и т, д. Очевидно, имеем 6, с 6, с ... с 64 с ... ! ! ! ! ! 2 2е!! пл. 6„=- — + — + -. + — = 2 2' 2" ! à —— 2 ВЕЕ Вычисление площадей Положим 6=() 6„. и-г Мгюжество 6 открыто и не ограничено, согласно теореме 2! гпез6= !!гппгез6а !нп (! — — з!1=-1. а-~г Гг-+ ю Мера (объем) открытых множеств в трехмерном и вообще и-ьгерном пространстве (а = 1, 2, 3, 4,...) определяется с помощью аналогичной конструкции, следует только, естественно, исходить не из разбиенпй плоскости на квадраты (квадрильяжей), а из разбиений пространства на соответствующие п-мерные кубы (кубильяжсй).
На и-мерный случай переносятся и теоремы, доказанные в этом параграфе. Мы вернемся еще к нзученшо меры множеств в далынйшнх главах, см. п. 44.1. В этом пункте будут излагаться дальнейшие свойства меры (например, ее поведение при объединении множеств— так называемая аддитивность меры); его можно читать непосредственно вслед за настоящим параграфоль У и р а ж и е н н я, 4.
Доказать, что площадь прямоугольника равна проггзвсдсггию его сторон. 5. Пусть 6 — прямой круговой пилиндр, основанием которого янляегся круг К, а высота которого имеет длину а. Доказатгь что глез б =-а тез К, где щез 6 есть мера О в пространстве, а п.ее К вЂ” мера на плоскости. й 32. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 32.1.
Вычисление площадей В этом пункте будут выведены формулы для вычисления площадей некоторых плоских областей. При этом считаются известными нз элементарной математики свойства площади простейших плоских фигур (многоугольников, секторов), например, что при объедикенни таких элементарных фигур, не имеющих общих внутренних точек, их плошали складываются. Впрочем, независимо от этого это утверждение будет доказано в п. 44.1. Теорема 1. Пусть функция / определена, неотрицательни и непрерывна на отрезке (а, Ы, пюгда плогцадь Ъ множества 6=-((л, у):а(х(Ь, Оч" ус !(х)), 4 Лл Приложения определенного интеграла вырооеиется формйлои (32. 1) й(ножество 6 является открытым ограниченным множеством (почему?). Его граница содержится в объединении графика функ- пии )(х), отрезка (а, Ь! оси Ох и отрезков (О, г(а)! и (О, )(Ь)! со- отвтпственно прямых к=а и х = Ь.
Оно обычно называется криволинейной трапецией У (рис. 93), порожденной графиком функции ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть т = (кф о — некого тле рое разбиение отрезка (а, о], а 5, и ь; -- соответственно Фиг верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу функции тогда, как мь~ знаем (см. п. 27.4), д а ь 5К ~~ ( ) (х) йх ) в . (32.2) Рис. Я Обозначим через 6 и й замкнутые многоугольники, составленные из всех прямоугольников вида 6,, = ((х, у): х, 1 ~ л ( хо 0 ( ) .- Мр (= 1, 2, ..., й), от, =((х, у):х; ! ~( к «» хт, 0~(у ~ то 1=1 2, ..., Ц„ 6, =- () 6, „ат == () ~;, ь йтс6 с 6 . При этом очевидно, что пл.
тт =з, пл. 6т=5 . (32.3) Поэтому из (32.3) о силу монотонности меры следует, что вт (ьпез6 < 5т. (32.4) Гели обозначить через 6, и д множество внутренних точек многоугольников 6 и от, го Заь Виоооленае плогаодео Вычитая неравенство (32.4> из неравенства (32.2), получим ьт — Я, < ~ 1(х) дх — шез 6 < 3, — з . й (32.5) Поскольку (см. п. 27.4) 1(ш(3 — з )= О, „о то, переходя к пределу в неравенстве (32.5).
получим п1ез б = ) 1 (х) дх. й Таким образом, формула (32.1) доказана. Как известно (см. п. 27.41, 11гп а,=йт з,=йт 3,= ) 1(х)г(х, хт-о бт от бт-о ' поэтому в силу формулы (32.1) !(ш о„=-1нп з,= 1нп 5т=гпезб. б о Ь о Таким образом, геометрически интегральные суммы Римана и Дарбу Рос ро равны приближенному значению плошади рассматриваемой криволинейной трапепии, притом, с тем большей точностью, чем больше мелкость разбиения т, а предел интегральных сумм равен истинному значению указанной площади. Пусть теперь (рункния г' непрерывна и неположительна на отрезке (а, Ь1. Положим в этом случае 6=((х, у):а<" х(Ь, /(х) < у(О). Пусть 6 — множество, симметричное с множеством 6 относительно оси Ох (рнс. 94), тогда гпезбт= п.езб.
(32Л)) ь ь шваб = ~1 — г(х)1 дх= — ~1(х)дх. (32.?) В рассматриваемом случае $ункпия — 1 веотрннательна на отреаке 1а, 51, поэтому а 82 Приложения определенного интеграла Сравнивая (32.б) и (32.7), получим г гпезО = — ') Цх) с(х, п г т. е. здесь значение интеграла ~ /(х) с(х дает значение площади крп- волинейной трапеции с точностью до знака. Если же функция 1 меняет знак на отрезке (а, Ы в конечном числе точек, то значение е интеграла ) 1(х)г(х дает алгебраическую сумму площадей соответствующих криво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
