kudryavtsev1 (947411), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Из неравенства (28.29), согласно следствию из свойства 7 (п. 28.1), имеем у 28. Сеийгтйй интегрируемый 4йиги1ий йпв Из свойств 5 и ! и. 28.! следует, что тдх=т ) в(х= т(Ь вЂ” а), й й ~ М г(х = М ~ г(х = М (Ь вЂ” а). й й Подставляя зги выражения в неравенства (28.32), мы н получим неравенства (28.30). С л е д с т в н е. Если гЬункция ! непрерывна на отрезке (а, Ы, то сугае тиуын такам точка $ ~ (а, Ы, чгло (рнс.
87) с ! У(х)г)я=7(Е)(Ь вЂ” а). (28.32) Доказательство. Пусть функция ! непрерывна на отрезке (а, Ы и пусть т = ш(п 7" (х), и~в~в М = шах / (х), (28 ЗЗ) ейййв Рис. а7 тогда для зтих т и М, очевидно, выполняются неравенства (28.29), и потому справедливь1 неравенства (28.30). Из ннх получаем в т ~ — ~ 1(х) в(х < М. 1 ь— й Таким образом, число — ~7(х) в(х 1 ь — и нахо11ится между наибольшим и наименьшим значениями функции Ь Согласно теореме Коши о промежуточных значениях непрерывной функции, отсюда следует, что существует такая точка ~ ~ (а, Й, что 7 ($) = — ~ ~ (х) г(х, й т.
е. существует точка $, для которой справедливо (28.32). 2д.2. Теорема о среднем длн оггределенноео ингегаала 401 ~ )'(х) ц (х) г[х =- !г) у (х) г[х. а е (28.34) До к а з а т ел ь с т в о. Пусть функция ц неотрицательна на отрезке [а, Ь[, тогда из условия 2 теоремы получим ту(х) <Г(х)д(х) < Мд(х), а < х < Ь, (28 35) если же функция у неположительна на [а, Ь[, то ту(х)) ~(х)д(х)) Мд(х), а < к< Ь.
В обоих случаях во всех точках отрезка имеем неравенства одного знака. Пусть для определенности Ьг(х)> О для всех хг [а, Ь[, тогда (см. свойство 6 и следствие из свойства 7) из (28.35) следует, что )е тд(х) г[х < д1 ((х)хг(х)с[х < )е Ма (х) г[х, ь ь ь т )е д (х) г[х < )е [(х) д (х) г[х а М ~ у (х) г[х. а Й а Если ) у (х) с[х =- О, то в силу полученного неравенства г(х)у(х)г[х=О и, следовательно, равенство (28.34) справедли- и ь во при лгобом и. Если же 18(х)г[х+О, тогда в силу предпопоженив сг(х) ~ О будем иметь ь ~ д (х) г[х > О; а Тем же методом, который бьгл применен при доказательстве теоремы 1 и ее слсдствгггг, может бьггь доказана и более обшая теорема.
Теорема !'. Пусгпь на отрезке [а, Ь[ оггределены функции / и у. Еслно г) 4Ьггнкции г и И интегрируены на огпрезке [а, Ь[; 2) пг < /(х) < М, х Е [а, Ь[; 3) функция д(х) не лгеннеггг знака на опгрезке [а, Ь[, пг. е, либо пеотрицательна, либо неположгггпельна на эпгол тпрезке, то суигрсгггеует такое число р, т < р < М, что а гв. Свойства интегрируемых функций 402 позтол1у ь ( 7(х) у(х) йх тл ~~ <М.
ь ( д(х) йх а (28.36) Полагая ь ) 7 (х) д [х) йх Р= Э ) д(х) йх мы и получим (28.34). Лналогично подобное неравенство доказывается и прн й с:О на отрезке 1а, Ы. С л е д с т в и е. При дополнительном предположении непрерывности функции 7 на отрезке 1а, И существует такая точка Ц Е (а, Ь), ь ь ) ?(х)д(х)йх=)($)~ а(х)с(х. (28.37) До к а з а те л ь с т в о.
Пусть функция 7 непрерывна на оть резке [а, Ь). Если ~" а(х)йх = О, то в силу равенства (28.34) полуь 'П чим, что 1 7 (х) а (х) с1х = 0 и, следовательно, формула (28 37) справеда лина при любом выборе точки $~(а, И. ь Если же)' а(х) дх~О, тогда из формулы (28.36) и из теоремы а о промежуточном значении функции, непрерывной на отрезке (см. и.
6,2), следует, что найдется такая точка 5 6 (а, И, что ( 1(х) д(х) йх 1(В)= ', ) у(х)йх т. е. что на отрезке (а, Ы существует точка $, для которой имеет место формула (28.37) (см. рис. 8?). Теорема 1 получается из теоремы 1', если положить д(х) = 1, х~(а, И. Следствие из теоремы 1 обычно называется интегральной теоре- л«ой о среднем.
Это название объясняется тем, что в нем утверждается ауществование некоторой точки на отрезке, «средней точки>, обла- 4ЗЗ гаа. Онтегрируемосто кусочно-нелреривгсих фуглсцла дающей опреде;гениыл! свойством, связанным с интегралом от функции. Следствие из теоремы Г обычно называется обоби[енной гпеоре.мой о среднем. Формула (28.34), а значит, и формула (28.37), остается очевидным образом справелливой и при а> Ь. У и р а тн и е и н е Е Если 4!увкпня [ непрерывна на отреаке [а, Ь[. то на н втер в ало (а, ь) существует точка е, для которой имеет место Формула (йа.37).
28.3. Интегрируемость кусочно-непрерывных функций Обобщим теперь теорему 3 прелыдущего параграфа об интегрируемости непрерывных функций на так называемые кусочно-непрерывные фун!сции. Определение 1. Функция ] называется кусочно-непрерывной на отреже [а, Ь], если существует такое разбиение т, = (х!),':о этого отрезка, что функцси! / непрерывна на каждом интервале (х! !, хс) и сущссспвуют конечные пределы ](х! ! +О)= Игп )(х) г-х. +о ! †! г=[,2,..., й )(х! — О)= Игп [(х), Лемма.
Пусись функции 1 и тр определены на отрезке [а, Ь] и )(х)==ср(к) на интервале (а, Ь). Тогда если функция [ интегри- руелса на [и, Ь], то и функция ср инлсегрируелса на [а, Ь] и о о ~ ц>(х)с[х=) )(х)с[х. о а Иначе говоря, изменение значения функции на концах отрезка це влияет ни на интегрируемость функции, ни на значение интегра- ла, если функция интегрнруема. Аналогичное утвергкдение, ко- нечно, справедливо при изменении значений функции в любом ко- нечном числе точек.
Доказательство леммы. Функция [ иитегрируема и, следовательно, ограничена: [[(х) [ < М для всех х ~ [а, Ь]. Пусть М, =- !пах (М, тр (а), ср (Ь)). Возьмем какое-либо разбиение т = (х!)', о~резка [а, Ь] и составил! интегральные суммы Римана и ()) и от(ср), выбирая одни и те ьче точки Цг~[х! ь яг]. Пусть, как всегда, Лх, ==х,— х! !, !=1, 2, ..., )г.
Поскольку [~(Кт) Лх! [~(Мобт, []($л) Лхл [~(Мо бт, [о?6,)Лх,[<М,8 и [сра,)Лх„[(М,Ь„ й аа Евоссегвв сснтегрируе!!в!а функнив 1пп 1(вс) Лх, = 1пп 1(ва) Лх„= Игп ср ($!) Лх, =! пп ср (Ц„1 Лх„= О. о а о 6 о а о Поэтому а а — ! 1оп от (ср) =! пп ~р ср (в!) Лх, = Игп ~ ср (в!) Лх, = а ° О 6-0! 1 от О! 2 и†! а = Игп ~~ ~ ($!) Лх, = Иго ~„~ Дс) Лх, = ~ ~ (х) с(х.
л -,асса 6 в!=! т а а Следовательно, интеграл ~ ср(х) с1х существует и равен интегралу ~ 1(х) сХх. Теорема 2. ссвункс)ил й кусочно-непрервсвная на отрезке (а, Ы, инпигрируелса на этом отрезке. До к а з а тел ь с т в о. Пусть функция 1 кусочно-непрерывна на отрезке (а, Ы и пусть т=(х,)!" — разбиение отрезка (и, б), указанное в определении 1. Пусть 1(х) пРи хс ! <.хс(х„ 1с(х)= 1(хс с+О) пРи х=х, „ 1(х,— О) пРи х хр Функция 1 на каждом отрезке (хс с, х,) отличается от непрерывной функции 1с, быть может, только иа концах этого отрезка, и, следовательно.
по лемме функция ) ынтегрируеыа на (х! с, хс) и кс к! 1(х)с(х= ') 1с(х)с(х, с=1,2, ..., й. к. к ! — ! ! †! Применяя свойство 3 интегралов, получим, что функция с ннтегрируема на отрезке (а, Ы и что в "с ) 1(х) )х =~~' )' )с(х)с(х а Теорема доказана.
128.38) а Лемма доказана. У п р а вс в е и и е 2. Доказать, что изменение значения функции в конечном числе точек не влияет нн ва явтсгрнруемость функвнн, нн ва значение интеграла, если он суоссствуат. 29.т Непрерывность пятегрплп по пер«нему пределу $29. ОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ 29.!. Непрерывность интеграла по верхнему пределу Пусть ф) нкция г(х) интегрируема яа отрезке !а, Ь), тогда она интегрируема и па любом отрезке !а, х1, где а -: х < Ь, т. е. к для любого х ~ !а, Ь! имев~ смысл интеграл ~' г(Г)аь'.
Пологким и р (х) = ~ т'(г) г(ь'. (29.1) и Функция р определена па отрезке !а, Ь! и называется ингпегралолг с переменным верхним пределоль Изучим некоторые свойства этой функции. Теорема 1. Если функция ( ингтгегрггруема на опгрезке !а, Ь), то функция !29.1! непрерывна на эпюм отрезке.
До к аз а тел ь с т во. Пусть хг!а, Ь), х+ Ьаг~!а, Ь), тогда из формулы (29.1) следует, что «+д» г(х ' бх = ) г(ь')г(2= « «+кт« =~)(() (г+ ~ ((() (г= « к+Д» = р(х)+ ) )(1)г(ь, к поэтому (рис. 88) М= р(х+ Л ) — р( ) «+л« ~ ) (() г(г. (29.2) Рпс. еа Поскольку функция 1 интегрируема на отрезке !а, Ы, она ограничена на этом отрезке, т. е. существует такая постоянная ге(~ О, что ! )(х) ! =. гт! для всех х((а, Ь!. Применяя это неравенство для оценки выражения ! Лг 1, получим (см и. 28.1) 1 «э.д» ~»+Д« 1«.ьл» ~»бз-! ! и ~к~!<! ! о«оа!<! ! ма !~щь*~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
