kudryavtsev1 (947411), страница 63
Текст из файла (страница 63)
После этого вычисление данного интеграла сводится к вычислению интеграла Ик ~/ихе+ Ьк+о ' который в случае, когда подкоренное выражение положительно на некотором промежутке, легко сводится к табличному (см. и. 22.3). 2д.7. 7!итвграхв1 вида ) Я(Мох, сот х)дх 371 Интегралы вида (х — Х)") ахт+Ьк+с подстановкой 1 х — 7, сводятся к интегралам рассмотренного типа (25.!6). й 26 ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ТРАНС((ЕНДЕНТНЫХ ФУНК((ИЙ 26,!. Интегралы вида ~ 5!1(5(пх, созх)дх Подстановка сводит указанный в заглавии интеграл дроби. Действительно, 2 51п — савв х х 2 2 михам х, к со55 — + вшв —, 2 2 к интегралу от рациональной 2и х 1+ и'' 1+ !Кв— 2 СО5 — — 5!П— 2 2 соз х— х .
х СО5 + 51П 2 2 + 5 В х=2агс(ди. С(х=- + 2ди 1+ ив' поэтому 2и ! — и51 йи й (ми х, соз х) т(х — 2 ~ Й ( + их (26.1) Таким образом, получим интеграл от рациональной функции. Вычислим указанным методом интеграл Используя формулы (26.1), получим дк ( ди 2 2 =-2) —, = — — +С= — — +С. !+агах = 3 (!+и)5 — 1+и — т + К 2 ат2 а ж интегрироаиние некоторих трпнес!ендентнесх функций Следует, однако, иметь в виду, что, хотя с принципиальной точки зрения рассматриваемые интегралы всегда можно привести к интегралу от рациональной дроби указанным методом при практическом его применении он часто приводит к громоздким вычислениям; вместе с тем другие методы, в частности подстановки нида и=з!пх, и=созх, и=(нх, (26.2) иногда значительно быстрее позволя!от вычислить нужный интеграл. 4!рик1еры. (.
Рассмотрим интеграл ) —. Представим йх СО54 т его в виде 1 1 1х Г 1 их СО54 Х .! СО55 Х С055 Х сразу видно, что в этом случае очень удобна подстановка и =- !ух: ,—..„=~(~+~и )~в~.=~(~+ и =- йх =и+ з+С=(йх+ 3 +С г. Представляя интеграл ) — в виде с ( йх 5!Ог к легко убеждаемся в целесообразности подстановки и = соз х; действительно. — —,)- йх ('оспах (' йи 5!пгх ) 5!п4х ) (! — ит)4 йгс !' и' йсс (' йи ! ! й (1 — и'! 1 — и' ) (1 — и'(4 ) ! — иг+ 2 ) (1 — ие]4 йи и 1 (' йи и 1 !" с1и à — ит 2(1 — ит! 2 ) 1 — их 2(1 — сст! 2 ) ! — ит и ! 11+и( сот х 1 х 2(! — иа) с( )1 — и) 25(птх 4 — — (п~ — (+С= —,, — — (пс!их —,+С.
3. Иногда при вычислении интегралов, подынтегральное выражение к!4торых содержит з!п х и соз х, бываег полезно прибегать и к другим искусственным приемам, используя известные тригонометрические формулы, как, капрал!ер, формулу з!пт х+ соат х = !. 2Д2 Интегао,!и вида !" 5!Ов!Хсоеа хдх Покажем на рассмотренном только что примере способ применения этой формулы: 1!! ~ 5т'х+сов'х Г !!х Г д (5!Ох) ' "+ 5(х=- ! —.— + ! созх 51О Х 51П х 5!о х ' 51ое х х ~ сов х ! ( асовх —; 11 ~~ + 1 2 ! 2МО" х 2 ) 5!ОХх х ! совх ! !' !!х =-!и ~ 12 — ~ — —." — — ! —.
2~ 2 !пех 2 ) вшх ! ! Х! СОХХ = — !и ~(д —,~ — —.+С. 2 ~ 2 ~ 25!Охх Как и следовало ожидать, получился тот же результат, правда, записанный несколько иначе. 26.2. Интегралы вида )5!и хсоз"хс(х Пусть 5п и и — рациональные числа.
Интеграл з!и хсоз'хе(х с помощью подстановок и=-з!их или и=созх сводится к интегралу от дифференциального бинома. Действительно, полагая, например, и=э!их, получим соз х =- (1 — и')5, г(и = соз х 5(х, 5(х = (1 — их) 5 5(и, и потому 5 — 1 з)п'" х созе х е(х = ) и'" (1 — и') " е(х. Таки! образом, интеграл )з!п" х соУ" хе(х выражается или нег через элементарные функции в зависимости от того„обладает этим свойством или нет получающийся интеграл от дифференциального бинома. В случае, когда л! и и целые (не обязательно положительные) числа, интеграл з)п'" х соз'" х г(х относится к типу интегралов. рассмотренных в предыдущем пункте в частности, для их вычисления целесообразно применять !юдстаповки (26.2).
6 26. Интеерароеаиие некоторых трансцендентных г)гункггид Например, если пг = 22 + ! (соответственно л = 22 + !)— нечетное число, то можно сделать подстановку и = соз х (соответственно и = яп х): з!пх*+гхсозахе(х= — ) (1 — соз'х)е сов хе(созх= = — ~ (1 — !гх)х ии г(гг, рассматриваемый интеграл сведен к интегралу от рациональной дроби. Аналогичный результат можно получить и для интеграла яп х созхх+' хг(х с помошью подстановки и = з!и х.
Если оба показателя степени пч и и положительны и четпы (или один из них поль), то целесообразно применять формулы 2 1 оох 2х В 1+еох2х з!п х =- ', созхх= 2 ' 2 которые, очевидно, приводят рассматриваемый интеграл к интегралам того же типа, но с меньшими, также неотрицательными показателями.
Например, соз хг!х= ~ ( 1+ сох 2х х х!п2х 2 М 4 т(х=- —,+ — +С. 26.3. Интегралы вида ) з!и ах сов()хе!х, 3!паха!прхс!х, ) созахсозрхг1х Указанные в заглавии пункта интегралы непосредствен- но вычислгпотся, если в них подынтегральные функции преобра- зовать согласно формулам 1 яп ахсоз1гх = — (з(п(а+р) х+яп(а — )3) х), 1 з!паха!и!3х = 2 (соз(а р)х — соз(а+13)х), 1 соз ах соз (3х = — (соз (а+ (3) х+ сов (а — (3) х). Например, 1 Г з! и 2х соз х г(х = — ~ (я и Зх + яп х) т(х 2,) 1 = — — соз Зх — — соьх+ С. б 2 АХ Интееяохы от тооненендентных фанкчий 26А. Интегралы от трансцендентных Функций, вычнсляющнеся с помощью интегрирования по частям К числу интегралов, указанных в заглавии этого пункта, относятся, например, интегралы еохсоз Рхе(х, ~е"" з1прхт(х, ) хнсозахе(х, х" зптахс(х, ') х" еох е(х, ~ х"агсяп хдх, х" агссоз х т1х, ~ х" агс1п х т(х, ) х" агсс1я х т(х, х" 1п х т1х (и — целое неотрицательное).
Все этн интегралы вычисляются с помощью, вооГ>ще говоря, повторного интегрирования по частям. Действительно, 1=) е""созрхс(х =~еохт1 Р еохеш Рх а ( ох Р— — "е~'яп()хе(х=- — — ) е'"т(( — — )= е ето Рх ае сох Рх а' ек Р' ее" (Ре!прх+асоерл) а'1 Рт Рт откуда Р+ Р)+ ат+ Ре (26,3) Аналогично гычнсляется и интеграл ) е з1пйх)х. В интегралах ) хнсозахт(х, ~ х" з1пахдх, ~ хнеотт(х, положив и х" и сатветственно сЬ = созихт(х, Й» = з(пахах, до=ее дх, после интегрирования по частям снова придем к интегралу одного нз указанных видов, но уже с меньшим нь единицу показателем степени.
11рименяя этот прием и раз, придем 2б.б. Интегралы, не выраакатаи!иеев через злементарные 4ункг!ии 377 Действительно, ! + ит 2г7и с)! х =-, е)х = —,, ! — и'' 1 — и'' 2и з)1х =-— 1 — ит' поэтому ~ Л (з)! х, с Ь х) е(х =- 2 ~ Л (! " „, ",) —, В конкретных примерах иногда оказывается значитель!ю удобне; использовать подстановки вида и = зЬ х, и =- сЬ х нли и ==- 1)! х, позволяющие вычислить интеграл существенно проще (ср.
п. 26.1). Интегралы вида ) з(!"хе)!к хе)х, где тл и и — рациональные числа, с помощью подстановок и = — з)7 х(п = сь х) приводится к интегралу от дифференциального бинома (ср. и. 26.2). 26.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные функции ') — „г)х, ~ — „е1х, ' ) — г)х (и — натуральное числа) также не выражаются через элементарные функции. Имеется ряд интегралов от элементарных функций, не выражающихся через элементарные функции и играющих большую роль как в самом математическом анализе, так и в его разнообразных приложениях. К таким интегралам относится, например, интеграл е — л' Дх в также так называемые лллипрлпческпе иньчегралы Мы рассмотрели различные классы элементарных функций и нашли их первообразные, которые также являются элементарными функциями. Однако не всякая элементарная функция имеет в качестве своей первообразной элементарную же функцию. С подобным обстоятельством мы уже встретились прн рассмотрении интеграла от дифференциального бинома: в этом случае подынтегральная функция элементарная (алгебраическая функция), а интеграл от нее, как отмечалось, вычисляется далеко не всегда.
Можно показать, что интегралы р 76. интегрирование некоторых трангг!ендентных грункиие где Р(х) — многочлеп третьей или четвертой степени. В общем слу- чае эти интегралы не выражаются через элементарные функции. Особенно часто встречаются интегралы 1, и ~, х ...—, 0<(г<1, 1/(! — хт) (! — И хт),! Р (! — х') (1 — (Р ла) которые подстановкой х = з(п гр приводятся к комбинациям интегралов — = н ~ ~/1 — Ага(пагр г(гр; г 1 — )гт а!пт гг они называются, соответственно эллиптическими интегралами первого и еторого рода и форме Лежандра". Упражнение 1.
Вычислить интегральг. ') тг. Лежандр (1752 — 1853) — француасииа иатеиатии 1. ~(х(д . 2. ~ (2х — 5)т Их. 3. ) 51п х дх. 4. ~ ~2«~ — Зх+ — ) дх. атееот « 5. ~ — дх, ~1! — ла 5, ~ ха !/2ха — 1 дх. 8. ~ с(д х Их. 9. ( хе «дх. 10. ~ )п хух. 11. ~ агс!и хдх. 12. ~ атс(яах дх. !з. 1 (/х'+ з лх. 14. ~р«хт — 1 дх. 15. хаак (л + 1) (х + 2) (х — 3) х '+1 хт(х — 1) (х+ !)т 2ха+ х'+ Бх+ ! (ха+ 3) (хт — х+ 1) 18. дх (! — х) (1+ «а) ' — "* 4х' — чх ( — 1)' ( ' + !)' Л ' х' дх о. ~р„ лх х'(х' + 1)а к+ т/хт+ !/х дх.
к !1+!« х 1 дх а !' (2+ л) (2 — л)а )/! !Вл ! лт 24. лх, х )~Т+ х+ хг ~ ~ х(1 — ха) дх. 26. (хт+ !) дх 1/ — хт+ Зх — 2 27. ха Л« (х — !)т 1/ха 52«+1 27Д. Определение ингеграла по Рилгану 379 ф 27. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 27.1.
Определение интеграла по Риману Наполни!л! (см. п. 16.3), что разбиением т отрезка [а, б[ называется любая конечная система его точек х,, 1 = О, 1, 2, ..., л, такая, что и = ха ( кх ( .*. ( хк ! С хл =- [г. При этом пигпется т=(хг), Каждый нз отрезков [х! ы хг[, 1=1, 2, ..., й, называется отрезком разбиения т, его длина обозначается Лх,; Лх,=х,— хг ы 1=1, 2, ..., [г. Величина Ьт = !пах Лх,. !.4,2, ...,к называется хгелксопыо разбиения т. Разбиение т' отрезка [а, б[ называется следующим за разбиением т того же отрезка или подразделением отрезка т, если каждая точка разбиения т является и точкой разбиения т', иначе говоря, если каждый отрезок разбиения т' содержится в некотором отрезке разбиения т. В этом случае пингут т' ) г, или, что то мсе, т( т'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
