kudryavtsev1 (947411), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Предварительно заметим, что если число а является веществен- ным корнем кратности а многочлена Р(х), т. е. Р(х)=(х — а)" Р,(х), Р,(а)+ О, 284. Общий нпибольший делитель иногоиленое Р, (,х) = аР, (х)-1-(х — а) Рг (х) Ре (а) .= огр (а) + О. Г1одобным образом, если Р (х) = (хь+ рх + гу)" Р (х), где — дСО, оь 4 и, значит, корни г, и г, (гь=-г,) трехчлена хе+рх+д сущест- венно комплексны, и если Р, (гт)+ О, Р, (г,) + О, Р' (х) = (х'+ рх+ д)й ' Р, (х), где Р,(г,)+О, Р,(г,) ~О, т.
е. Р,(х) нс делится на хь+рх+г). Действительно, дифференцируя (23,22), получим Р'(х)=(1(хь-1-рх+д)й '(2х-1-р)Р„(х)+ -1-(хь+рх+д)~Рз(х)=(хь+рх+д)~ ' Р,(х), где Р,(х) = ~ (2х+ р) Рь(х)+ (хь+ рх+ »1) Рз (х), откуда следует, что Р, (,) = 11 (2г, + р) Р, (гт) + О, Ре(ге)=р(2г +р)Р,(гь)+О, ибо г + — и гь+ — —, так как они существенно комплексны. Р 2 2 Из доказанного следует, что если многочлен Р(х) записан в виде (23.12), то его п)тоизводную Р'(х) можно представит~ в виде Р'(х)=-с(х — ат) " ' ... (х — а„)и '(хь+р,х+д,) ' ...
(хе+ р,х+цеЯ Р,(х), где многочлен Ре (х) не делится ни на х — а,, ( = 1, 2,;, », ни нз хт-1-р,х+ дл 1' =- 1, 2, ..., з, т. е. не имеет общих корней с много членом Р(х). а 23. Некоторые енеденнл о комилекенык еиелох а многонленак Из формул (23.!3) и (23.20) получаем, что общий наибольший делитель )т (х) многочлена Р(х) и его производной Р'(х) имеет вид Я (х) == = — (х — и)" — '... (х — а,)" ' (хэ+Р,х+д,)р' ... (хт+р,х+д)р~ (23.23) Изложенный метод получения общего наибольшего делителя двух многочлепов Р(х) и фх) принципиально полностью решает вопрос о существовании и виде общего наибольшего делителя.
Практическое же его применение может, однако, вызвать существенные затруднения: для использования этого метода надо знать разложения на множители вида (23.1б) и (23.!7) данных многочленов Р(х) и (1(х), которые далеко ие всегда удается написать в явном виде. Существует, однако, другой способ получения общего наибольшего делителя двух многочленов Р(х) и чг(х), называемый обычно алгаритмалг Евклида. Опишем его. Пусть для определенности степень многочлена Р(х) больше или равна степени многочлена (~(х). Разделив Р(х) на Я(х), получим в качестве частного некоторый многочлен (~,(х) и остаток Я,(х), степень которого, очевидно, меныпе степени многочлена фх) (в противном случае процесс деления на Д(х) можно было бы продолжить): Р (х) =- Я (х) Я, (х)+ Р, (х).
Из этой формулы следует: 1) если многочлены Р(х) и фх) делятся на некоторый многочлен т(х), то н многочлен )ст(х) делится на этот многочлен; 2) если многочлены Я(х) и Я,(х) делятся на какой-то многочлен г(х), то и многочлен Р(х) делится на этот многочлен т(х). Отсюда следует, что общие делители многочленов Р(х) и Я(х), в частности их общие наибольшие делители, совпадают с общими делителями, соответственно с общими наибольшими делителями, многочленов Я(х) и Я,(х). Разделим далее многочлен Я(х) на многочлен К,(х): ( г (х) = )т, (х) Я, (х) + Яэ (х), продолжая процесс дальше, будем иметь )гг(х) = )те(хМз(х)+ )за(х) Кк г(х) =- НА ! (х) и, (х) + гав (х). Степени многочленов Яг(х), 1= 1, 2„...
убывают, поэтому суще- ствует номер, мы его обозначим т+1, такой, что Кыч. (х) =-(), и, значит, Йт — г (х) -- Йт (х) (~~п ю (х). 28.5. Рааеахеен»»е пачааналание дробей на елеяентапн»ее 23.5. Разложение правильных рациональных дробей на элементарные Пусть Р(х) и Д(х) — многочлены с вегцсственными коэффициентами. Рациональная дробь — наэываеп»ся правильнои, если степень Р(х) ()(х) многачлена Р(х) меньше сп»спеки л»ногачлена ()(х). Р(х) Если рациональная дробь — не является правильной, то, проб(х) изведя деление числителя на знаменатель по правилу деления много- членов, ее можно представить в виде — = Я(х)+ Р (л) Р, (х) »е (х) гг» (х) (23. 24) где Я(х), Р,(х) и Я»(х) — некоторые многочлены, а — — пра- Р» (х) л» вильная рациональная дробь.
Лемма 1. Пусть †правильн рациональная дробь. Р (х) »г (х) Если число а является вещеспгвенным корнем кратноспш а > 1 многочлено (г(х), т. е. Я(х)=(х — а)" (~»(х) п Я»(а)+О, п»о с»)»цеста))»от вегцеспгвенные число А и многочлен Р (х) с ве- и(ественными коэффициенталш, пи»кис, что и (х) л „Р. (х) Ю (х) (л — а)'» (х — о)а ' »» (л) где дробь ' ) такаке является правильно»1. Е'» (х) (х — а)" — »»где) Доказательство. Каково бы ни было вещественное число А, прибавляя н вычитая из дроби Р (л) Р (х) »»'(л) (х — а)а»г (х) Пары лшогочленов Р (х) и (~(х), Я (х) и Й» (х), )е» (х) и Ре(х), ..., Й,а» (х) и й„(х) имеют одинаковые общие делители, а значит, и одинаковые общие наибольшие делители. Но й,„~ (х) делится иа Р„,(х), поэтому )к„(х) является общим нанбокьшим делителем )»а, » (х) и Й (х), а значит, и общим наиболыпим дельмелем многочленов Р(х) и Я(х).
зля й гд Некоторие сеейеиия о комплекекнх чиелпх и л1когочлепах А выражение , получим (х — а) Р (х) А ~ Р (х) А „+~ (х а)- ((х а)-.,(.) (х а)-1 А Р (х) — А(Ц (х) (23.25) (х — а) (х — а) Ят (х) По условию степень многочлена Р(х) меньше степени многочлена Я(х) = (х — а)" с),(х). Очевидно, что и степень многочлена Я,(х) меньше степени многочлена ()(х) (ибо а > !), поэтому при любом выборе числа Л рациональная дробь ' является пра(х — а) 9т(х) вильной. Выберем теперь число Л таким образом, чтобы число а было корнем многочлена Р(х) — ЛЯ,(х) и, следовательно, чтобы этот многочлен делился на х — а. Иначе говоря, определим А из условия Р (а) — Ач(т (а) = 0; поскольку по условию Я,(а)~0, то отсюда Р (а) Ют (а) ' При таком выборе А второе слагаемое правой части в формуле (23.25) можно сократить на х — а, в результате получим дробь вида Рт (х) (х — а)~ От (х) Поскольку сна получена сокращением правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами на множитель х — а, где а вещественно, то и сама она является такэке правильной рациональной дробью с вещественными коэффициентами.
Лемма доказана. Лемма 2. Пуапь — — правильная рациональная дробь. Если Р(х) ()(х) колтлексное число г, = а + Ь) (а и Ь вещественны, Ь ~ 0) являепюя корнея~ кратности р > 1 мноеочлена (е(х), т. е. (е(х) = (х' + рх + у) р(',),(х), где <~,(г,) ~ О, и если х' + рх + д = (х — г,)(х — г,), то существуют веи(ественные числа М и )ч' и мноеочлен Р,(х) с вещественными коэффициентами, такие, чпв Р(х) Их+ У Р, (х) Я(х) (хл+рх+д)р (хи+ рх+д)р |ят(х) Рт (х) где дробь также является правильной.
(хе+ рх+ В))т ~4т (х) 346 23.5. Рпэлохтение рпиионплвннх дробей нп элеиентпрнвм Доказательство. Для,пюбых вещественных М поимеем Р(х) Мх+Ж ( Р(х) Мх+ «т х х й 1 х х р х х - х Й ( -«Р +Ч) ( +Ю +Ч) Ют() ( «-Р +4) (23.26) Мх+ «Ч Р (х) — (Мх+ У) Ят (х) (х'+ рх+ д)" (хе+ рх+ д)йй, (х) причем второе слагаемое правой части равенства (23,2б) является, как нетрудно видеть, правильной дробью.
Постараемся теперь подобрать М и Ф так, чтобы числитель этой дроби делился на Х + РХ+ д — (Х вЂ” 22) (Х вЂ” 22). Для этого достаточно выбрать М н Л«так, чтобы г, было корнем многочлена Р(х) = (Мх + Й)Ят(х). Действительно, тогда, согласнс сказанному в п. 23.3, число г„сопряженное ох„также будет являться корнем указанного многочлена. Отсюда и следует, что этот много- член в силу существования его разложения вида (23.!О) делится на хе+ рх+ д. Итак, пусть Р (2,) — (М 2, + «'х') (',)2 (2,) = О.
Если это имеет место, то Р (22) Мг,+Лт =-, (23.27) где по Условию (~,(22) па О. Пусть 2,=а-«-Ь(, ' =А+(В, тогда Р (22) ввт (20 А+(В =Л422+ К=М(а+Ь()+№ Отсюда, приравнивая вещественные и мнимые части, получим Ма+Л«=А и МЬ=В и, значит, и тЧ= А — — В. б (23,23) Р, (х) (хх+-+4)й '(),(х) При этих значениях М и Л«многочлен Р (х) — (Мх+ Л«) Ят (х) будет делиться на многочлеп х' + рх + д. Сокращая второе слагаемое правой части равенства (23,2б) на х' + рх + д, получим дробь вида «46 4 РЗ Некоторые сведения о ко.няхеяснмх «иглах и многпчленпх Поскольку оца получена сокрашением правильной рациональной дроби с вешсствеиными коэффициентами па миогочлеп с иешественними коэффициентами, то и сама она является также правильной рациональной дробью с вешествениымп коэффициентами.
Лемма доказана. Сформулируем теперь основную теорему этого пункта. Теорема 1. Пусть — — правильная рациональная дробь <, Р (х) х <е (х) р (х) и ях) — мнсгсчлены с вещественными коз<)т<)<ициентал<и. Если <;) (х) =- =- (л — с,)" ... (х — а,)" (хз-(. р, х+ ц,)й ... (хя+ рт х+ <),)р«, (23.29) М<(й и й<(), /=1 2,...,в, ~=-1 2,...,бм такие, что Р (х) А<И А«м (аг) <е(х) а+ . а — <+'"+ х — и +-+ (х — н,) ' (х — о,) ' < д«< да< д(ат) + „+ 'а,+-+ ' + (х — о) т (х — о) <" х — о М««х+ Н«' Д<«Я> + у<а< д<(Р<)х+ у(й ) (х«ф <, х -! чт)б~ (хз+ ртх+ ч )йт < " ха+ рг х-<- д< д<(й«х+ Фз) х'+ р«х + ч (2З.Зб) м«<х.~- к< < в<<2) < у<з> (хз + р, х + Ч,)~« (хз + р, х + д,)й' «) Без ограничения обшности можно считать, по козффнш<ент у стари:его члена многочлена <е(х) равен единице, так как в случае, когда он равен какому-то другому числу (отличному от нуля), моя<но разделить числитель и знаменатель дроби — на зто число, после чего у получившегося в знамена- Р(х) еи зеле многочлена козффнииент у стари<его члена окажется равным единице, где а, — попарно различные ьеи(ественние корни мнсгочлена (,)(х) кратности а<, г = 1, 2, ..., г, а х'+ р, х+ <) = (х — г ) (х — г<), где г, и г — попарно ризличныс при розных у существенно кол<плексные корни многсчлена ()(х) кратности рл ) =-1, 2, ..., в, тс суи(сствуюгп вещественные <исла А',"', < =- 1, 2, ..., г, а = 1, 2, ..., ан 34 хдб Раелолеенае рохнональных дробей на елел<енгарные Д о к а з а т е л ь с т в о.
Из разложения (23.29) имеем д(х) =(х — п,)а<(),(х), где (~х(х) ==(х — Пе) ~ ." (х — йе) е(х +р<х-р<)<)()' ". (х + р Х+ <(е)~' и, следовательно, Я,(а,)+О, поэтому, согласно лемме 1, Р(х) Л<П Р, (х) О(х) а+ а — < (х — о<) < (х — ай < О< (х) Применяя в случае п<)1 подобным образом ту жс лем...- Р< (х) к рациональной дроби ' , , получим (х — а<) < 0, (х) Р (х) А«<< А<М Р (х) 9(х) а + а< — <+ а — х (х — аД ' (х — а1) < (х — аД < <) (х) Продолжая этот процесс дальше, пока показатель степени у со множителя х — и, не станет равным нулю, а затем поступая знало гичным образом относительно ь<ножителей х — а,, 1= 2, ..., г, буде«иметь Р (х) А«< «и А(а<) 0(х) — а, -( а,, + ...
+ (, + ... + (х — о1) ' (х — а ) А<Н А<и А( С,) а а '+ "'+ х — а, + <1~(х) ~ (х — ае) (х — а ) е Р" (х) где ( ) — сиовз рациональная дробь, причем Р'(х) и ()е(х) ()е (х) суть многочлены с вещественными коэффициентами н многочлен (,"<е(х) не ил<ест вещественных корнея. Р* (х) Применяя последовательно лемму 2 к дроби, и к по лучающнмся при этом выражениям, в результате полу шм фор мулу (23.30). Теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
