kudryavtsev1 (947411), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Рациональные дроби вида А Мх+)« и (х — а) (хе + рх + д)р 848 Э 28 Некоторые сведения о комплексных кисках и лгногоклених рк где а, р, г), А, М и И вЂ” вещественные числа и -- — с) ( 0 (корни 4 трехчлеиа х' + рх + д существенно комплекснтле), иазыва!отея элементарнылш рациональньони дробями. Таким образом, доказанная теорема утверждает, что всякая правильная рациональная дробь может бьсть разложена в сулгму элементарных рациональных дробей.
При практическом получении разложения вида (23.30) для конкретно заданной дроби обычно оказывается удобчым так называемый метод неопределенных коэффициентов. Он сор(х! стоит в следующем. Для данной дроби — пишется разложение о(к) (23.30), в котором коэффициенты А;, М)е~, Ф~(Р считаются неизвестными(1=-1,2, ..., с, а =1, 2,.„,пг,)=1, 2, ...,з, () =1,2, ..., рг).
После этого обе части равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе миогочленов приравниваются коэффициенты. При этом если степень многочлена Д(х) равна и, то, вообще говоря, в числителе правой части равенства (23.7) после п риведения к общему знаменателю получается многочлен степени п — 1, (а) т. е. многочлен с п коэффициентами, число же неизвестных А( 1, М(, Ж; также равняется п (см. (23.10)): т к ~ и!+2 ~' р =-и. т=- ! т=! Таким образом, мы получаем систему н уравнений с л неизвестными.
Сушссгвованиеунее решения вытекаег из доказанной теоремы. Отметим, что после приведения выражения (23.30) к общему знаменателю и его отбрасывания, в случае, когда (~(х) имеет вещественные корни, целесообразно подставить в обе части получившегося равенства последовательно эти корни; в результате получаются некоторые соотношения между искомыми коэффициентами, полезные для их окончательного определения.
П р и м е р ы. 1. Разложим на элементарные дроби дробь (хк — 1) (х — 2) Согласно (22.30), искомое разложение имеет вид х Л Н С (х' — 1)(х — 2) х — 1 к+ 1 к — 2 ' Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, получим х = А(х+ 1) (х — 2)+ В (х — 1) (х — 2)+ С(х — 1) (х+ 1). (23.31) 23.5. Раахолхение раиионахлных дробей на элементарные 349 Мы имеел! случай, когда асе корни знаменателя вещественны.
Г!олагая в равенстве (23.31), согласно сказанному выше, последовательно х = 1, х = — 1 и х = 2, получим 1= — 2А, — 1=6В, 2=3С, откуда А= — о, 1 2 В= — — С= — ° 6 ~ = 3 Таким образом, искомое разложение имеет вид х 1 2 (хэ — 1)(х 2) 2(х — 1) 6(х+1) + З(х — 2) (23.32) 2. Найдем разложение иа элементарные дроби для хл — ! х (л' + 1)' ' Общий вид разложения в этом случае х' — 1 А Лх+С Ох+ Е х(хи+ 1)' х + (лн+ 1)х+ «л р ! Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, получим х' — 1 = А (х'-)- 1)'+ (Вх+ С) х+ (0х+ Е) (х'+ 1) х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степевях х, получим — 1=А, О=С+Е, 1=2А+В+Г), О=Е, О.=А+О, откуда В=-2, С=-О, 0=1, Е=О, и, значит, искомое разложение имеет вид ь " !2333 х(хи 4-!)л х (хх+ 1)л ' хэ+1' ' ' ) на сумму элементарных проще всего дважды прибавить и вычесть в числителе хх и произвести деление так, как это указано ниже: 1 (1 + хэ) — хл 1 1 лл(1+хи)л хл(1+ хи)л х'(1+ х)х (1+ хэ)л (! + хл) — хэ ! хо~*| лео " ~е* не*тт Следует заметить, что в отдельных случаях разложение на элементарные дроби можно получить быстрее и проще, не прибегая к методу неопределенных коэффициентов, а действуя каким-либо другим путем.
Например, для разложения дроби 1 хл (1 )„лл)х б 24. Интегрирование риниоииллнмх дробей 350 Полученное в результате разложение и является разложением дан- ной дроби на сумму элементарных дробей. й 24. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РА((ИОНАЛЫ)ЫХ ДРОБЕН' В этом и след)чоц(еы параграфах будут рассмотрены методы интегрирования некоторых классов элементарных функций. При этом каждый раз, не оговаривая этого специально, будем предполагать, что речь идет о вычислении интеграла на некотором промежутке, во всех точках которого опред лена подынтегральная элементарная функция (иначе говоря, на котором формула задающая подыптегральн)ю функцию, имеет смысл, см.
об этом в п. 4.3). 24.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей В предыдущем параграфе показано, что всякая рациональная дробь представнма в виде суммы многочлена н элемегпарных рациональных дробей (см. (23 24) н (23.30)). Интеграл от многочлепа вычисляется, и притом очень просто (см. п. 22.2).
Рассмотрим вопрос об интегрировании элементарных рациональных дробей. Сначала рассьютрим вычисление интегралов от дробей вида и=:1,2, .... (х — и)" ' Если п=,1, то „с(х=-А!и) х — а(+С, А (24.1) а если п+ 1, то 4 — — жс1х= — „,+С, А (л — 1) (х — и)" Рассмотрим теперь интегралы от дробен А(к+ и (х" + рк -~- д)и ' (24.2) р' где — — с)< О, л---1, 2, .... Снова начнем со случая и =- 1. Замечая, что У и р а ж н е н н е 3. Доказать, что разложение вида (23.30) оравнльной рациональной дроби единственно.
24 1 Гснтегрироваиие эвеыентарнне рассиониллнлск дробей я полагая О'=л - — р )О, 4 с =х+— Г' получим ! (йС = — 1п(се+а')+ ' снр э с' дс си 2(т' 2 ~~ Г+аэ — 2 — — !и (хе+ рх+ сс)+ агс(н СИ э 2(эС вЂ” Снр Гнр агс!й — +С = '"'"' +с.
2а В случае п)1, полагая, как и выше, о =с) — —, Р" 4 с=х+— Р 2 Ф подобным же образом получаем 1 ' ° "™~ л7х+ сэ' ( ~1 (' сдс 2л' — рси с" ж ( .э ! .х ( )л с(™Д (Сэ ( аэ)л+ 2 Д (Сг т ал)» ° (24А) С С(С 1 д(И+ аэ( +С (С'+а си 2 ) (С +а) 2(„(1 СЭ+„.> — С (24.5) Второй же интеграл правой части равенства (24А) вычисляется несколько сложнее Пусть с(с и ~ (Сл ( э)л ГС вЂ” э э ° Проинтегрируем интеграл l„по частям, положив 1 с (Сэ + ае)" ' с(и =— 2нС с(С (Сл ! э)л+С ' Рассмогрнм в отдельности каждый из получившихся сснзегралов в правоч части этого равенства. Что касается первого из них, то он вычисляется сразу: у 24.
Интегрирование рациональных дробей а затем, добавив и вычтя а' в числителе получившейся под знаком интеграла функции н произведя деление так, как это указано ниже, получим Ф ' 2 и » ) (р ( а«)» ((рх ) ах)»+ ,„+2п( йс= (С +а«) — а« Г с г(" йс е(' йс +2п) ( (с«+ ае)» (се + а«)» ) (с«1 «»+1 ~ — ае г.
е. l„= (с... н + 2пс'„— 2ссае)»+„ откуда Интеграл с, легко вычисляется (см. и. 22.2 формулу 12); формула (24.6) позволяет вычислить с'е; зная же хм патой же формуле можно найти значение и )е, продолжая этот процесс дальше, можно найти и выражение для любого интеграла с„(п = 1, 2, ...). 24.2. Обший случай Из результатов п. 23.5 и предыдушего п. 24.1 непосредственно вытекает следуюшая теорема. Теорема 1. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существуесп и выражаепсся через элемесипарные функцсси, а именно через суперпоыщии рацссональнсях дробей, арктингенсов и натуральных логарафлюв. Эта теорема есть прямое следствие формул (23.24), (23.30), (22.6), (22.8), (24.
1) — (24.6). Эти формулы дают и конкретный способ вычисления интеграла от рациональной функции: сначала делением числителя на знаменатель выделяется «целая часть», т. е. данная рациональная дробь представляется в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (23.1), затем получившаяся правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей (23.30), после чего, используя адаптивность интеграла (22.6), можно вычислить интегралы от каждого слагаемого в отдельности, согласно формулам (22.8) и (24.1) — (24.6).
24.2. Общий «кучай П р и м е р ы. 1. Вычислим хйх (х2 — 1) (х — 2) Уже известно (см. (23.32)), что к 1 1 2 (х2 — 1) (х — 2) 2 (х — Ц б (х + 1) + 3 (х — 2) ' поэтому х йх ! (' йх 1 (' йх 2 (' йх (х2 — 1!(х — 2) 2 ) х — 1 6 ) к + 1 + 3 ) х — 2 ! 1 2 = — 1п ! х — Ц вЂ” — 1п ~ х + 1 ~ + — ! и ~ х — 21+ С. 3 2. Вычислим к" + Р«2+ 2к2 — 1 1 х(х'+ 1)2 Согласно общему правилу, выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель; получим Ф + 2«4 + 2«2 — 1 х2 — 1 х(х2+ 1)2 + к(«2+ 1)" Для получившейся правилыюй рациональной дроби уже найдено ее разложение на элементарные дроби (см. формулу (23.33)); хх — 1 ! 2х х «(«2+ 1)2 к («2+ 1)2 + «2+ ! поэтом) 2(х= ~ хдх — ~ — +~ —,,-" — ".-~+ +~ —,Их= — 1и)«(+ ~ + —, ! к х2 рй («2+1) 1 ей (х2+ 1) х2+1 2 ) (х2+1)2 2 ) х2+1 к" 1 1 = — — 1п) «1 — —,+ — 1п(х +1)+С.
Следует иметь в виду, что указанный метод вычисления неопределенного интеграла от рациональной дроби является общим: с помощью его можно вычислить неопределенный интеграл от любой рациональной дроби, если можно получить конкретное разложение знаменателя на множители вида (23.10). Однако естественно, что в отдельных частных случаях бываег целесообразнее для существенного сокращения вычислений действовать иными путями. й 24.
Ин~егаирввание ра!!ионахвнв~х дробей Например, для вычисления интеграла ироде не раскладывать подынтегральну!о функцию на элементарные дроби, а применять правило нн!егрировання по частям. хдх ! Положив ц=л, л(о= — и е(и=с(х, о= — (),л)в = ~ — 4 (),л)л * получим 1=- — —,~ х 1 (" д (1 — хл) х 1 (' 1 2 ~ (1 — х")в 4(1 — хл)л 4 ~ (1 — х'!л ,, с(х, Прибавляя и вычитая к числителю получившейся подынтегральной функции х', производя деление, получим два интеграла, из которых первый табличный, а второй легко вычисляется интегрированием цо частям: х 1 Г(! — х") -1-л' 4 (1 — х")л 4 ) (1 — лл)л х 1 йх 1 хедх 4(1 — лл)л 4 ) ! — х 4 ~ (1 — л)л х ! 1!14х~ л С 4(1 — хл)л 16 ~ 1 — х ~ 8(1 — х') + 24.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
