kudryavtsev1 (947411), страница 62
Текст из файла (страница 62)
(25.2)) (е х — !' получим 2 — ге 2г дг х= —, г(х=— ! — Р ' (1 — ~т!е Поэтому ~)7(х — 1 (х — 2) г(~=- ~(,, — 1) (,—, и — —. 2 ~ (. получилн интеграл от раниопальной дроби, который был вычислен раньше (см. п. 24.2). гв.г. Иитегрилм вида ) гх (х, )г ахг+ Ьх + с) дх 25.2. Интегралы вида ) К( х, у' ахи+ Ьх+ с) ЕЕх. Подстановки Эйлера. Указанные интегралы могут быть сведены с помощью замены переменного к рациональным функциям. Рассмотрим три замены переменного, носящие название псдсщановок Зйлера.
Итак, пусть дан интеграл ~ Ес(х, )Еах'+Ьх+с) с(х, а+О. (25.8) Первый случай: а~0. Сделаем замену х на Е следующим образом: 'уеахх+ Ьх+ с = ~ х )Еа ~- Е (25.9) (знаки можно брать в любой комбинации). Возведем обе части написанного равенства в квадрат: ах'+ Ьх+ с = ахи + 2хЕ )Е а+ Ех, отсюда х= = Йх(Е), Ь~ ГЕЗ~и Ее, (Е) — рациональная функция от Е, значит, Й, (Е) — также рациональная функция. Далее, е(х=й~(Е)г(Е, у ах +Ьх+с .=+ И,(Е) г'а ~Е=ЕЕе(Е), где, очевидно, К,(Е) — рациональная функция. Окончательно ) Ес (х, )/еах'+ Ьх+ с) йх= = ) Я (Я,(Е), ЕЕ, (Е)) К (Е) еЕЕ = 1 К* (Е) г(х, где ЕЕ*(Е)= )с' (5!, (Е), Лх (Е)) ЕЕ1 (Е) — рациональная дробь. Второй случай: корпи трехчлепа ах'+ Ьх + с вещественные.
Пусть х, и х, вещественны и являются корнями трехчлепа ах'+ Ьх+ с. ЕСЛИ Х,=Хм ТО ~/еах'+ Ьх+с=)'а(х--х,)х = ~х — х, ( р'а. Отсюда следует, что в атом случае либо под корнем стоит отрицательная при всех зпаче>щяк х величина, т. с. корень принимает й 2о Ингегрирооиние некотори» ирриционииьногтги 364 только чисто мнимыс выражения,— этот случай имеет место при а < 0 и мы его не рассматриваем, либо при а ) 0 после указанного элементарного преобразования получаем, что переменное х не входит под знак корня, т.
е. под интегралом стоит просто рациональная функция от х, вообще говоря, разная для каждого из промежутков ( — оо, х,) и (х„+ о). Рассмотрим теперь случай, когда хг+ хи. Замечая, что ах'+ Ьх+ с = а(х — х,)(х — хи), и вынося х — х, из-под знака корня, получим где )г, (и, о) — рациональная функция переменных а и гн Как известно (см. п. 25.1), интеграл от функции (25.10) может быть вычислен с помощью подстановки (см. (25.2)) 12 и (» — »г) » — », что в нашем случае дает -и (х — хг) 1 = — [/ а (х — хг) (х — хи) или, беря 1)0 при х~~х, и 1<0 при х <х, (х — х,)1=- 1/ах'+ Ьх+с.
Рассмотренный в предыдущем пункте интеграл (25.7) является примером случая 2„этот интеграл был сведен выше к рациональной дроби приемом, разобранным сейчас в общем случае. Два изученных нами способа вычисления интеграла (25.8) поз- воляют всегда свести этот интеграл к интегралу от рациональной дроби, если только корень 1/ах'+Ьх+с не принимает чисто мнимые значения (естественно, изучая анализ в действительной области, исключить этот случай из рассмотрения).
Действительно, допустим, что ни первый, ни второй случаи не имеют места, т. е. а < 0 и корни х, и хи трехчлена ах'+ Ьх+ с существенно комплексны: х, = = д+И, х,=д' — Ы, Ьч"-О. Тогда 1/ах'+ Ьх+с=1/а(х — х,)(х — х,) = =1/а(х — д — Ьг)(х — д-+Ьг) —. ')Га [(х — р)и+Ьи[, и так как а < О, а Ь ~ О, то под корнем при любых х стоит отрицательное выражение.
Утверждение доказано. 25.х. Интегралы хада (Л~х, 7 ах2 + Ьх 4- с1лх Третий случай: с>0. В этом случае можно применить подстановку )гах'+ Ьх+с = ~ ~/с~ х1 (комбинацня знаков произвольна). Возводя в квадрат, получим ах'+ Ьх = ~ 2х1 'р'с+ хЧ', откуда у'ах'+ Ьх+ с = + ')гс ~ Д,(Г)1=К„(1). где Йх(1), К,(г) и К,(Г) суть рациональные функции 1. [1оэтому ~ К (х, у'ах'+ Ьх + с ) дх = = ) Й (Йх (г), Йь (()) Й4 (г) г(г = ) )~ (~) Ж, где К(г)=Д (тг,,(г), К,(г)) К4(г) — рациональная дробь.
Интегралы вида ) Й (х, )'ах+Ь, у'сх-)-Й)Их сводятся подстановкой 1= х+Ь (25.11) к рассмотренным интегралам вида (25.8). В самом деле, из (25.11) имеем Р— Ь г(х =:1су ргсх+й = ~/ — Р— — + й = р'АР-)-В где поэтому ) й (х, )'ах+Ь, )Гсх+й ) дх= ) Я (г, ~/АР+В ) Ш1, где )с,(и, с) — рациональная функция переменных и и о. В правой части последнего равенства стоит интеграл типа (25.8). Вычисление интегралов с помощью подстановок Эйлера обычно приводит к громоздким выражениям, поэтому их следует применять, зве й ей интееоиноепние иекотосмх иоопнпонпеьноетел вообше говоря, лишь тогда, когда рассматриваемый интеграл не удается вычислить другим более коротким способом.
Например, за- 6 !е ве мечая, что ах'+ Ьх + с = а(х +,— ) + с — —, нетрудно убедитько) 4а' ся, что интеграл (25.8) в случае, когда подкоренное выражение положительно па некотором интервале, с помощью линейной подстановки может быть приведен (ср. и. 22.3) к одному нз трех интегралов: (конечно. здесь символом ег обозначена, вообше говоря, другая, чем в формуле (25.8), рациональная функция). Для вычисления полученных интегралов часто оказывается очень удобными использовать тригонометрические подстановки 1== гйпи, 1=соки, 1=1йи, а также гиперболические подстановки 1= ай и, 1=-с)! и, 1=1)! и. 25.3. Интегралы от дифференциального бинома Выражение х"'(а + Ьх")е е(х (а ч' О, Ь чь О) называется дифферснциальныы бцноееом.
Будем рассматривать случай, когда и, л! и р — рациональные, а а и Ь вЂ” веьцественные числа. Положим ! х — 1п, (25.12) тогда ! ! —,— ! Дх = — Ьп и т+! х" (а+ Ьх")е ь(х =- — ~ (а+ Ьг)ег " гУ. Таким образом, интеграл х'" (а+ Ьхп)» г(х (25 13; 2Б.,З. ГГ»игр»зэ> а> ди4>л>*лги>н>пп:»пап аллана авт сводится подстав >акой (25.12) к инге ралу типа ) (а+51)РГчЛ„ (25.14) где р и д рациональны. В рассматриваемом случае П е р в ы й с л у ч а й: р — целое число. Пусть д = †,, где г и з — целые числа.
Согласно результатам п. 25>.1 в этом случае подстановка г = ! ' сводит интеграл (25.14) к интегралу от рациональной дроби. В т о р о й с л у ч а й: д — целое число. l Пусть теперь р = —, г и з — целые числа. Согласно результагал! пункта 25.1, интеграл (25.14) приводится в этом случае подстановкой > г = (а + 5!) ' к интегралу от рациональной дроби. Т р е г и й с л у ч а й: р + д — целое. г Пусть р = —,, г и з — целые. Запишем для наглядности интеграл (25.14) несколько в другом виде: Итак, в трех случаях, когда одно из чисел р, дили р + д является целым, интеграл (25.14) прн помоши указанных выше подстановок привозится к интегралу от рациональной дроби.
Применительно к интегралу (25.13) этот результат выглядит л>-(- ! >а+ ! следу>ощнм образом: когда одно из чисел р, — нли — + р н » является целым, интеграл (25.13) может быть сведен к интегралу от рапи! нальной дроби. 11рн этом в случае, когда р целое, это сведение осушгс>вляет поде>ановка и г= .гт Снова имеем интеграл типа рассмотренного в том >ке пункте 25.1. На это> раз к интегралу от рациональной дроби его приводит подстановка > б 25. Иитегририеииие неиоьорые иррациональностей где число а является знаменателем дроби— т+1 т+1 в случае, когда — „целое, — подстановка 1 (н+ бхи)е т+! г т.
е. и а где число з является знаменателем дроби р, т. е. р = —; а в слуш+1 чае, когда †„ +р целое, †подстанов Здесь 1 3 тн= —,. л= — —, 2' 2' 1, т-(- ! 4 ' а имеем второй случай. Сделаем указанную выше подстановку: з=~! — х '), (25.15) отсюда е) з а ь(х = — (1 — з') ' зз е(а, и потому 2а ! !!+а! ! — — !и ~ ~ — —,агс1и а+С, — З(! —.) б ~! — е~ З где з выражается через х, согласно формуле (25.15). е! П. Л. ЧЕбЫШЕВ (1В21 — 1З94) — руССКИй МатЕМатИК.
! х — (ох — и+ 5) е где число з также является знаменателем дроби р. П. Л. Чебышев *' показал, что при показателях ш, н и р не удовлетворяющих вышеуказанным условиям, интеграл (25.13) не выражается через элементарные функции. Пример. Рассмотрим интеграл 1 Р„(х) гд4. ИнтегралЫ ниде — —, т)х ,»)'ахх+ Ьх+ с 25.4. Интегралы нида ~ Р„(х» гтх )' ахх ~- ах + с Рассмотрим интеграл Г с(х, а+ (». у ххттхл где Р„(х) — многочлен степени и ) 1. С принципиальной точки зрении зтот интеграл всегда можно свести к интегралу от рациональной дроби с помошыо одной из подстановок Эйлера (см. п.
25.2). Однако в данном конкретном случае значительно быстрее к цели приводит обычно другой прием. Именно покажем, что имеет место формула с(х = )/с хх + Ьх + с = Рн ) (х) )/ах'+ Ьх+с+сс ( ', (25.16) .) 1/ал х + Ьх + с где Р„~(х) — многочлеп степени не выше, чем и — 1 а тс — некоторое число. Итак.. пусть многочлен (25 !7) Р„(х)=-а„х"+а,,хн — 'ер ... +а, задан. Если сугцествуег многочлен Ре — ~(х)=Ьа лх" '+Ье гх" — з+ ... -(-Ь, (25 !8) удовлепвря)шций условию (25.!6), то. дифференцируя это равенство, получим =Р„, (х) )/ ахх+ Ьх+ с -1- 1/ела+ Ьх+ с Р, (х) (ха~+ Ь» +" З3~ ахх+ Ьх+с 1/ах" + Ьх+ с + 2Р„(х) = 2Р„~ (х) (ах'+ Ьх+ с)+ Ре ) (х) (2ах+ Ь)+ 2сг.
(25.19) Здесь слева стоит многочлен степени н, а справа каждое слагаемое также является многочленом степени не больше п. Замечая, что Р„. ~(х)=(п — 1)Ьа ~хе '+ ... +»гЬхх' '-1- ... +Ь, (252О) 170 С ео. Интеерироеоное некоторых ирричионононостеа и подставляя (25.17), (25.18) и (25.20) в (25.19), имеем 2(аох +а„|х"-'+ ... +а, х+а,)= = 2 (ах'+ Ьх+ с) 1(п — 1) Ь„~ хо-з+ ... + ЬЬд хд '+ ... + Ье)+ +(2ах+Ь)(Ьо |хо-'+,. +Ьдхд+ ...
+Ьо)+2а. Приравнивая коэффициенты у одинаковых степеней х, получим следующую систему п линейных уравнений с и неизвестными Ьо, Ьм -. Ь ь оп 2а, = 2сЬ,+ ЬЬ,+2со, 2ад=2ЬЬ +4сбе+2аЬ,+ЬЬ„ 2ад--2(й — 1) аЬе, +2ЬЬЬд+ 2 Я+ 1) сЬд+ь+ (25.21) +2аЬд ~+ЬЬд, 2а„1= 2(п — 2) аЬн-е+ 2 (и — 1) ЬЬо ~ + 2абн э+ ЬЬо 2а„=2(п — 1)аЬ, ~+2аЬ„ Из последнего уравнения сразу находится Ь„ ин Ь„ Подставляя зто выражение в предпоследнее уравнение и замечая, что в этом уравнении коэффициент у неизвестного Ь„ е равен 2а(п — 1) + О, найдем значение Ь е. Подставляя далее значения Ь, ~ и Ьо е в предыдущее уравнение, найдем значение Ь, м и т.
д. Последовательно получим все аначения неизвестных Ьд(й == О, 1, ..., и†1). После этого из первого уравнения сразу находится неизвестное а. Таким образом, система (25.21) имеет решение при любых значениях а„а„..., ато поэтому определитель этой системы не равен нулю и указанное решение единственно. При практическом применении формулы (25.16) многочлен Р„,(х) пишут с неопределенными коэффициентами, которые находят, решая систему (25.21).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
