kudryavtsev1 (947411), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Из следствия свойства 2 следует так!ке, что (27. 7) 11 и! (Я, — эт) = О. о (27.8) 27.4. Необходимые и достаточные условия интегрируемости Теорема 2. Для того чтобы огрпни кнная иа неко!порп»1 отрезке функция была интггрируглеа на этом отроке, необходил1о и достал!очно, чик!бы сгх.4 Необходимнсе и достатоиносе углооин интегрируемости Условие (27.8) означает (см. определение 3 в и.
27.1), сто для всякого в ) 0 существует 6 = 6(е), такое, что (27.9) для любого разбиения т мелкости 6 ( 6, Поскольку з < 8, то неравенство (27.9) равносильно неравенству Я,— ат (е. До к а з ат ел ь с т во н е об х од и м о с т и.
Пустьограниченная на отрезке!а, 6) функция ! интегрируема на этом отрезке и пусть о 1=) !(х)с(х, тогда 1ппот=- 1. ас о Поэтому для любого а'~0 существует 6=6(з))0, такое, что если 6,(6, то (от — 1~(в, нли 1 — е(от(1+а. Огссода прн 6 '6, согласно свойству 3 интегральных сумм Дарбу (см. п. 27.3), получаем неравенство ! — а <а, < Я, <1+а. Таким образом, если 6 (6, то О <Я,— э <2в, а это и означает выполнение условия (27.8). Доказательство достаточности. Пусть функция ! ограничена и имеет место (27.8). Из определения ннгкпсго и верхнего интегралов Дарбу и из неравенства (27.7) имеем , <1<1<8,, (27Л 0) поэтому 0<1 — 1<Я,— з, откуда в силу (27.8) следует, что 1 — 1 = О. Обозначая их общее Значение просто через 1, т, е.
1 = 1 = 1, из (27,10) получим а, <1< от, й 77 Определенный интеграл и потому 0 < 1 — эт ~~3т — э, 0 <Бт — 1 < Бт — дт. Отсюда и силу (27.8) следует, что !! го (1 — э ) = !!!и (3 — 1) =- О, б -о б»о а значит, (27,11) 5!и э =1)п! В ==1. б -о б -в Но в силу свойства 3 интегральных сумм Ларбу (см. п. 27.3) ас ~~ стт ~ ~г (27.12) Из (27.11) н (27.12) следует (ср. аналогичные утверждении в п. 3.1 и 4.5), что !!гп от=1, бт" о Задача !4.
Доказать, что, для того чтобы функция была интегрируема на отрезке, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена и чтобы ее нижний и верхний интегралы Дарбу совпадали; при атом общее значение этих интегралов и является ее интегралом. 27.5. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций Теорема 3. Функ!!ия, определенная и непрерывная на некотором от!!резке, инпгегрируема на этом отрезке, До к аз а тел ь с т в о. Пусть функция 1 непрерывна на отрезке [а, 5).
Из непрерывности функции на отрезке, во-первых, следует ее ограниченность (см. п. 6.1), а во-вторых, ее равномерная непрерывность (см. п. !9.5) на этом отрезке, т. е. )пп со (5; 1) = О, б-.о где от(5; 1) — модуль непрерывности функции 1, это н означает интегрируемость функции 1. Теорема доказана. С л е д с т в н е. Если бгункция 1 интегрируема, то не только ее интегральные суданы Римана, но такэае и интегральные суммы Дарбу стремятся к ее интегралу, когда мелкость раЖгтения стремится к нулю.
Действительно, если функция 1 интегрируема, то выполняется условие (27.8), а из него, как мы видели, и следует условие (27.11). 27З Интегрируемоеть непрерывных и л!оноьонных функций звв Согласно свойству 4 интегральных сумм Дарбу (см. п. 27.2), для любого разбиения т= [х!),'=„отрезка !а, Ь! к 5 (1) — э (1)= .йл ил!(1) Лхь ! где о!!(1) — колебания функции 1 на отрезке [х! !, х,), ! = 1, 2, ...,Е Замечая, что ло, (1) = зир [1 (х") — 1(х')1 < зцр [1(х") — 1(х')) = со (б.;, 1), х! !<х<», ! х" — к' !<б к! !<»"<к! а<х'<Ь имеем 5т(1) — зт(1) < ~',гоь(1)бх,.< (б,; 1) Х Лх! — — (Ь вЂ” а)ил(бт; 1). !=- ! !=! Отс!ода в силу (27 13) следует, что Фт(1) —, (1)! =- О, и поэтому (см.
п. 27.4) функция 1 интегрируема на отрезке [а, Ь[. Теорема доказана. Теорема 4. Функция, определенная и монотонная на отрезке [а, Ь), интеераруема на этом отрезке. До к а з а т ел ь с т в о. Пусть функция 1(х) монотонна на отрезке [а, Ь), например, монотонно возрастает на этом отрезке. Тогда 1(а) <1(х) <1(Ь), а~<х < Ь. Таким образом, функция 1 ограничена на отрезке [а, Ь!. Далее, для любого разбиения т= [х,),, отрезка [а, Ц, очевидно, имеем т,=-1(х; !), М!=1(х!), 1=1, 2..., Ц поэтому и ~т (1) — 'т (1) = ° Р1! — т!) Ьх! = 1=! = Х [1(х!) — 1(х )!Лх, <б, Х [1(х!) — 1(х! ))= !=! =- !1 (Ь) — 1(а)! б,, ибо в сумме ~~'., !1(х!) — 1(х; !)1 взаимно уничтоя!аются все ела ! ! гаемые, кроме 1(Ь) и 1(а).
зэо б 28. Свойства интегрируемых функций Из полученного неравенства следует, что !пп [от(1) — ат(1)1 = О. б -о Поэтому (см. п. 27.4) функция 1 интегрируема на отрезке 1а, Ь!. Теорема доказана. У и р а ж н е н и е 2. Если функция ~ ограничена и непрерывна на отрезке 1а, й1, кроме, быть может, конечного числа точек, то она ивтегрируема на этом отрезне. Задачи !З. Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была иэтегрируема на атом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О существовала конечная, или счетная, система интервалов, которые содержали бы все точки разрыва заданной фувкцив и сумма длин которых была бы меньше заданного е.
й 28. СВОИСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ 28.1. Свойства определенного интеграла Будем систематически, не делая специальных ссылок, употреблять обозначения и терминологию, введенную в предыдущем параграфе. 1. ) с[х.= Ь вЂ” а. и Действительно, здесь подынтегральная функция равна единице, а поэтому для любой интегральной суммы Риз1ана ат имеем 2.
Еслгг г[гйнкция 1 антегрирйема но отрезке [а, Ь), ню она ггнтегрируелщ на любом сллрезке [а", Ье!с:[а, Ь!. Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего, если функция 1 ограничена на отрезке [а, Ь[, то она, очевидно, ограничена и на отрезке [а*, Ь !. Далее, каково бы ни было разбиение т*= [х~[!"о отрезка [а", Ь"! мелкости 6., его всегда можно продолжить в разбиение т= [х,)~ ~оь отрезка [а, Ь! такой же мелкости 6 = 6т*, для этого добавим к точкам х"„ 1 = 1, 2, ..., 7г', конечное число соотяетствующим образом выбранных точек, принадлежащих отрезку !а, Ь[, но не принадлежащих отрезку 1а', Ь !. 2В.б Спой!тес определенного интеграла ав! Полагая т! = !и! 1(х), М,' = зпр 1(х), Ьх;=х! — х! ь г=1, 2,..., й', и замечая, что каждое слагаемое суммы ~! (Л4! — т!) Лх! яв- ! 1 ляется и слагаемым суммы ~'., (М! — т!)Лх! и что все слагаемые с'= ! обеих сумм неотрицательны, имеем е" О<8, — а, = Х(М! — т.') 1х" < ! ! «( Х (М,— и,) Лх! = Я,— з .
(28.1) с=! Если функция )' интегрируема на отрезке !а, Ь), то, как мы знаем (см п. 27.4), 1пп (5 — зт) = О, (28.2) б -о поскольку Ьт=б,, то из (28.2) и из неравенства (28.1) следует, что 1)п! (Я вЂ” з .)=О, бт.-о (28.3) (28.5) т. е. (см. п. 27.4) функция ! интегрируема на отрезке !а*, Ье). 3. Пусть а < с «Ь. Если функиил ! интегрируема на отрезках !а, с1 и (с, Ы, то функиил !' интегрируема и на отрезке (а, Ы, причем г с ) ! (х) дх =- ~ ~ (х) г(х+ ) ) (х) дх.
а а с До к а з а тел ь ст в о. Если функция ! ннтегрируема на от. резках !а„с1 и 1с, д1, то ова ограничена на ка!кдом из этих отрезков, а значит, и на всемотрезке 1а, Ы, т. е, существует постоянная А > О, такая, что !!(х)! (А, а (х< Ь. Пусть т — некоторое разбиение отрезка (а, Ь]. Если точка с не входит в разбиение т, то обозначим через т' разбиение отрезка !а, Ы, получа!ощееся из т добавлением точки с; очевидно, т' «л~ т. (28.6) Если же точка с входит в оазбиение т, то положим т = т'. Э ЗК Свойства интегрируемых функций В первом случае обозначим через Л' и Л" длины двух отрезков разбиения т*, примыкающих к точке с с двух сторон. Очевидно, гго Л = Л'+Л" является длиной отрезка расбнения т, содержан[его точку с(рис. 86).
Верхние интегральныесуммы Дарбу 5., и Я, функции ! на отрезке (а, Ы отличаются только лишь слагаемыми, соответству]он[ими отрезкам разбиения т и т', которые содержат точку с. Ь ,т Рис. За Обозначая через М', М" и М верхи]ою грань функции !)! на рассматриваемых отрезках, длины которых обозначены соответственно Л', Л' и Л, получим (см. также (28.5)) О < 5 — Я; ~~ М' Л'-(- М" Л" + М Л < А (К + Л" + Л) = = 2А Л < 2А б и поэтому (28.7) ![ш(Я,— Я;) ==О.
ит-га Аналогично (28.8) [[ -а Игп(з — з ) =О. Во втором случае при т'== т просто и условия (28.7) н (28.8) также выполняются очевидным образом. Совокупность точек разбиения т', принадлежащих отрезку (а, й), образует разбиение этого отрезка, которое обозначим т'(а, с); совокупность же точек разбиения т', принадлежащих отрезку (й, Ы, образует разбиение этого отрезка, которое обозначим через т' (й, б!. Очевидно, 8т' =Вт'[а, с]+ Ст [с. ь]~ зт' =- зт'[а, с]+за'[с, ь] (28.9) поэтому От~ — зт'= Ртг[а,с] — зт [а. с]) + (Я;[с. ь] — зт [с, ь]) (28.10) 2д1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
