kudryavtsev1 (947411), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Продолжая этот процесс дальше, будем получать квадрнльяжи плоскости Тео т == 1, 2, ..., состоящие нз квадратов, полученных в результате разбиения плоскости всевозможными прямыми вида т У 1 О м 1 О ы р = О, ь 1, *2, ..., <) = О, ь 1, ~ 2, ..., и, следовательно, со стороналп) 1 длнны,оы . Квадраты, принадлежащие квадрнльяжу Т, будем назь<вать квадрапиши рангп пг, т == 1, 2 .... Пусть 6 — плоское открытое множество.
Обозначим через 5, =- 5„(6) совокупност<, точек всех квадратов нулевого ранга, лежащих вместе с границей в множестве 6, через 5, = 5,(6)— совокупность точек всех квадратов первого ранга, лежащих в 6 вместе с границей. В<юбще через 5ы =- 5„(6) обозначил> совокупность всех квадратов ранга т, лежащих вместе с границей в множестве 6, т = О, 1, .... Очевидно, что (рис. 90) 5,с:5,с:...с:5 ~...~6.
(31.1) Множества 5„, 5,,..., 5, ... представляют собой «многоуголь- ннкие, составленные из конечного или бесконечного числа квадра- 414 Э В!, Мера алоских открытых мнохтеств тов соответствующего ранга. В случае, если 5„состоит из конечного числа квадратов, обозначим площадь многоугольника 5 через пл. 5, если же 5те состоит из бесконечного числа квадратов, положим пл. 5 = + со.
Если какое-то 5, состоит из бесконечного числа квадратов, то и все следующие 5„„т-==спи, также состоят нз бесконечного числа квадратов. Из включений (31.1) в силу соглашения об использовании символа + оо (см. п. 1.2) следует, что всегда пл. 5е <пл. 5, « ... пл. 5 < .... (31.2) Возможны два случая. 1. Все пл.
5„конечны, тогда (3!.2) является монотонно возрастающей последовательностью, и поэтому она имеет либо конечный предел, либо стремится к +оо. Этот предел в эхом случае и называется плон(адью, или мерой, открыпюго множеспма 6 и обозначается тез 6«>.
2. Если же существует такой номер тп„что пл. 5„, = + оо, то пл. 5 = +оо для всех номеров тгс>та. В этом случае положим Для удобства будем считать по определению, что последовательность элементов а„, и — — 1, 2,..., таких, что начиная с некоторого номера, они все равны + оо, имеет своим пределом + оо, и будем писать Вт а„= + оо. Используя это соглашение, оба рассмотрен«-« ных выше случая можно объединить в один. Сформулируем окончательное определение.
Определение 1. Предел (пп пл, 5 (6) (конечный' или беасонечы ный) называегпся площадью, или мерой, открытого множества 6 и обозначается шез 6: гпез 6 =- 1нп пл. 5 (6). (31.3) Такое определение меры открытого множества естественно, так как последовательность множеств 5, гп = О, 1,..., исчерпываег открытое множество, т. е. « () 5 =-6, ы о иначе говоря, для любой точки Р ~ 6 существует такой многоугольник 5 „что Р~ 5,„,. «) От французского слова гнеанг — мера, размер.
8т'.с Монотонность леры открытых множеств 416 Действительно, какова бы ни была точка Р (- 6, в силу открытости иножества 6 существует сферическая окрестность 0(Р; в)с:6, в) О. Заметна тенер!э что диаметр квадрата ранга гп равен —, выберем пса так, чтобы !Он" тс2 (31.4) Для всякой точки плоскости существует по крайней мере один квадрат каждого ранга, содержащий эту точку. Пусть Я, — квадрат ранга п1„содержагний точку Р. В силу неравенства (31.4) У Г~ с:0(Р; и) и, значит, Я,~6, но н а Р ~ ~,„„поэтому Р Е 5„„(рнс.
91). Утверждение доказано. Из курса элементарной матема( тики известно, что в случае, если l открытое множество 5 является многоугольником, то его площадь, являющаяся по определению н площадью замкнутого многоугольника 5, совпадает с определенной нами мерой: пл. 5=- пл. 5=.спез5ь>. рнс. И 31.2. Монотонность меры открытых множеств Теорема 1. Если 6 и Г плоские открыисосе множе- ство и (31.5) (31.6) 6 с= Г, 1пез6 < п1езГ. а) См.
также п. 44.1 (квадрируемые множества). Если открытое множество 6 ограничено, то всегда тез 6 < +со. В самом деле, если 6 ограничено, то существует замкнутый квадрат Я, содержащий множество 6: 6': ч). н явля1ощийся объединением квадратов нулевого ранга, тогда 5 (6) с: 1~ прн любом нс = О, 1,..., и, значит, пл. 5ы(6)<пл. (~. Таким образом, последовательность (31.2) ограничена сверху, и, значит, предел (31.3) конечен.
Задача 16. Доказать, что мера открытого множества не зависит от выбора прямоугольной системы координат на плоскости. ВЬ Мера плотник открьпмк аноткеета ив До к а з а т е л ь с т в о. Обозначим, как и 5,„! Г) совокупности квадратов ранга гп, своей гранипей соответственно в множествах Тогда из условия (31.5) следует, что 5 (6) с:5 (Г)„ и выше, через 5„, (6) лежащих вместе со 6и Г,т= 1,2, .... откуда 6> = 6» ~ ... с: 6» ~ ...
и 6 = () 6„„ »=г тогда !нп гпез 6» = пгез 6. » в Заметим, что если при некотором й, имеет место тпез 6». = +о, то, согласно теореме 1„и для всех к > 7ге также щез 6 = +о; в этом случае равенство (31.8) означает, что шез 6 = +оо (подобное соглашение оыло сделано перед равенством (3!.3!. Про>нас чем доказывать теорему, докажем несколько геометрических лемм.
Введем следугощее определение. Определение 2. 71оследовагггельносгпь квадрапюв (г,г ), )г.=-1, 2, ..., назыюется последовшпельнотпью вложенных каздратов, если ()1-заел " '->6»-э()»+г ~ ". Лемма 7. Для всякой последовательности валгкнгггпых влоогсеынцх квадратов (6»), д.шна ребер когггорых стремив>ел к нрею при 7т — оо, оугг(еспгаггеггг, и припиглг едигесггггмнная, точка плоскосгии, принадлео сагг(ая всем кводратилг рааздатриваемой сисе>ге»их. Док азат ел ьст во. Пусть квадраты 6» — — ((х, у): а» .--.
к < а„)- д,, 7>» < у ( (>»+ д») образукп носледователшюсть вложенных квадратов и пусть !!гп д» =О. пл. 5 (6) (пл.5„(Г). (31.7) В случае, когда оба множества 5 (6) и 5„,(Г) состоят из конечного числа квадратов, это следует из того, что площадь объемлющего лшогоугольника не превышает площади объемлемого, а в случае, когда хоть ошю из лгггожеств 5 (6) и 5„(Г) содержит бесконечно много квадратов, — нз соглашения об употреблении символа +со. Переходя к пределу в равенстве (31.7) при гп- оо, в силу (31.3) получим неравенство (31.6).
Теорема доказана. Теорема 2. Пусть 6 и 6>о й=-1, 2,, — >глас>сне опгкрыпгае мнол:еетваг я/.я Гяонпеонноы ь лепи оп~сытых мне>нег ев гоггга системы отрезков !а„, ах+с(„! и (Щ„Ьь+сЦ, й=1, 2, являются вложенными системами отрезков, длийы дь которых сгрев>ятся к нулю при й- оо. Г!оэтому существуют, гг притом единственные, числа 4 н т1, такие, что 5 ~ (а„, а,+дь), г) б !(>ь (»,+дь! >>=1,2, .... Отсюда следует, что Д, г!) ~ггь. >>=1, 2, ..., и что такая точка единственна. Лемма доказана. Определение 3. Пусп>ь Š— плоское множество. Система (ба) (31.9) пью открьипык плоских множеств (г! = (п1 — некоп>орал совокупность индекссч>) низыьастся открытым покрытием множества Е, если Ес () б„. исгг Иначе говоря, система (31.9) называется открытым покрьпием множества Е, если каждая точка этого множестна принадлежит хотя бы одному множеству б из системы Й.
Определение 4. Опгггрыпгое покрытие (31.9) л>но>песок>а Е, соапояигре из конечного чггсла открыл>ых множеспгв 6„, назьюаеогся «снечным открытым покрытием. Лемма 2 (Борель*>). Из всякого открылшго покрытия плоского ограниченного замкну>ного множесо>ва можно выделив>в конечное покрьвтге эпгого лгножеспгва. До к аз а тел ь ство. Пусть (31.9) образует открытое покрытие плоского ограниченного замкнутого множества Е.
Будем доказывать лемму от противного. Пусть из покрытия (31.9) нельзя выделить конечного покрытия множества Е. Поскольку лшожество Е ограничено, то существует замкнутый квадрат ~>, содержащггй множество Е. Разобьем квадрат (Е на четыре равных замкнутых квадрата (г>, г =- 1, 2, 3, 4. Система (31.9) образует открытое покрытие каждого из четырех множеств Е с С>н г' = 1, 2, 3, 4. Среди этих множеств существует такое непустое множество Е -С,, (г, = !, 2, 3, 4), что из покрытия (31.9) нельзя выделить коне>июе покрытие указанного множества (в противном случае пз системы (31.9) можно было бы выделить конечное покрыь» Ь Всрезь (!87> — 1956) — фраг>пузе>гиа иагеметнх. э ад Мера плоских открытмд джожесге тне и всего множества Е, что противоречило бы сделанному предполгокеншо).
Разобьем квадрат 6,, снова на четыре равных замкнутых квадрата Я;,о 1 = 1, 2, 3, 4 и т. д. В результате получим последовательность вложенных замкнутых квадратов В,-"з<Ъ,м-э" ~Ь,н лд~" (31.10) длины ребер которых стремятся к нулю при й-»-оо и каждый из которых обладает тем свойством, что из системы д) нельзя выделить конечное покрытие множества Е»фи, „,;„, й = 1, 2, ...
((д принимает одно из значений 1, 2, 3 илн 4). Согласно лемме 1, существует н притом единственная точка ($, д)), принадлежащая всем квадратам системы (31.10). Поскольку ребра квадратов этой системы стремятся к нулю и каждый нз квадратов этой системы имеет непустое пересечение с максе-гом Е, то в любой окрестности точки (г, д)) имедотся точки множества Е. Лействительно, обозначим через дд, й = 1, 2,..., длину ребра квадрата 6нн ... дд. Пусть е > 0; выберем А, так, чтобы дд, ~/2 (е.
(31.11) Это возможно в силу условия 1)п1 дд -- О. Теперь, если д.» (х, у) ~ ()', . . ~,, то ~/г($ — х)'+ (д) — у)' ( г(д„)/2 ( е. Поэтому точка (х, у) лежит в е-окрестности точки Д, т)) и, следова- тельно, весь квадрат (;1н м дд, в том числе и его точки, принад- лежащие множеству Е, содержатся в рассматриваемой е-окрестности точки (К, д)). Таким образом, точка ($, Ч) является точкой прикосно- вения множества Е. Но множество Е замкнуто, поэтому (5, 11) ~ Е. Поскольку система (31.9) является покрытием множества Е, то существует такой индекс ад г-()1, что (5, д)) ~ 6 Множество 6 открыто, поэтому найдется такой номер й„, что ед (31.12) Чтобы убедиться в этом, достаточно взять какую-либо е-окрест- ность точки Д, ц), содержащуюся в 6, и выбрать А„удовлетво- ряющее неравенству (31.11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
