kudryavtsev1 (947411), страница 72
Текст из файла (страница 72)
2 4а 2. Найти длину кривой х = асозв1, у= аз!п" 6 Эта кривая называется астроидой, н с ней мы встречались раньше (см. рис. 61). Астроида симметрична относительно начала координат. Ее части, лежащей в первой четверти, соответствует изменение параметра г' от 0 до †. Вычислил« длину 5 этой части(равной, очевидно, одной четвертой длины всей астроиды). Замечая, что х' = — За соз' ! ейп 1, у' = 3а ей по ! соз |, по формуле (32,14) (в которой следует положить г' = О) получим 2 2 5 = ) !«с9а' созе ! з!пе ! + 9ач з(п' ! созе ! «!! = — ) э|п 2!г(с = — ' За за о 2 о вычислим следующим образом: проинтегрируем его сначала по частялп затем к числителю дроби, получившейся под знаком интеграла, прибавим и вычтем единицу, произведем деление и проинтегрируем одну из получившихся дробей: 4ачхь ! ==) )I 1+4а'х'ь(х=х !/1+4а'х' — ( с(х= ,! )« 1 + 4ачхл ~'~«-« ** — )" г'~«-«ели «.1" = л.
) с1+ 4а'х' — л + — 1п ~ 2ах+ 1~1+ 4а'х' ~. 2а 8 82. Приложении определенного интеграла 3. Найти длину з дуги эллипса х =аз(п 1, у= Ьсоз1, 0 <1 < 2п, от верхнего конца малой полуоси до его точки, соответствующей значению параметра т~ [О, 2п[. Полагая )гг а' — Ьз а (в — эксцентриситет эллипса), имеем Ух' +у"=)Газсоз'(+Ьаз[п'1= — а у'1 — ваз(пв(, поэтому Ю =. а~ )Г 1 — е' 81 п' И(, 0 < а <" 1.
(32. 17) 32.4. Площадь поверхности вращения Пусть функция г определена и неотрицательна на отрезке [а, Ь). Возьмем какое-либо разбиение т = (хД,'., отрезка [а, Ь) и впишем в график функции 1 ломаную, соответствующую разбиению т, т. е. ломаную с вершинами (хо у,), где у,.=1(х,.), 1=0, 1,, А (рис.
105). Ее звено с вершинами (х~,, ут,) и (х,, у,.) при вращении около оси Ох описывает поверхность, вообще говоря, усеченного конуса, площадь которого равна п(у;, + у,) )г Лх + Луз, где Лу,. =у; — уг — ы ()х; = х — л:, а =О, 1,..., гг. Мы получили эллиптический интеграл второго рода, который, как известно (см. п. 26.6), не вычисляется в конечном виде, т.
е. формула (32.17) в данном случае является окончательным ответом. Приближенные значения длин дуг эллипса можно получить, либо непосредственно вычислив приближенно интеграл (32.17), либо воспользовавшись имеющимися таблицами значений эллиптических интегралов. У и р а и и е и и я. 2. Локазатгн что если плоская кривая задана в поляРных координатах иепрерывио диффереииируемым представлением г = г(ф), а < ф.я [), то для ее длины а имеет место формула з = [ [Г ге+ Гтт(ф.
(82.18) 3. Найти длину дуги логарифмической спирали г = иеаф от точки (фа, ге) до точки (ф, г). Зд4. Площадь аоверхиости вращении Поэтому для площади 1., поверхности, получающейся от вращения всей рассматриваемой лол!аной вокруг оси Ох, справедлива формула Е, = Х д(71, +УЛ~ЛХ,"+ Лу2.
! 1 называется площадью поверхности враи(ения образованной хс-! враи(ениел! графика функции / рис. лоан вокруг оси Ох. Пусть функция ! непрерывно дифференцируема на отрезке !а„Ь). Покажем, что в этом случае предел (32.19) всегда существует, ц найдем формулу для его вычисления. Положим 1, =я~~у!, 1~1+ ~ — !) Лх„ ! 1 тогда (22.29) 1 усть !'(х,)=- уэ 1= О, 1,..., Уг, и пусть !~"$ Суммы и и о являются сумл!амн Римана для функции у г' 1+ у', которая непрерывна, а значит, н интегрируема на отрезке !а, Ы; поэтому !!гп о,.
=. 1нп о = и ( ! )' 1+ у' с!х. /,е (32.2!) бт" о Ьт о и Определение 1. Предел Е = !!гп 1. (32. 19) 6т о ! ! е ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 436 6 22 Приложения аяределгннага антгграла Оценим теперь отклонение сумм о, и о соответственно от сумм Е и г., 11режде всего, по теореме Лагранжа имеем Лу,=~" ($г) Лхг, х; 1(5,(хр 1=1, 2, ..., )г. Далее обозначим через га(б) модуль непрерывности функции У 1+у'; в силу непрерывности этой функции 1пп га (6) = О. (32.22) 6-6 Имеем следуюшие опенки: ~1/ ~~ (,'— ",)' — г 1~г,',~= ==!У'1+1" (б,)- Р'1 Р('(~ )! < (6.), (,;„(ъ) г',„„; ( =! уг1+Р' (сг) — у 1+Г'(у,)1«<га(б ). Наконец, замечая, что функция / при сделанных предположе- ниях ограничена на отрезке (а, Ь) (почему?) и что поэтому сушсству- ет постоянная М > О, такая, что ~ ) (х) ~ < М, х (1а, Ь), получим )(.
— от) «(и У ! у, ~га(бт) Лх, ~ ! 1 <пМга(бт)„~ Лхг=пМ(Ь вЂ” п)<о(б ), г=1 ~Š— о ~ < п„~ )у, ~ га(6 )Лхг < иМ(Ь вЂ” а)га(б,). 1=1 Отсюда в силу (32.221 1пп (Е,— о ) =)пп (1,— о ) = О, бт- о бт-а и так как суммы о и о стремятся при б -~-О к пределу (32.21), то и суммы 6 и 6 стремятся при бт-нО к тому же пределу: !ипб .—.=Огп С,=л~у У1+у г)х. дт-о 6 о 824 Площадь ооввохыоата вращвыав Поэтому (см. (32.20)) предел (32.19) существует и ь !ппй = 2л ~ у У 1+ у' ь(х. ь -о Таким образом, для площади Е поверхности вращения, образованной вращением графика функции Г вокруг оси Ох, мы получили формулу ь 1.
= 2л ~ у Ф 1+ у' ь(х. а (32.23) Вспоминая, что (см. п. 16.4) Уг1+ у' т(х =. ыз„ можем переписать формулу (32.23) в виде ь ) =2л ~уь! . а х У = ! ги — х' и, значит, -~/ 1 .ь Г получим. согласно формуле (32.23), Г ь 3 =- 2л ~ у у 1+ у' ь(х = 2лг ~ ь(х =- 4льа. Предложенный вывод этой формулы имеет некоторый методический недостаток, так как в этом выводе по ходу дела уже исгользовалось понятие площади поверхности н ее аддитивность, правда, лишь в простейшем случае — для поверхностей усеченного конуса и их объединений. Можно ввести общее понятие площади поверхности, не используя понятие площади поверхности для каких-либо элементарных поверхностей, и получить ее необходимые свойства.
Эти вопросы будут рассмотрены в дальнейшем в п. 50.5. П р и м е р ы. !. Найдем площадь о сферы радиуса г. Указанная сфера может быть получена вращением графика функции у = у'г' — х' вокруг оси Ох. Замечая. что в этом случае а 82, Лриложенин онределенноео интеграла 2„Найдем площадь 5 поверхности, образованной вращением дуги цепной линии (см. рис. 104): у=пей — ', — Ь ~х <Ь.
а' По формуле (32.23) имеем ь 5=2па ~сй л 1/1+зйь л й а « а ь ь =2па ) сп' — йх=па ) ~1-1-сй — ~ Их= — ь — ь ль! = па ~2Ь+ а зй — ~ . 32.3. Работа силы Рие. (06 Пусть материальная точка М движется по непрерывно дифференцируемой кривой Г = (« = «(ь)), где з — переменная длина дуги, 0<а < 5. Пусть на рассматриваемую материальную точку, находящуюся в положении «(з) действует сила г(з), направленная по касательной к траектории в направлении движения.
ГЯ г(5;) Возьмем какое-либо разбие- Г(5(ы) ине т=. (з;),'=оо отРезка 10, 5). Ему соответствует разбиение траектории Г на части г(е,) ге„,) ге „. ) Г(5) Г.-=(«(з). '-~<а<ад, 1=1, 2,..., А. ГЮ Выберем произвольно по точке < (з,„з;1, 1 = 1, 2,..., (е (рис. 106). Величина Р(Цбзо йз; = з; — з; ы (=-1, 2, ...,й, называется зле«иен«парной работой силы г на участке Г, н принимается за приближенное значение работы, которую производит сила г", воздействующая на материальную точку„когда последняя проходит кривую Г, Сумма всех элементарных работ ',Рг($;)Глз; является интегральной суммой Римана функции (5(з). 82.6.
Висисление статических моиентое и центра тяжести кривой Определение 2. Предел, к которолту стрелштся сумлта ,~', Р(3,) Лэ, всех элементарных работ, когда мелкость разбиения т стрел ится к нулю, называется работой силы Г вдоль кривой Г. Таким образом, если обозначить зту работу буквой 1е', то в силу данного определения Ю'=11гп ~чг„г ($,)бэ, а -о; имеем 77=~ г(э)сЬ. о (32.24) Если положение точки на траектории ее движения опнсываетсн с помощью какого-либо другого параметра г (например, времени) и если величина пройденного пути э = э(1), а < 1 -.. Ь, является непрерывно дифференцируемой функцией, то из формулы (32.24) получим В' = ) г (э (Ф)1 в' (У) Ш.
и 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой Пусть 31 — материальная точка массы т с координатами х и у. Произведения л:у и тх называются ее моментами соответств:нно отногительно осей Ох и Оу. Пусть Г = (т(э), О-:.. э < 5) — спрямляемая кривая, где в— переменная длина дуги.
Будем считать, что кривая Г имеет массу и что масса ее дуги прямо пропорциональнадлинедуги; если Ьтп— масса дуги длиной Ьэ, то Ьт = рЬэ, где р — некоторая постоянная, называемая линейной плотностью кривой Г. Такие кривые в меЛти ханике называются однороднььть Поскольку р = †, то плотность Ле ' равна массе длины дуги кривой, приходящейся на единицу длины дуги.
Будем считать для простоты, что р =- 1, т. е. что масса части кривой длины йэ также равна Лэ, в частности, что масса всей кривой численно равна Я. Е Э2. Приложения определенного интегроло Пусть теперь т=-(в;)', "— какое-либо разбиение отрезка 10. 5), Лз=э,— э~ и $'=1, 2, ..., я. Разбиению т соответствует разбиение кривой Г на части Г,.=(г(э), гн 1 < э4э,).
Выберем по какой-либо точке $,.~(эг ь э,.) и положим х,=х($,-), у,= у($,.), 1 — --1, 2, ..., н. Величины у,бэ; при любом выборе указанных точек $~ называются элементарными статическими маме тами части Г, кривой Г относительно оси Ох. Очевидно, элементарный статический момент Г, численно равен моменту материальной точки массы Ьэ с ордииатой уь т. е. мы как бы заменяем данную непрерывную кривую Г А материальными точками. Определение 3. !)редел, к которому стремится сумма Х у~ба; (32.25) всех элементарных момента, когда мелкость разбиения т сгпремтпся к нулю, называется ллол~ентои М„кривой Г относительно оси Ох. Этот предел всегда существует, нбо по определению кривой функпия г = г(э), а значит, и координатные функпии х =- х(э), у = у(э) непрерывны на отрезке (О, 5ч); сумма же (32.25) является интегральной суммой Римана функции х(э) и потому при бт-н О стремится к интегралу )'у (э) йэ. о Таким образом, М„=) уаэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
