kudryavtsev1 (947411), страница 75
Текст из файла (страница 75)
В качестве функции сравнения здесь можно взять 1 гт (х) = —, а = 1. ! — х' 3. Интеграл ! ~ 1пхо(х (33.18) 1 1! гп х 1 = — — !!п1х =0 — о — ! Ф - +о — ах !х .-+о 1пп х )п х=!пп !Ох к-+О .-+О х поэтому, согласно теореме 3 (точнее„ее аналогу для отрицательных функций), интеграл (33.18) сходится (см. рис. 108). Во всех рассмотренных примерах мы определили, сходится интеграл или нет, не вычисляя самого интеграла в конечном виде, хотя это и можно было сделать. Выясним теперь сходимость интеграла, который заведомо не вычисляется в конечном виде. 4.
Для выяснения вопроса о сходимости интеграла ! Ф о (33. 19) поступим, как и в предыдуцтем случае; взяв за функцию сравнения функцию вида р(х)=, а)0, получим по правилу Лопиталя !пп — и 1!и! х(1 — х) (1 — х) ы — ! к ! — О 1пх к ! — О Отсюда следует, что выгодно взять а = 1, тогда 1 — х П!и — = — 1, к ! — О 1 и, значит, интеграл (33.19) расходится. В случае, если оказывается трудным сразу выбрать показатель о в функции сравнения (33.!4), то часто бываег полезно прибегнуть к общему методу выделения главной части функции 1 в окрестности точки Ь. Соответствуюц!ие примеры будут рассмотрены в пункте 34.3. сходится. Действительно, по правилу Лопнталя при любом о ) О, в частности при 0 < н < 1, 88ль Критерий Коми Абсолсотно скоби~кисея несобственные интегралы Азт = б(е) > О, чаи> если Ь вЂ” б(т»'(Ь и Ь вЂ” б<Ч" (Ь, !У 1(х)дх!( .
(33.21) Ч Доказательство. Положим тр(Ч)=~ [(х)дх, а <т»(Ь, рис !89 в тогда сходимосгь интеграла (33.20), т. е. существование предела (33.1) эквивалентно существованию предела !пп тр(т!). т»-в — а В силу же критерия Коши для существоваяия предела функции имеем: для того чтобы существовал предел !!пт ср(Ч», необходимо т»,а — а н достаточно, чтобы для любого е) О существовало такое б= = б(ь) > О, что если Ь вЂ” б < т»' < Ь и Ь вЂ” б < т»" < Ь, а-бт 8 О" 8 [ сг(Чл) — Ч (Ч') [ < е.
(33.22; Поскольку Ч" тг тг' тР(Ч ) — Ч3(Ч ) =) 1(х)с!х — 1 )(к) с(х=-) [(х) с[х, Р О Ч то (33.22) равносильно условию (33.21) (рнс, 109). Теорема доказана. 33,4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы на конечном промежутке Пусть функция / определена на полуннтервале [а, Ь) и интегрируема по Риману на любом отрезке [а, Ч), а < Ч( Ь. Отметим прежде всего необходимое и достаточное условие сходимости несобственного интеграла ) 1(х)дх, (33.20) носящее название критерия Коши. Теорема 4.
(Критерий Коши). Для пюго чтобы инпиграл (33.20) сходился, необкодиио и дастпсипочно, чтобы для любого е > 0 суи(ее»петя»ало такое б = р ЭЭ. Интегралы от неограниченных функций ввз он и просто сходитсяа>. До к аз а тел ь ство. Пусть фиксировано е> О. Если ь интеграл ! )(х] дх абсолютно сходится, то в силу критерия Коши а (см. теорему 6) для любого е > О сушествует такое 6 = 6(е) ) О, что ! ) ~)(х))дх!(е, (33.23) Ь вЂ” 6< Ч'(Ь, Ь вЂ” 6(Ч" <" Ь. Так как Гн*> ~<Щнч~ ! Ч Ч то в силу неравенства (33.23) для любых указанных т1' и Ч" ~! п." ~<.. Ч ь поэтому в силу критерия Коши (см. теорему 4) интеграл ! г (х) дх сходится.
Теорема доказана. а1 Подчеркнем, что здесь, как н раньше, мы рассматриваем только функмнв, интегрируемые по Рнмаву на любом отрезке (а, Ч), ЧЕ [а, Ь). ь Определение 2. Интеграл ) у(х) дх называется абсолютно а ь схсдягцимся, если сходится интеграл ) ))(х))дх. Из теоремы 4 непосредственно следует критерий абсолютной сходимости интеграла. Теорема 5. Для того чтобы июпеграл (33.20) абсолютно сходился, необходимо и доспиипочно, чтобы для любого е > О существовало такое 6 = 6(е) > О, что если Ь вЂ” 6<, Ч'<..Ь и Ь вЂ” 6<, ч" ~ Ь, то Чз йи.)! .! Чг ь Теорема 6. Если интеграл ) ((х)дх абсолютно сходится, то а 94д. Определение несобственных интегралов В дальнейшем (см.
п. 34.4) будут приведены примеры сходящихся, но неабсолютно сходящихся несобственных интегралов. С помощью установленных в п. 33.3 признаков сходнмости несобственных интегралов от неотрицательных функций можно устанавливать абсолютную сходнмость несобственных интегралов, а значит„и просто их сходимость в случае, если они абсолютно сходятся.
Например, интеграл о сходится, н притом абсолютно, ибо ! в!и— 1 х тс1: Г гх и интеграл ~ = сходится. .) 1'1 —. 5 34 несОБстВеннъ|е интеГРАлы С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 34.1. Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами Обобщим понятие интеграла на случай бесконечных промежутков.
Пусть функция / определена для всех х ) а и пусть она интегрируема на любом конечном отрезке (а, т11, Ч > а. Определение 1. Буделг говорить, нто срункЧия 1 интегрируежа в несобственном смысле, или, что тпо вге, что игапеграл ~ ~(х) дх (34.1) а сходится, если суи(ествует конечный предел а Ч 1пп ~ 1(х)дх. Рнс.
ПО Ч + а Этот предел, если он существует, и наэлвается несобсти яылс интггрсиолс (34.1). Такаю образом (рис. 110), + Ч ) 1(х)дх==1пп ~ Г(х) дх. и ч"1 и й Н. Нссобстссннме интегралы с бесконенвнли сределнли Существование несобственного интеграла (34.1) эквивалентно существованию несобственного интеграла ~ )(х)с(х с (34.2) при любом с) а. Действительно, т) с т) ~ 1 (х) дх = ~ 1(х) Их+ ) )' (х) с(х, ) )'(х) г(х —.— тпеэ 6.
В этом легко убелиться с помощью теоремса 2 п. 31.2, подоено тому как это было сделано в предыдущем параграфе для несабсин.нных шьтегралов от неограниченных функций (см. п. 33.1). У в р а гн н в н и с н Прявгсто привар $унииии А полояснтвльвой при х > 1 и нсограниченной в каждой оирсстностн +со„для ноторой интеграл + У 1(х)дх сховнтся. ! Аналогично определяется и несобственный интеграл ) 1(х) г(х для функции А определенной на полупрнмой х < а и интегрируе- мой по Риману на любом отрезке 1$, а1, именно 3 У(х)( = 1нп 1Р(х)дх. 6 — $ Если же для функции ) имегот смысл несобственные интегралы 1(х)г(х и 1 1(х)с)х, где а (д, а такжесобствепный илн не- поэтому интегралы (34.1) и (34.2) одновременно существуют или не существуют.
Если 1(х) > О для х ) а, то несобственный интеграл (34.1) численно равен площади неограниченной области ст = ((х, у): х ) а, О ( у ( 1(х)), т. е, 4а! 84.2 Фоамдлы интегрального исчисления собственный интеграл) 1(х) с(х, то несобственный интеграл ~ ) (х) ь(х а а определяется согласно формуле + а ь +га ~ 1(х) е(х = ~ ) (х) т)х+ ~ ~(х) дх+ ~ ) (х) дх.
(34.4) а У и р а ж н е н н е 2. а!оказать, что сутнествованне н значенне не«об+ ственного ннтеграла ) 1(х)ах в определении (34.4) не зависит от выбора точек аа а н Ь, удовлетворя«ядах сформулированным вын!е условиям. Вместо «интеграл существуета и, следовательно, конечен (соответственно не существует) часто говорят также, что интеграл сходится (соответственно расходится).
В дальнейшем для простоты мы в основном ограни шмся рассмотрением несобственных интегралов вида (34.1). Для ингегралов тип ! 134.3) и (34.4) соответствующие утверждения также оудут спраеетлнвы, и читатель легко сформулирует и докажет их самостоятелыю по мере собственной потребности. В качестве примера покажем, что + ,! ~сходится при а >1, (34.3) хи 1РасходитсЯ пРи а < 1. ! В самом деле, если а чь 1, то ч ь ~ — = 1нп ) — = — 11гп ~ —,— ) + со для а~ 1, ! — „для а) 1. Если же а=1, то + ь Ь- ах . !Лх — Ит ) — ==!1гп 1и Ь == + оо. ! -+- ~ ° .-+- 1 34.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов Подобно тому как это имело место для несобственных интегралов от неограниченных функций, на интегралы с бесконечными пределами переносятся формулы интегрального исчисления, э Зг. Несобственные интегралы с оесконеаныяи ареднтояа причем метод их доказательства аналогичен случаю интегралов от неограниченных функций.
Это делается особенно ясным, если заметить, что оба определении несобственных интегралов можно формально объединить в одно определение. Сделаем это. Определение 2. Пусть функция 1 определена на конечном или бесконечном пролтежутке [а, 6), а <. Ь ~ +со, и пусть функция 7 интегрируема на любом отрезке [а, т)], а <" т! ( Ь. Тогда несобственный интеграл ) 1(х) с[х определил~ по формуле !к ~г = г !а ы, <т<~. а4ч О и ьа Очевидно, что в случае конечного Ь и неограниченности функции 7 на промежутке [а, Ь) определение (34.6) превращается в определение (33.1), а в случае Ь = +со — в определение (34.!). Случай же, когда Ь конечно, а функция ! ограничена на [а, 6), не представляет принципиального интереса, ибо, как это уже отмечалось в п. 33.! (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
