kudryavtsev1 (947411), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Пусть, например, требуется выяснить: сходится абсолютно нли нет интеграл + (34.18) Поскольку + .'Ю 0х и интеграл ~ ьч ! дится и интеграл сходится, то, согласно теореме 2 и. 34.3, схо- ) ~ —,~дх, т. е. интеграл (34,18) абсолютно сходится. Из теоремы 4, согласно определеншо абсолютной сходимости интегралов, непосредственно получается следуюгций критерий абсолютной сходнмости интегралов. Теорема 5.
Для спого чтобы интеграл (34.16) абсолютно сходился, необходимо и дссьпаточно, чтобы для любого г ) О суи(есяьеогало такое число Ь =- Ь(е) > а, что если Ь' ~ Ь и Ь" ) Ь, то ь" ~~ ~1(х)1дх~с, г. ь" ь" ~ ~ ) (х) дх ~ < 1 ) Д (х) ~ дх ~ . В качестве примера рассмотрим интеграл (34.19) Теорема 6. Если интеграл (34.16) абстьпатно сходится, то он и просто сходится. Подобно аналопшному утвержденшо в и. 33 4 эта теорема непосредственно следует иа критерия Коши сходимости интегралов и неравенства ЗИ. Крите!ига Кои!и. Лотолготно сходни!иетя негоостеенные интегралы 47! Покажем, что это! интеграл сходи гся, ио пе абсолютно.
Прежде всего заметим, что поскольку !(ю — =- 1, к|п к -о то подыитегральиая функция, дкюпределеииая едииицей при х = О, будет иепрерывиа иа полупрямой к > 0 и, зиачиг, иитегрируема по Римаиу иа любом отрезке 10, 61, в частности, па отрезке (О, П. Поэтому вопрос о сходимости, соответственно абсолютиой сходпмости, ивтеграла (34.10) эквивалентен вопросу о сходимости, соответственно абсораотпой сходиьюсти, иитец!ала (34.20) Для исследоваипя его сходимостп проиитегрируем его по частям: к!як 1 — — т(х = — ~ — к((соз х) = к,) к ! ! сок к 1 !' ! '! сок У. + ') созхк(! — !=соз1 — ~ — 'г!х. к .) '(к)- .) кт ! В правой части мы получили иптеграл (34.18), который, как мы !паем, абсолютно, а зиачик, и просто сходится.
Гаким образом, оба получившихся вь!ражеиия в правой части име!от смысл, т. е. конечны, поэтому, во-первых, проделанное икте!рироваиие по частям законно, а во-вторых, левая часть также коиечиа, т е. интеграл (34.20) сходится. Заметим, что в результате иитегрироваиия по частям интеграла (34.20) мы заменили его суммой иекоторого конечного выражения и другого несобственного интеграла, у которого в знаменателе подыитегрального выражения стоит более высокая степеиь к, чем в (34.20), а в числителе ограпичеииая, как в (34.20) функция. (4 получившемся иптеграле подыитегральиая функция быстрее сэре!!ится к нулю, чем в исходном, точнее, ~ сок к1 ! 1сцп к1 =о!(- ) при х — нсо.
Поэтому его сходимость оказалось легче пепосредствеиио исследовать, чем сходпмость исходного интеграла: ои оказался даже ие просто сходящимся, а абсолютио сходящимся. З З4 Нееобегаенныа интегралы с Гнгнонечнмхса нредехама 1 51о х1 г(х ! (34.21) расходится. Действительно, из неравенства 1 — соя 2х ~япх ! > яп'х= 2 при любом а ~ 1 имеем а а а дх > —, ) — — —, ) ' их. (34.22) (я!их! ! "!!х ! "аоя2х -'2„) х. 2,) х ! ! ! Г я!х Интеграл ) — ' расходи юя и равен + ао. Интеграл же ! х дх сходится.
Чтобы в этом убедиться, проинтегрируем соя 2х х ! его по частям +О +ч + ч г(х= — ~ — г((з!п2х)= 2 х~ — ) з1п2хд( — „, )= ! ! ! + = — +) дх. я!и 2 1 я!я 2х 2 + чя соя 2х Сходнмость интеграла ~ — я(х непосредственно следует из ! 1- яьз 2х сходимости интеграла ~ —, я(х, что устанавливается анало! гично сходнмости интеграла (34.18). Г!ереходя теперь к пределу при а — н +со в неравенстве (34.22), получим, что правая, а следовательно, и левая часть этого неравенства стремится к +со и потому интеграл (34.21) расходится. Таким образом, интеграл (34.20), а зпачнЧ н интеграл (34.19) не сходятся абсолюпю. Метод исследования сходимосги несобственных интегралов, при котором исследование сходнмости данного интеграла сводится к исследованию сходимости другого интеграла, который в каком-то смысле «лучше сходится», чем данный, называется методол! длуч!пения сходимости.
Покажем теперь, что интеграл (34.20) не сходится абсолютно, т. е. что интеграл ггкя Критерий Каиса. Аосолотно атодяи~иеся несобственные интегралы 47З 1(х) д (х) с(х а (34.23) сходится. До к а з а тел ь ст во. Прежде всего заметим, тго в силу сделанных предположений функция Гу непрерывна, а значит, и интегрируема по Риману на любом отрезке !а, Ь1, а<Ь< +со, и потому имеет смысл говорить о несобственном интеграле (34.23). Интегрируя по частям на отрезке получим и и ~ 1 (х) у Гх) дх = ) у (х) дР (х) =- и и =д(х) Р(х) ~, — ~ Р(х)д'(х) дх. О (34.24) Исследуем поведение обоих слагаемых правой части при Ь-~-+оо. В силу ограниченности функции Р (см. условие 1 теоремы) М = зцр ! Р(х) ! < + оо, поэтому ! у(Ь) Р(Ь) ! < Му (Ь), и в силу условия 4 теоремы й у(Ь) Р(Ь) =О, +ы Далее, из монотонного убывания функции дследует, что ст'(х)я;О при хэО и поэтому ~ ! Р (х) Ьт' (х) ! дх < М ) ! ьт' (х, 1 дх = а а = — М ~у'(х) сГх .=- М !д(а) — д(Ь)) < Мр(а), а В заключение докажем один достаточный критерий сходимости ивтегралюв, называемый обычно признакол Дирихле.
Теорема 7 (признак Дирихле). Пустьс 1) функция 1 непрерывна и алеет ограниченную первообразнусо Рпри х а," 2) функция д непрерывно дифчлренцируела при х > а; 3) функция д лонотонно убываетп при х >а; 4) 1пп о (х) = О, т + тогда инспеграя й аа Несобственные инсеграли с аеснанечнисчи иредела.чи нбо из условий 3 и 4 теоремы следует, что д(х)> О, в часгносзп, что д(Ь)-,.О. Таким образом, инте!ралы ) (г (х)д'(х)(с(х а ограничены в совокупности при всех Ь)а, и поэтому интеграл г (х)п'(х)с(х е абсолютно, а значит, и просто сводится, т.
е. существует конечный предел ь Нт ) Р(х)д'(х)с(х. ""+ о Мы доказали, что в правой части равенства (34.24) оба слагаемых при Ь е +со имеют конечный предел, а значит, и предел левой части при Ь-э. + па конечен, а это и означает сходни!ость интеграла (34.23).
Теорема доказана. Применим признак Дирихле к исследовани!о сходимости интеграла + ,„с(х, сс ) О. (34.25) ! Функция с(х) = з(п х имеет ограниченную первообразную ! Р(х) = — соз х, а непрерывно дифференцируемая функция д(х) = — „ х прп а ) О монотонно убывает и стремится к нулю при х-е +оп. Все условия теоремы 7 выполнены, поэтому интеграл (34.25) сходится.
Следует, однако, иметь в внлу, что признак Дирихле дает только достаточные, а не необходимые условия сходнмостн интеграла; поэтому не всегда с помощью его можно решить вопрос о сходимости интеграла. Например, исследуем сходиыость интеграла +со 5!и хдх а )О. (34.26) к — к!и х ! Попьыасмся применить признак Дирихле, положив Г(х) = з!их ! и д(х) ==- .
Очевидно, что д(х)-чО при х-~+со. Найк — сни к' З4.4. Критерия Конти Абсолютно сходхсниеси неспбстеенные интегралы етз дем г!ронзводну!о и, следоеатег!ы!о, рлпеграл (34.л9) сходится г тех же значениях паране!ре а, что и пн!еграл расходятся прп а †! ам +спг к (х — е!п х) Отс1ода видно. что при а < 1 эта производная при х-т. ои бесконечное число раз юецяет знак и, следовательно, сама функция п(х) пе монотонно убывает. Таким образом, при а ( 1 признак Дирихле оказывается не применим для вь!яснеппя вопроса о сходимости интеграла (34.26).
В этом случае естественно попробовать прибегнуть снова к методу выделения главной части. Прихменяя формулу разложения бинома по формуле Тейлора (см. п. 13.3), получим при х-э. по — '"." 11+ — ""'+од= а г!пх Мпмк / 1 1 тпх 1 спггх / 1 — — + — "+ о~, /! — — + — — — + о~ — ), (34.2?) м м к Х х гХ Интегралы +ы + а с)х и ~ а с(х (34.28) ! 1 сходятся по признаку Дирихле прн всех а»0. Интеграл же ~ — а+ о( — )1дх (34.29) ! 1 1 сходится при 2а' >1, т. е. прп а) —, и расходится при а< —.
Действительно, о !( — = —, где е(х)- О при х-и со, причем / 1 м е(х) /1т из формулы (34.27) следует, что эта функция о ~ — /! непрерывх' на, и. следовательно, имеет смысл говорить об интеграле (34.29). Выберем А) 1 так, чтсбы при х >А имело место !е(х)~»- —, 1 тогда при х А р Ю. Нессбстаоннме ангегралм с бесхонечнмми пределалги Таким образом, при о >.— все интегралы (34.28) и (34.29) схо- дятся, а значит, в силу (34.27) сходится и интеграл (34.26).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
