kudryavtsev1 (947411), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Теорема 6. Пусть все члены рядо (35.1) неотрицательны". и„>0, п==1,2, (35.13) тогда для того чтобы ряд (35 1) сходилсл, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его части<сных сулсм была ограничена сверху, причем если в — сумма ряда, и зв, и = 1, 2, ..., — его частичные сумльы, то (35.14) зпр з„=з.
в -ь. 2.... До к а з а т ел ь с т в о. Если ряд (35.1) сходится, т, е. если последовательность его частичных сумм сходится, то эта последовательность, как всякая сходящаяся последовательность, ограничена (см. п. 3.2 и и. 23.1). Однако в общем случае условие ограниченности частичных сумм ряда, как показывает уже пример 2, разобранный в п. 35.1, не является достаточным для сходимости ряда.
Если же выполнено условие (35.13), то и+! вя+ь = ~ь ив=в„+и„+~ > з„, /с 1 т. е. последовательность частичных сумм (з„) в этом случае является монотонно возрастающей последовательностью. и потому она сходится тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. Кроме того, если 1бп з„=в, в и то з= зпр з„. ьь-ь в .. Теорема доказана.
Из теоремы б следует, что если ряд с членами (35.13) расходится, то последовательность его частичных сумм не ограничена сверху и в силу ее монотонности !пп в„=- + пп. ло.4 Критерии еходимости рядов е неотрв!ателвнилт |лена!в Поэтому для расходящихся рядов с неотрицательными членами, согласно сделанному в п. 35.! соглашению, пишут ~."! ив=+ оо. Доказапвая теорема по своей формулировке внешне напоминает соотяетствующие теоремы для несобственных интегралов (см.
и. 33.3 н 34.3). Между сходимостью рядов с неотрнпательными членами и несобственных интегралов от неотрицательных функций можно иногда установить н более непосредственную связь. Именно, если для данного ряда (35.1) с неотрицательными членами удается подобрать функцию !(х), определенную при х) ! и такую, что 1(п) = ити то при определенных условиях нз сходимости нли рас. ходимости интеграла г (х) е(х ! можно судить и о сходимости или р асходимости ряда (35.
!). Теорема 7 (иитегральный признак сходимости рядов). Если функция !(х), определенна при всех х > 1, неотрицателона и ноно!панно убывает, то ряд (35.15) сходится тогда и только тогда, когда сходил!ся интеграл )'(х) дх. (35.!6! рис. Пг Д о к а з а т е л ь с т в о. Если Й-< х=. А + 1, то тогда в силу монотонного убывания функция !(х) (рис. 112) !(й))~)(х))~!(я+1), й=1, 2, ..., и поэтому ~(й))~ ~ ~(х)дх >!(й+11, 1=1, 2, .„, 1 Суммируя эти неравенства от А = 1 до А = и, получим я я+ ! я !(и) ~~ ~ 1(х)е(х> „у, !(й+1), 4=! ! и.=! з зз.
числовые рвдь и, полагая з„= Ъ„) (А), >с=! получим з„) ) ) (х) г(х > з„+1 — ~(1), и = 1, 2, .... (35.17) 1 Если интеграл (35.16) сходится, то в силу теоремы 1 п. 34.3 при любом и = 1, 2, ... и+1 +с 7(х) г!х ( ~ 7(х) >(х. ! 1 Отсюда и из неравенства (35.17) следует. чго з„+, < ) (1)+ ~ ) (х) е(х, 1 т. е. последовательность частичных сумм ряда (35.15) ограничена сверху, а значит, согласно предыдущей теореме, этот ряд сходится.
Если теперь ряд (35.15) сходится и его сумма равна з, го, согласно той >ке теореме, з„<з для всех и = 1, 2, ..., и, значит, в силу не. равенства (351. !7) для всех и = 1, 2, ..., +1 ~ ((х) >(х (з. 1 Если теперь Е~~1, то, беря и так„чтобы и~ З, получим в силу неотрицательпости функции ) й Р! ~ 7 (х) г!х < ~ ) (х) с(х ~~ з. 1 1 Итак, совокупность всех интегралов )'1(х) г(х, $ > 1, ограничена ! сверху, а потому интеграл (35.16) сходится (см, теорему ! и. 34.3). Теорема доказана. Эта теорема часто существенно облегчает исследование сходи.
мости рядов, так как, если для данного ряда удается подобрать соответствующую функцию 7, а значит, свести вщ>рос об изучени> сходимосги ряда к изучению сходимости интеграла, то это дает воз можность применить развитый в предшествующей главе аппара> интегрального исчисления. 55А Критерии слоди.иосси рядов с веотрол!отельными ч»евалол 4вт Ь качестве примера рассмотрим ряд 1 ! 1 1+ — + — +..+ .+.. ха за -' „а (35.18) с и-и членом ив= —, п=1,2, 1 и В дашюм случае функция /(х), указанная в теореме, подбирается легко: ((х)= —, х, 1. 1 » И так как интеграл +О л сходится при а> 1 и расходится при и <1, то и ряд (35.18) сходится при а> 1 и расходится при и <1.
В случаем = 1 ряд (35.18) является гармоническим рядом, расходимость которого была установлена в предыдущем пункте. Получим теперь из теоремы 7 простое следствие, удойюе, однако, часто в приложениях. Если существует такое натуральное п„что функпия)(х) монотонно убывает при х.рп„то ряд''» 1(п) сходится тогда и только тогда, в -! О когда сходится интеграл ~Г(х)с(». Этот случай сводится к раси„ смотрепному в теореме 7 заменой переменного х = у + п„— 1. у 1 У в р вж н ение 1. Исследовать схоииность ряда ии и !вслв в И (35.19) и а„= 0(св)". (35.20) ! В чнстнослн, и < о„!оеъвснснне оаовнвчеюьч «0» си.
в и, 25.2!. Перейдем теперь к признакам сравнения для рядов, также по своей форме весьма напоминающих соответствулошис признаки сходимости для несобственных интегралов. Теорема 8 (признак сравнения). 11уопь и„>0, о„>0, п=1,2,..., з Зд, сСислоеие ряды Тогда, если ряд ~. о„ и=- ! сходипсся„то сходится и ряд (35,21) ~~'.с и„, (35.22) Обозначим через о„частичную сумму ряда (35.22). Тогда в силу неравенств (35.23) и (35.24) е и о„=- ~ч.'; ссе < с ~ ох=-сз„(сс)1, я=1, 2, ....
Й=-! л ! Согласно теореме 6, из ограниченности сверху частичных сумм ряда (35.22) следует его сходимость. Итак, если ряд (35,21) сходится, то ряд (35.22) также сходятся. Если ясе ряд (35.22) расходится, то и ряд (35.21) расходится, так как если бы он сходился, то по доказанному сходился бы и ряд (35.22), что противоречит условию. Теорема доказана. Следствие. Пусть о,+О, п =1, 2, ..., и 1пп —" = сс, с35.25) е + ол псогда: 1) сслс ряд (35.21) сходится сс О < А ( -1- оо, пю и ряд (35.22) также сходится; 2) если ряд (35.21) расходится и О< сс < + оо, то и ряд(35.22) спакже расходится. В частности, если ссе о» «'и„и о„зкеиеаленпсны, сл!. и, 23.2), спо ряды (35.21) и (35.22) схосссстся ит! расходяпсся одноареиенно. а если ряд (35.22) расходится, то расходится и ряд (35.21).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполнено условие (35.20), тогда существует такое с) О, что ссь ( соуп й = 1, 2, .... (35,23) Если теперь ряд (35.21) сходится, то, согласно теореме 6, последовательность (зе) его частичных сумм ограничена, т. е. существует такая постоянная М ) О, что — ~" ос (!И, и= 1, 2, ....
(35.24) е=! АХ Критерии сходииости рндов с неотрнцотеленых!и сменили 489 Из выполнения условия (35.25) для О< й< +со следует существование такого ле, что если н>ли, то — "<1+1, т. е. и„<(/г+1)о„, а это означает, что И„-.= О (Ол). Поэтому утверждение 1 следствия непосредственно вытекает из утверждения 1 теоремы. Из выполнения условия (35.25) для 0< й < +со следует, что для каждого й', такого, что О < й< й„существует номер ле = а, ()с), обладающий тем свойством, что если п >~ ие, то — ') /г', ол т. е.
! ол < — и л' а это означает, что Ол= 0(и„). Поэтому утверждение 2 следствия непосредственно вытекает из утверждении 2 теоремы, Примеры. 1. Пусть сапе на и:=— 2л Тогда 0<ил< —, н=-1,2, ..., и так как ряд у 1 лле 2л л=! сходится (см. и. 35.1). то сходится и ряд $!и но 2л 2.
Ряд у Лд Чшловы» ряды расходится иао ! ! — — = п=1,2, ! з- 1/я 21/я а ряд .й4 1/я ' про который мы уже знаем, при каких и оп сходится, то из теоре. мы 8 непосредств~нно следует справедливость следующей теоремы Теорема 9, Пусть и„)~0, »!=1,2, ... Тогда. если и„=-О!1 — ~ и с»~1, /!у то ряд Х и„ (35.26: сходится, если еее — =с)(и„) и ес <1, ! то ряд (35.26) расходится. Сл едст ни с. Пусть 1)п! аии„=-)1, тогда: 1) если а >1 и 0 <Уг< + сь, то ряд (35.26) сходится; 2) если а 1 и 0<..А < + со, то ряд (35.26) расхооио!ся.
В яастнотни, если ! и яы то ряд (35.26) сходится п)т и,.» 1 и расход ипся при а <1. как мы видели (см. исследование ряда (3'.18)), расходится. Эффек!явность использования критерия сраьчкния для исследования сходимости ряда зависит, конечно, от запаса «рядов сравнения», т, е. рядов, о которых мы уже знаем, сходятся опн илн рас.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
