kudryavtsev1 (947411), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Функция !(х)= =, 0(х ~1, неогра- 1 )г' х ничена и, следовательно, не интегрируема по Риману, как бы ее ни доопределять в точке х = О. Несобственный же ! лх интеграл ~ = существует: р' х о Лх . р Лх . е — ~! — = 1'пп ~ == 1пп 2 1' х ~ = 2. 'ггх й-++о,~ ~/х х +о о 2.
Пусть )(х)= —, Оа. х (1, тогда несобственный интеграл 1 х ' ! лх — не существует. Действительно, х о вх . рлх . !! — = 1пп ~ — =1пп !пх ~ = — 1пп 1п$=+оо. о +ог 33.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов иа конечном промежутке На несобственные интегралы легко переносятся многие свойства интеграла Римана (см. 5 28 и 5 30). Расслютрнм некото. рые из них, 1. Пусть функция / непрерывна на полуинтервале (а, Ь) и пусть г" — какая-либо первообрааная функции ! на !а, Ь), тогда ~Ц )д =Р(Ь вЂ” О) — Р(), (33.7) а где г" (Ь вЂ” 0)= !пп г (х).
*-~ь — о Равенство (33.7) понимается в тон! смысле, что либо обе части равенства одновременно имеют смысл и тогда онн равны, либо они одновременно не имени смысла. Действительно, согласно формуле Ньютона †Лейбни (см. и. 29,3), и ~ ! (х) дх = г (!)) — Г (а). а й ЗЗ. Интегралы пт непгрананеннык Функций Переходя в чтой формуле к пределу при т)- !г — О, получим формулу (33.7). Аналогично утвержденне имеет место и для несобственных интегралов вида (33.4).
ь 2. Если сугцесгивуют несобсгпвенные интегралы ~ У (х! йх и ~ с(х) йх, то суьг(встанет и несобственный интеграл ) !! (х)+д(х)1йх, а а причем ь Ь ь ~ !)'(х) + д (х)) йх = ~ ) (х) йх+ ~ и (х) йх. а И Действительно, например, для несобственных интегралов вида (33.!) имеем Ь г) ~ !) (х)+й(х)1 йх = 1!п1 ~!1(х) 4.й(х)1 йх ь-а „ Ч ч ь Ь 5 Р(х)йх+ ййп ~ д(х)йх= ):(х)йх-1- ) й(х) тх Ч- ь — ьа Ч-~ь — ь а а Подобным же образом доказываются н другие формулы для не- собственных интегралов типа (33.!), например, ь ь 1 Ц (х) йх = !г 1 !'(х) йх, а а ь ь ') иао=ио'), — „гойи, а а ь ) ! (х) йх = ~ ) ! гр (!) ! ер' (С) й( ит.п Конечно, аналогичные формулы справедлнвы н для несобствекь ных интегралов вида (33.4).
В дальнейшем для простоты изложения, как правнло, будем ограничиваться лишь рассмотрением несобственных интегралов вида (33.1). К тому же интеграл вида (33.4) всегда можно заменой переменного свести к интегралу вида (33.1). В качестве примера вычислим интеграл г („=- 1 (1п х)' йх. а 38.3 Нееобетненнне интегроли от неотрицательное 4гнкций Интегрируя по частям, получим 1 1 1 1„=- ) (!их)адх=х(1пх): ~„— и ) (1п х)' — 'дх=* о о 11=1, 2, ..., ибо !!тп х(1п х)" = О.
а +о Замечая, что (о= 1дх= 1, о получим („=- ( — 1)а 111 ЗЗ.З. Несобственные интегралы от неотрицательных функций на конечном промежутке г(х)дх, а(т!а Ь, а б ыли ограничены в совокупности, пи е. чтобы суи(ествовала постоянная М ~ О, такая, что 1 ! (х) дх ~ М (ЗЗ.З) а для всех т) ~[а, Ь), причем в этом случае -е 11и1а*=111аг*. аКЧ<ьа а Доказательство. Положим (ЗЗ.О) тр(т)) = )(х)1!х, а < т) к" Ь.
и Теорема 1. Пусть функция !' определена и неотридательна на полуинтервале (а, Ь). Для того чтпобы несобственный интеграл ') )1 (х) дх сходился, необходимо и достаточно, чоюбы и интеграл ы Е ЗЗ. Интагралн аг неаграниненннк функций Если ок т[к, т['с" Ь, то в силу неотрицательности функции ( ч' ) 1(х)г(х > О, ч поэтому а а ч а т. е. ~р является монотонно возрастающей функцией.
Поэтому предел !пп <р(ч) конечный или бесконечный всегда существует ч ь — о (см. п. 4.8); при этом этот предел конечен тогда и только тогда, когда функция гу ограничена сверху, т. е. когда выполняется условие (33.8~. Наконец (см. п. 4.8), ) 1(х) г(х= Игл гр(ь)) =зпр ср(Ч), а Ч ь — о акп<ь т. е. имеет место формула (33.9). Теорема доказана. Из теоремы 1 следует такие, что, для того чтобы несобствеиь ный интеграл [ 1(х) 0х расходился, необходимо и достаточно, чтобы а функция <1(т[) была не ограничена сверху, но тогда в силу ее монотонности 11ш гр (т[) = 1пп ~ 1(х) ь[х = + оо.
и ь — о ч ь ой ь Поэтому, если несобственный интегрзл ) [(х) ь[х от неотрнцаа тельной функции 1 расходится, то пишут ь ) ((х) г(х = + оо, (33.! О) а В дальнейшем в настоящем пункте мы будегл всегда предполагать, что 1) функции 1 и у определенм и неотрицательнм 1> О, д > О но [а, Ь); 2) интеерируемм по Роману на любом отрезке [а, Ь вЂ” з1, е) О, тгг. Нееооетеенние интегралы от неотрицательных функций ~(х)=0(д(х)), х — э Ь вЂ” Оа>, (33.11) тогда: ь 1) если интеграл ) д(х) дх сходится, то сходится и интеграл ь ) 1(х)дх; а 2) если интеграл ) 1(х)дх расходится, пю расходится и ин- а тпеграл ) ц (х) с(х.
а Доказательство. Пусть интеграл ) у(х)дх сходится. Из а условия (33.11) следует существование такого Че(- (о, Ь) и такого с..т0, что для всех х~!Чса Ь) выполняется неравенство 1(х) < сд(х) ь (см. и. 6.2). Из сходимости интеграла ) д(х) дх следует и сходи- а ь мость интеграла ) д(х)с)х.
В силу же необходимости условий Ча теоремы 1 для сходимости интеграла, существует такое число М~О, что для любого Ч~(Чса Ь) справедливо неравенство Ч 1у(х)с(х <М, Ча Отсюда и из неравенства (33.12) имеем ) (х) дх < с ~ и (х) дх < сМ. Ча Ча м В частности, если 1(х) < е(х). Нижесформулированные и доказанные теоремы называются обычно признаками сравнения сходимости несобственных ин егролов.
!еореыа 2. Пусть хвз Е 38. Интегралы ог неогганиненннк еруннчна Из этого неравенства, в силу достаточности условий теоремы ! для сходимости интеграла от неотрицательной функции, получаем, ь ь что интеграл ) 1(х)с(х, а следовательно, и интеграл ) )(х)с(х схоЧь п расходится. Теорема доказана, С л е д с т в и е. Пусть д (х) + О, а < х а, Ь, и 11гп — = й, 1(к) к ь — ь а(к) (33. 131 тогда: 1) если интеграл ь ) о(х)с(х сходится и О ~ Ф(+ оо, то и интеграл ) 1(х) с(х а также схЫится; 2) если интеграл ь 1 д(х)дх а расходится и Оа. )г(оо, то и интеграл ь ) "1(х)дх а также расходится.
В частности, если 1 — (( (сгь и. 8.3), то интегралы + ~ 1(х)с(х и ) р(х)Нх а а схсдягися или расходятся ос)ноеременно. дите я. Утверждение 1 теоремы доказано. Докажем второе. ь ь Если интеграл)1(х)дх расходится, то интеграл ~й (х)дх не может сходиться: если бы он сходился, то в силу уже доказанного сходился бы и интеграл) ) (х) с(х.
Таким образом, интеграл) д(х) с1х 88.8. нссовсгвенкые интегралы ьт несгрицагсльвнк гдуюа[ггй йзз Д о к а з а т е л ь с т в о. Из выполнения условия (33.13) для О < Ь < +гх следует, что существует такое 6 ) О, что если Ь вЂ” 6<х< Ь, — <1+1, т. е.
1(х)<(гг+1)п(х), а это означает, что 1(х) = О (р(х)), х-э. Ь вЂ” О. Поэтому утверждение 1 следствия непосредственно вытекает из утверждения 1 теоремы 2. Из выполнения условия (33.13) для О < гг < +со следует, что для любого А' ~ (О, А) существует такое 6 = 6(я') > О, что если Ь вЂ” 6<х<Ь, то — ) Ь', п(х)< —,/(х), а это и означает, что д(х)=0()(х)), х- Ь вЂ” О. Поэтому утверждение 2 следствия непосредственно вытекает из утверждения 2 теоремы 2. Функция а в теореме 2 и ее следствии, с помощью которой устаь навлнвается сходимость интеграла ) 1(х)дх, называется функгги- 1 а(х) =— гь — х) (33. 141 при различггых показателях а ) О.
Сходимость интегралов ) д(х) г(х для функций указанного вида проверяется непосредстьеппо: еи сравнения. Эффективность использования критерия сравнении для определения сходимости интеграла зависит, конечно, от запаса функций сравнения, о которых известно, сходится от них интеграл илн расходится, и которые тем самым можно пытаться использовать для исследования сходимости данного интеграла с помощью признака сравнения. В качестве простой функции сравнения часто бывает достаточно брать функции вида з 88. Интегралы ох неограниненных функций 454 при а+ 1 ь ь — е йх ~' йх (Ь вЂ” х)! — а ~ ь — е „= — И (Ь вЂ” х) е +о Р (Ь вЂ” х) е +о 1, (Ь о)', если О<'а<1, — И (в' — (Ь вЂ” а)' ) = е +О + оо, если а) 1; при а=1 ь ах . ( йх ~ ь-е =Игл ) = — Игп)п(Ь вЂ” ) ~ Ь вЂ” х 3 Ь вЂ” х и е +о Таким образом, ь /сходится при О<а<.'1, (ь .)а 1расходится при а~~!. е (33.15) Если в качестве функции сравнения у(х) взять функцию (33 14), то д (х) — =-(Ь вЂ” х) 1(х), г(х) а и теорема 2 и ее следствие перефразируются следуюпгим образом.
Теорема 3. Пусть ~(х))~О при а < х<'Ь. Тогда, если 1(х) =О( ), х-нь — О, а< 1, ) (Ь вЂ” х) ою интеграл ) 1(х) г(х и (33.16) сходится, если же =0(1(х)), х- Ь вЂ” О, а) 1, (Ь вЂ” х) то интеграл (33.!6) расходится. С л е д с т в и е. Пусть Игп (Ь вЂ” х)аг(х) =- ~г, -ь — о тогда: 1) если а < 1 и О < гг< +со, то интеграл (33.16) сходится; 2) если а )~ 1 и О < гг < +оо, то интеграл(33.16) расхоошися.
88.8. Нееойттвенныв интегралы от неотрицотельннх функций В частности, если 1 (х) — —, 1 (Ь вЂ” х) то интеграл (33.16) сходится при а < 1 и расходится при а ) 1. Аналогичные теоремы имеют, конечно, место и для несобственных интегралов вида (33.4)„а также в случае, когда функции / и д неположительны на рассматриваемом промежутке. 1 Отметим, что утверждения (33.15) для интеграла Г йк и' т. е. то, что ! р 1 ~сходится при О<" и<'"1, ка (расходится при а > 1, геометрически означает (рис. 108), что области 6„= ((х, у): О ( х < 1, О < у < — ~ х ) при О < п < 1 имеют конечную плопгадь, а при п > 1 — бесконечную.
Это непосредственно следует из геометрической интерпретации несобственного интеграла. П р и и е р ы. 1. Интеграл — (33.17) 'о сходится. В самом деле, беря в качестве функции сравнения р(х)= ~а= — ), имеем т х 1 Бгп )т 1 — х= — ==, Риа 188 поэтому, согласно следствию теоремы 3, интеграл (33.17) сходится. 2. Интеграл 1 .ОЗ 4 еа. Интегралы от неограникенных функций расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
