kudryavtsev1 (947411), страница 71
Текст из файла (страница 71)
липейньж трапеций, ограни'+ ченных частями графика а — а х функции 1, отрезками оси Ох и, быль может, отрезками, параллельными осн Оу (рис. 95). Как видно, одной из задач, естественным образом приводящих к понятию определенного интеграла, является задача вычисления площадей. Развитый аппарат интегрального исчисления дает общий н единый метод вычисления плошадей разнообразных плоских фигур. рис. 97 рис.
56 П р и м е р ы. 1. Найдем площадь 5 круга радиуса г. Поместим начало координат в центр указанного круга, тогда уравнение полуокружности, лежащей в верхней полуплоскости, имеет вид у = 3/ги — х' (рис. 9б). Поэтому площадь полукруга радиуса г вычисляется, согласно теореме 1, по формуле (32.1): Г Я и Р 1 — соя 21 иге 5 = ~ у' ги — хи с(х с рг ~ з(п' ЙИ ь- рг ~ сИ вЂ” —— 2 2 — г о о 82 Д Вычисление алощадед !ПРП НЫЧИСЛЕНИН НН1СГРааа СЛЕЛаиа ЧаМЕиа ПЕРЕМЕННОГО Хч ХСОЗ !), откуда искомая плошадь круга равна пгт. Подобным гке образом находится и площадь Ь;р сектора круга радиуса е, соответству1ощего углу ср. Считая для простоты, что 0 < ч < —, имеем !рис. 97) 2' сииЧ> — ха!И~р 1,оо~р В, = ~ к1и ~!ах+ ~ )гга — хас!х= ~ + 2 !о о сооя <р Ф „! т ~ 1 — соа 2! „т'сапрсоа ~у тнр газ!п 2~р тиар 2 2 2 4 2 а У и р а ж н е н и с !.
доказать с помо~пью определенного интеграла, но не используя иивариантность площади относительно систем координат, что площадь люоосо круга радиуса т равна пс". Рис. 98 Рис. 99 2. Найдем площадь 3, ограниченную осью Ох и одной аркой синусоиды (рнс. 98): н н 5 ~ з! п хг)х = — соз х ~ = 2. 1о 3. Найдем плошадь 3, ограниченную гиперболой у = —, осью 1 Ох, отрезком прямой х = ! и отрезком прямой, проходящей через точку оси Ох с абсниссой, равной х и параллельной осн ординат !рис.
Н9)1 гн! 1* 3= )' — =!п!! =!пх. — ! 1 42а 4 Зг Прилотгенин оореаеленного интеграла Найдем теперь формулу для площади сектора кривой, заданной представлением в полярных координатах: р = р(~р). Пусть р = р(!о) — неотрицательная, непрерывная на отрезке (о, !)) функция, 0< а<!)<2п. Пусть 6 — открытое множество, ограниченное кривой АВ, для которой р =- р(тр) является представлением в полярных координатах, и, быть может, отрезками ОА и ОВ лучей тр = о и тр = () (рис. !00): О = ((р, тр): о < тр < !), 0 < р < р(тр)). Пусть т=(!г!),'. о — некоторое разбиение отрезка (а, Я и пусть Л%=% — 'е! ! т! = ьп! р(т!!)„т!4! =.
зцр р(<р), Рис. 100 ю! ! ~ ю~ю! о! ! мю~ч гттт! т = [(р то) ' !р! < !)! н <р! О < р < ГЛ!) 6„=((р, р): р,, <ф<ф„б<р<М,). Впишем и опишем в множество 6 ступенчатые фигуры д, и О, составленные из круговых секторов д! и 6,, ! = (,2, ..., й: и и Чт= — () К,„бт= ()О,т. т=! г=! Обозначим через д, и 6 множества внутренних точек множеста д и 6 . Очевидно, д и 0 — открытые множества и т т' т т я сОсОт, поэтому, согласно определению площади, пл. и < тез 6 < пл. 0 .
(32. 8) Плошади круговых секторов л!,т и О!., равны соответственно -и! Лтр! и — Л(!Лерг; из элементарной математики известно, что и ! и прн сложении фигур их площади складываются (см. об этом также в п. 44. !), отсюда 2 пл.л =- — ~~т~Лтр„ г=! и пл.6 = — ~МггЛср!. !. г= 1 Из этих равенств видно, что пл. й' и пл. 6 являются соот- ветственно нижней и верхней суммами Йарбу для функции 82.2 Обвел тел вроаиноз 1 — р'(и) на о1резке (а, ()): 2 з =-. пл. и, 5т = пл. б, отк уда Р з < — ~ р'(го) г(ср < 5 . (32.
9) Вычитая это неравенство из неравенства (32.8), переписанного в ниде 5 > п1езб) з, получим з — 5 <п|ез6 — — ~ р'(ср) сйр<5,— з, а отсюда в пределе прн 6 — ьО имеем , р вез б — ( р' (~р) йр. 2 д Рис. /О! Это и есть искомая формула.
В качестве примера найдем площадь 5 фигуры, ограниченной кардлондой р == а(! + соз ~р) (см. и. (7,5), которая изображена на рнс. (О!. По формуле (32.8) получим 5 — — —" (! +сов ~р)' Игр = —" г(<р+ а' ( соырйр+ 2 2,! о о а (' 1+сох 2~2 3 2 ~ 2 2 32.2. Объем тел вращения В конце п. 3!.2 отмечалось, что понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади на плоскости. Выведем формулу для вычисления объемов тел вращения.
Пусть функция г" непрерывна и неотряцательна на отрезке !а, Ы. Сохраним обозначения, введенные в теореме ! п. 32.! и ее доказательстве. Пусть Я вЂ” тело, образованное вращением криводинейной трапеции б вокруг оси Ох. Покажем, что о гпеь я = и )р Г' (х) дх. (32.(О) Э Хг. Прилоехенил оиределенного интеграла Г1усть т — какое-либо разбиение отрезка [а, 6!.
Обозначим через !)т и О, тела вращения, образованные вращением «ступенчатых фигуре д,, н бт вокруг осн Ох. Из включения (32.3) следует, что !)т с Я с()т, шез !) < !вез О < !вез О . а потому и (32. 11) Эбьеыы „, и ьт множеств д и О равны суммам объемов цилиндров, обрааованных вращением прямоугольников дт ! и О, (рис.
102); о =гнев!) = '~'рт,'.б!хр !=! 1~ =и!езЯ = ~лМ!Лх!. ! 1 Из этих равенств видно, что о, и $' являются нижними и верхними суммами Дарбу функции лре(х), поэтому ь ст < л ~ ~' (х) г(х < К„(32. 12) а н так как функция Ге ин- тегрируема, то 1!и! !$' — и ! =-О. (32,13) бт-о Из неравенств (32.1!) и (32.12) следует, что Рис. !ОХ ь и,— Гтт < л ~Ге(х)г(х — гпезЯ~(Ут — от, а откуда в силу (32.13) и вытекает формула (32.10), Г) р и меры. 1. Найдем обьем й шара радиуса г. Рассматривая этот шар как результат вращения полуокруж- ности у= !Iтта — х', — г <х <г вокруг оси Ох (см.
рнс. 96), по формуле (32,10) получим иле !т л 4 )г = л ) (г' — х') г!х =- лггх ! — — = 2лге — — лг' = — лте. (, з 1, з з — т а2.3. Ныаиаленае длины краапй 2. Найдем объелт Г прямого кругового конуса с высотой, равной Ь, и радиусом основания г. Рассматривая указанный конус как тело, полученное вращением треугольника с вершинами в точках (0,0), (6, О) и (6, г) вокруг оси Ох (рис. 103), получим, согласно формуле (32.10), а а Раа. 108 Риа т04 3. Найдем объем Г тела вращения, полученного вращением вокруг оси Ох графика функции у == а сЬ вЂ”, — Ь < х ~,. Ь. Этот график называется ттапной линией (рис. 104). По формуле (32.10) получаем а Ь Ь' =..
па' ~ сйа — т1х — — — ~ (1+ с)т — ) дх Г аа~х аа' 2х та ааз 2Ь + з)1 ' плат, + 2 4 2 а Из рассмотренных в этоьт параграфе примеров уже отчетливо видна сила и общность методов интегрального исчисления: единым методом быстро и просто получаются формулы для площадей и объемов, как известные ранее из курса злементарной математики, так и совершенно новые. В ближайших пунктах мы рассмотрим еще ряд задач, также легко решаемых методами интегральною исчисления. 32.3.
Вычисление длины кривой Мы рассмотрели ряд задач, приводящих к понятию определенного интеграла. Все они имеют то общее, что в них определение значения какой-то величины приводилось к определению й З2. Приложения оореоелениоео ангеероло предела некоторой интегральной суммы прн стремлении мелкости разбиения к нулю, т. е. к определенному интег ралу.
Существует, однако, другой круг задач, также приводящих к понятию определенного интеграла. Именно, если известна скорость одной величины относительно другой и требуется найти первую величину или, говоря точнее, если дана производная, а требуется найти саму функцию, то зта задача также решается с помощью определенного интеграла„так как такой первообразной является например, определенный интеграл с переменшям верхним пределом. В качестве примера подобной задачи рассмотрим вычисление длины дуги криной.
Пусть кривая Г задана параметрическим век|орным представлением г = г (1), а < 1 < Ь и пусть функция г(1) непрерывно дифференцнруема на отрезке!а, Ь). Тогда, как мы знаем, кривая Г спрямляема и переменная длина дуги з(1). отсчитываемая от начала г(а) кривой Г, является также непрерывно дифференцирусмой функцией параметра с на отрезке [а, Ь), причем (см. п. )б.3) Поэтому в силу формулы Ньютона — Лейбница (замечая, что з(а) = О) для длины Ъ = з(Ь) кривой Г получим 5=з(Ь) — з(а,= 1 — ие11. Ш О Таким образом, Если г(1) =(х(1), у(1), з(1)), то и Я= ') х" (1)+у'(1)+г'~(1 е(1.
(32 14) я В случае, если кривая Г является графиком непрерывно лифферснцнруемой функции у = 1(х), и ~~ х < Ь, то формула (32.! 4) принимает вид 3 =-. ~ у 1+ (' (х) е(х. (32. 1б) МЯ. Вычисление длины кривой П р н м е р ы. !. Найти длину 5 дуги параболы у = шР, О <х<Ь Замечая, что у' = 2ах, согласно формуле (32.16), имеем ь е - ! кт е « ' л . и (32. 16) Неопределенный ннтеграл г'=) )с1+4ачхел(х Из получившегося отвосительно 1 уравнения найдем его значение: 7 = — х)/1 + 4ачхе+ — 1п ~ 2ах+ )/ 1+ 4а'хч !+ С. 2 4а Теперь легко получаем величину интеграла (32.16): 5 = — Ь )с1+ 4аеЬе+ — 1п ~ 2аЬ+ )/1-)-4аеЬ41.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
