kudryavtsev1 (947411), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Свойства определенного антввппва и так как функция / по предполои;ению пнтегрируема на отрезках[а,с[и[с, Ы,то пп (5 °,, — а,, ) =-О, !ип (5..!. — а;, )=О. Замечая, что б ° „1<бто бт.. <б,, отсюда и из (28.10) имеем Ит (Ят — а,.)= !пп (Я..!., — втТ.. )+ Иш (Я., ы ь — ас.ы ь!)=О. Зт зт (~т ~ с') + (~ с' зт') + (зт' вт) Теперь нз (28.7), (28.8) и (28.11) имеем !пп (Я вЂ” з )=О, а -о (28. 12) и так как т было произвольное разбиение отрезка [а, б[, то из ограниченности функции / на отрезке [а, Ь! н вьшолценпн условия (28.12) следует ее интегрируемость на этом отрезке.
Из ннтегрируемости функции / на отрезках [а, с[, [с, Ь! и [а, б[ следует (см. п. 27.4), что ь ь Игп Б °,, =) /(х)т/х, Игп Зт. ь, = ~/(х)ух, ъ та,о т ~Ь. с~ Иш 5 ° =-) /(х)с[х. ат -о Поэтому, переходя к пределу прн б -ь О в первом равенстве (28.9), мы и получим формулу (28.4).
4. Еойи функции / и у иньчегрируемьт на свлрваке [а, Ы, лю их сумма /+ у иткже интпегрируема на витом Отпргзке и ь ь ) [/(х)+д(х)! т[х= ) /(х) Их+ ) я (х)с/х. (28.13) (28.11) Мы видели выше, что выполнение подобного условия для любых разбиений т влечет за собой интегрнруемость функции. Здесь же рассматриваемые разбиения т' нметот специальный вид: они обязательно содержат точку с.
Для того чтобы перейти к произвольному разбиению т, представим разность Ьт — а в виде З Ж Свойства иигегрируеиых фуиияий Доказательство. В самом деле, каково бы ии было разбиение т = (х,),.';", отрезка [а, Ь[ и точки $г 1- [хг м х,[, [=1, 2...,, [г, имеем аЯ+8)= Д [[(5г)+у(5,)[Лх,= = ~ ~ Щ Лх, + ~.", у(5г) Лх, = ат Я+ а (д). (28.14) г=| Поскольку в силу интегрнруемости функций 1 и и существуют пределы интегральных сумм о (1) и а,(д) прн бт - О, то из (28.14) следует, что существует и предел (почему?) (28.15) Исп а,() +у) = Исп а ([)+ Ип1 а (д), о 6 -о о -о что и означает иитегрируемость функции г+ о на отрезке [а, 5[.
Согласно же определению интеграла, [пп аЯ+ д) =) [[(х)+д(х)[г[х, от о и Игп а.())=) )(х)с[х, От-о и Игп а, (у) = ~ д (х) дх. а -о и Подставляя эти выражения в формулу (28.15), получим (28.13). 5. Пусть функция [ антегрируема на отрезке [а, о[ и с — постоянная, лшгда функция с/ такзсе интегрируема на илом отрезке и ) с[ (х) дх = с ) 1(х) дх, Доказательство. Каковы бы ии были разбиения т ==(х,[', ~,' отрезка [а, 5[ н точки Ц ~ [х; и х,[, г'= 1, 2,..., А„ имеем а (с))=-,~ с)($ДЛх,=с ~~ )'(Ц)Лхг =со (О, 28.И Свойства оареаеленного интеграла Для точек х'([х! ь, х,1 н хе~[х! ь х,! нз (28.16) и (28.17) следует, что [~(хл)д(х") — 7(х ) и(х') ! < Лсв! ф+Мвь(у), (28.18) где вг([) я в,.(у)суть колебания функций 1 и у на отрезках [х! ь, х,[, !'=1, 2, ..., й.
Из неравенства (28.18) для колебании в,. ()д) произведения 7у на отрезке [х! ь, х,! имеем оценку ь(1лт) <й в (1)+Мв (ь). (28. 19) Отсюда Б, Уу) — з,(гу) =- Х в; Уа) Лх! < ! 1 < Л! ~~'., в,(7) Лх,.+М ~~ вь(ц)Лхг=- ! ! ь=! =Лс[я я — в (1)[+М[8 (д) — з (о)!. (28.20) В силу ннтегрируеьюстн функций 7 и (т Нш 1БЯ) — зтЯ! =- йт [К,(д) — зт(д)! =-О. йт о от"о отсюда, проводя рассуждения по той ясе схеме, как н при доказательсьве предыдущего свойства, получаем ь ь ) с 7 (х) дх =.-! пп от (с /) = 1цп с от Я = с! пп от(7) = с ~ г' (х) с[х.
ь от-о от-ы от о б. Пусть !ручке[пи [(х) и д(х) интегрируелгы на оп!резке [а, Ы, тогда и их произведение [(х)и(х) игакже интеерируелю на зтоль отрез!се. До к а з а т ел ь от в о. В силу интегрируемостн функций 7 и ц на отрезке [и, Ы они ограничены на этом отрезке, т. е. существуют постояннь!е М ) О и Ль ) О, такие, что ! ! (х) ! < М ! 8(х) ! < Л! (28.16) для всех х~ [а, б!.
Пусть т=(х!),'=» — какое-либо разбиение отрезка [а, о!. Оценим теперь выражение [(х")д(х") — 7(х')д(х'); для этого добавим н вычтем из него [(х')д(х"), тогда 1(хе) у(х") — 1(х') гт(х') = =[~(х") — ~(х)[д(х")+[у(х") — д(х')[7(х). (28.17) 4 ГК Свойства антеграядених Фуякаай 1!оэтому из оценки (28.20) следует 1пп [5 ([у) — вт(гу)1 =О, б о ) 7(х)с[х > О. (28.21) Доказательство.
В самом деле, каковы бы ни были разбиение т == [х,)с ' отрезка [а, б[ и точки $, ~ [х; ы л,-), с' 1, 2,..., й, для функции 1 > О имеем о (1) = Д ) (5,) Лх, ~ О. (28.22) Если функция 1 интегрируема на отрезке [а, Ы, то, переходя к пределу в неравенстве (28.22), мы и получим неравенство (28.21). С л е д с т в и е. Если функиии г и д иьипегрируемы на отрезке [а,й и [(к) > у (х) (28,23) для всех [а, б), то ь ь ~ 1 (х) дх ль ') У (х) дх.
(28.24) а а Если интегрируемые функции [ и д удовлетворяктг неравенству (28.23), то 1(х) — д(х) >О, к~[а, б), поэтому, замечая, что функция / — у интегрпруема, в силу неравенства (28.21) имеем ь ~ [~ (х) — д (х)1 с[х ~~ О. а Но (см. выше свойства 4 и 5) ) [1 (х) — к (х)1 с(х = ) [ (х ) суе — $ у (х) с[х, что и влечет за собой интегрпруемость произведения ~у на отрезке [а, 8[. 7. Если функчия [ неотриуаятелона и интегрируема на отрезке [а, о), то 28.1 Свояптвп опяеге»енного ггнтееяпла и, значит, ~ ) (х) т)х — ~ д (х) ь(х ",- О. а а ь 8.
На«нь было введено понятие опредеченного интеграла ~ 7(х~«ь« от функции 7 по отрезку (а, Ы, где, согласно принятым обозначениям, а < Ь. Для любой функции 7 положим по определению а ) 7 (х) «(х = О, а (28.25) а для функции 7, инпгегрируемой на отрезке )а, Ы, а ь )(х) дх= — ) >(х)«(х, а(Ь. (28.26) а Зти определения в известной мере естественны. В первом спучае можно себе интуитивно представлять, что все отрезки «разбиения отрезка (а, Ы» являются точками, а их длины Лх, равны ну.яю. Поэтому все «интегральные суммы» ~>' Яг)Лхь — в этом случае также г-~ нули, а значит и «интеграл» вЂ” также поль. Во втором случае можно себе представить, что длины отрезков (х, г, х,) разбиения т —.
(хг),'.=и отрезка (а, Ь) «измеряются в отрицательном направпенин» оси Ох, и поэтому все их длины отрицатеяьны. Отсюда все «интегральные суммы» интеграла а 7(х)«(х отличаются знаком от соответствующих интегральных ! ь ь ~ ~(х)Их ~(~1)(х)1«(х, а "Ь. е а (28.27) сумм интеграла ) )(х)с(, что и делает естественной формулу (28.
26). Этим интуитивным соображениям можно, конечно, придать и строгую логическую форму, введя соответствующие математические определения, однако гораздо проще и короче ввести равенства (28.25) и (28.26) просто по определению. 9. Если функция 7 интегрируема на отрезке [а, Ы, то и финкция 1Д также интегрируе.ча на этом отрезке и й 2Б Свойства иитегаиууеиьтг фуикяий ззв Действительно, во-первых, нз ограниченности функции [, очевидно, следует и ограниченность функции [ [~, а во-вторых, для любых двух точек 5~[и, Ы и 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
