kudryavtsev1 (947411), страница 68
Текст из файла (страница 68)
« к « « 406 й»У, 0«ределенннд интеграл о «ер«ленным оорхнлллл «роде»«м Из этой оценки слелует, чго Иш Лг = О для ллобого х~ (а, Й, Ьк-о а это означает непрерывность функции Р в кажлой точке х(-(а, 9). 29.2. Дифферепцируемость интеграла по верхнему пределу. Существование первообразной у непрерывной функции Доказательство. Покамсем, что )пп — = ! (х,), лр ак о + ( ) р( о),+лсх~ )а, б), Для этого оценим ллр модуль разности — — 1(хо): Лх к +а» гс!) е! — ! (хо) йк к. а» 7 »*+а» й!) лг! — ) ! <к,) лс! +а» у(!) у(хо)) дг, (29.З) ».-га» ~ (г(!) )(,))д! <— — а.
3 ' / )"( к, Пусп» теперь задано е~ О. В силу непрерывности функции Г а точке хо сушестнует такое б= б(а), что если ~х — хо) ( б и ~(а, Ь), )У(х) — ! (хо)$ (е. (29.4) Выбирая теперь Лх так что ~Лх)(б, из неравенств (29.3) и (29.4) получим «,+Ь» ф — и .)~< —,'„ »» ьр гт это н означает, что Игп — — — г(хо). о о ах Теорема 2. Если 4ункл(ил ~ интегрируема нп отрез- ке (а, Ь) и непрерывна в точке хо~ !а, (!), тогда 4ункцин г(х)=~ ((Г)лт! .ги44еренчируелга в точке х, и дР (хо) ех 22.2 Ли4гуеренггнруехгоеть ннтегрохо по верхнему пределу Теорема доказана.
Теперь мы можем решить вопрос о сущестновании первообразной функции для непрерывной функции. Теорема 3. Если функйия Г неггрермвна ни огпрезхе (и, Ь), то ни этом отрезке у 4ункг(гги г" вуги(ествует первообризнал. Действительно, согласно теореме 2, такой первообразной является, например, функция р(х) = ~ Г(И) ггг', п < х < Ь. Таким образом, операция интегрирования с переменным верхним пределом, примененная к непрерывной функции, приводит к перво- образной функции, т. е. является операцией, обратной для операции дифференцирования: ) ) (2) ггг == ) (х), и < х < Ь. ггх (29.5) причем из тождества ! х ь ~ ) (2) й = ~ ~ (У) г(( + ~ ) (у) с(г имеем 0 (х) =- ) Г (г) М вЂ” Е (х). и (29.6) Доказанные теоремы показывают, что операция интегрирования с переменным верхним пределом приводит «к улучшению» свойств функции: из интегрируемой функции получается непрерывная функция, а из непрерывной функции получается дифференцируемая.
Заметим, что операция дифференцирования в определеггггом смысле «ухудшает» свойства функции: например„производная непрерывной функции, если она существует, может бьгть уже разрывной функцией. Из формулы дифференцирования по верхнему пределу (29.2) можно легко получить н формулу дифференцирования по ни>кггеыу пределу. Пусть функция г интегрируема на отрезке!и, Ы, тогда на этом отрезке определена и функция б(х)=) Г(~)гй, а <х < Ь, т 40 В В т9 Сгпределенний ннтеерол е перевеннлгп перхнггя пределолг Если функция ! в точке х~ (а, Ь! непрерывна, пч как было до.
казана, функпия г в этой точке диффереппируема. Из формулы (29.6) следует, что в этом слу гас функпия 6(х) в сачке х также дифференпнруема н Иб(х) гге" гх) ггх Ех Таким образом, 29.3. Формула Ньютона — Дейбнипа Теорема 4. (основная теорема интегрального исчисления). Пусть функция г непрерывка на отревгге !а, Ь! и пуслгь функция Ф является какай-либо ее первообралкой ка атон отрез.
кег тоеда ь е!)(х)Их .Ф(Ь) — Ф(а). (29.7) Зта формула называется форлгулогг Ньюпшна — Лейбница. Доказательство. Положим к Р(х)= ~ )(() йй л Поскольку г и Ф вЂ” дае первообразные одной и той же функпии г, то г (х) Ф(х)+ С, а < х < Ь, т.
е. ~ ~ (Г) гИ = Ф (х) + С, а ( х «~ Ь. л При х=а отсюда следует, по С= — Ф а). Таким ооразом, ! !'(г) йг =Ф (х',— Ф(а). и Полагая здесь х = Ь, получиьг формулу (2Ь.У). Теорема доказана. 499 80.Е Замена аеременнаеа л(ля краткости записи часто употребляется обозначение Ф(х) („= Ф(Ь) — Ф (а), илн (Ф(х)!" = Ф(и — Ф(а).
! П р н м е р ы. ! Найти ~ хес(х. о Известно что хедх = — -(- С, хе 3 поэтому ! ) хес(х= — ~ 2. Найти ~ з|п хдх. а Имеем и 901хдх= — созх !"= — созп+соз0=2. о а ф 39 МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 30.1. Замена переменного е ~ Их)е( =- ~ У! 9(!)! гр'(()д! (30.1) или, ипо пго лсе, в !')(х)дх== !)РР(!)(дЧ (!). (30.2! Теорема 1. !!уепгь ! ) гйункцип )(х) непрервгвна на сеирезке (а, Ь), 2) функция гр(!) определена и непрерывна вмеспи со своей произ- водной ~ч'(!) на олиречке !а, 0), причем а =- <р(а) < гр(!) < щ) = Ь, а:.г ..(5, счогда 410 д ХО Методн нмчиеленил определенного интеграла р ~~[я (()[Ч'(1)о[1=-Ф[р([))[ — Ф[Ч (о)[=Ф(Ь) — Ф(о).
и Из этих равенств и следует формула (30.1). Теорема доказана. Пример. Пусть требуется вычислить интеграл аи ~ ~/ех [дх о +у'), е(х= —. и, 2уду 1+у" 1, поэтому Положим у= )ге' — 1, тогда х= 1п(1 кроме того, если О < х < 1и 2, то 0 < у < !оа ! 1 ~ [/е' — 1 дх =-2~У У =2~ ~1 — — ) йу= о = 2[у — его[а у[„' = — „, Эта формула называется форлейлой замены пере1ненноао и определенногн ынтпеграле.
Формула(30.2) показывает, что с символом е(х под знаком определенного интеграла в случае, когда х является функцией х(1), можно формально обращаться, как с дифференциалоы, т. е. писать е[х = = х'(1)о(, Ь Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что по условию функ- (1) цпя [ определена на области значе- 1 ний функции тр (рис. 39), поэтому имеет смысл сложная функция 1"[тр(1)). В силу сделанных предположений подынтегральные функции в обеих частях формулы (30.1) непрерывны,' и д ь поэтому оба интеграла в этой форРио.
69 муле существуют. Пусть Ф(х) — какая-либо перво- образная на отрезке [о, Ь[ для функции[, тогда имеет смысл сложная функция ФК(1)[, которая является первообразной для функции [[ту(1)[тр'(1). По формуле Ньютона — Лейбница (см. п. 29.3) '[ 1(х) е[х ==- Ф (Ь) — Ф (а), Зв.в Интегрирование но нас?я?? 30.2. Инлегрироваиие по частим Теорема 2.
Если фу?нкциа и =: и(х) и о=о(х) неярерьн ны вместе со своими тьроизводнылш на отрезке (а, Ь), тпо ис(о = (ио), — ) оди. и (30.3! Зта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла. Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем (ио)' йх = ~(ио'+ и'о) йх = ) идо+ ~ оди. (30.4) Все зти интегралы сушествуют, ибо подынтегральные функции непрерывны. Но, согласно формуле Ньютона — Лейбница ь ~ (ио)'дх = (ио),.
? (30.5) Сравнивая (30.4) и (30,5), получим ь Ь ~ис(о+ ~ ойи= )ио)ьм ь й откуда и следует формула (30.3). Теорема доказана. П ример. Найти значение интеграла ) !пхдх. ! Применим формулу интегрирования по частям: (п хдх = х (п х ~ г — 1 дх =- 2 !п 2 — !. 1 ! Теорема2 легко обобщаегся наслучай так называемых кусочно- непрерывно дифференцируемых функций. Определим эти функции. Определение !. Функция ! называется куприно-непрерывно дифференцируельой на оя?резке, если ее производная кусо?ьно-непрерывна на эпюм ольрезке. Теорема 2'. Пугать функции и(х) и о(х) непрерывны и кусочнонетлрерывно дифференцируемы на отрезке (а, Ы, тогда для них справедлива формула (30.3) интсграрое нил по частям.
З ЗО Методы оынисления определенного интеграла 4!2 ,и[ока зательство. Пусть т=- (х!), — такое разбиение отрезка [а, Ь), что на каждом отрезке [х! !, хь[ этого разбиении функции еслихг!(х(хь если х=х! — !, если х = хо и(х), и;(х)= и(х! — !+0)~ и (х! — О), г. Х! к и!ь[о! = и!о!~ ' — ) о!ь[ие !.=- 1, 2, ..., й.
8-! ! †! выражение в (30.6) и снова используя фор- Подставляя это мулу (28.38), имеем ь г,["! ий=- ~ и!о,["! ! Н г л ь — о,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
