kudryavtsev1 (947411), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Совокупность всех разбиений данного отрезка обладает следующими свойствами. 1. Если т, ( т„а тк ( т„то т ( т,. 2. Для любых т, и тк существует такое г, что т ) т, и т ) .е,. В самом деле, первое свойство следует просто из того, что в силу условия тк ) т„каждый отрезок разбиения тк содержится в некотором отрезке разбиения тк который в свою очередь, согласно условию т, ) тл, содержится в каком-то отрезке разбиения т,; таким образом, всякий отрезок разбиения т, лежит на определенном отрезке раз- биениЯ тл — это и означает, что тк ) тл.
28. ~ 5!пи»соке»4!х. 29. ~ 5!п4 к 4!х. 5!и х 31. 4!» сок хипкк ' 4!Х 32. 2+ соек ЗЗ. ) Нп Зхсок Зхих. 34, ) пгссоее х 44». 38, ~ ккагсл!пкхг!х. 36. 4!К е!4 х — 2св х 37. ) Хе !пе к г!х. 38. ~ хек 51п х 4!х. 39. ! и 1х+ У 1 + х') 4!Х 11+ х'! 2 41» 40. 5!И4Х + СО54 Х ' Э г7 Овределекнио интеграл Для доказательства второго свойства разбиений заметим лишь, что если заданы два разбиении т, и т„то разбиение т, состоящее из всех точек, входящих как в разбиение тм так и в разбиение т„оче- видно, будет следовать за т, и за т,.
Пусть теперь на отрезке [а, 6) определена функция / н пусть т = (х,),.'=, — некоторое разбиение этого отрезка: Лх! = х! — х! ы 1= 1, 2, ..., й, а 6 †мелкос этого разбиения. Зафиксируем произвольным образом точки 5! Г [х! !, х!1, 1=1, 2, ..., й, и составим сумму о,(/1 $ - ° $к)=Х/(ь!) Лх!.
Суммы вида от(/; $„..., 6к) называются интеграл!. ными сум- мами Римана* ! функции /(см. рис. 64). Иногда для краткости мы будем их обозначать о (/), от(Ео ..., $д) или даже просто о Определение 1. Функ!!ия / называется интегрируемой (по Рима- ну) на отрезке [а, 6[, если с!)и!есп!вдеп! такое число А, чою для л!сбой последовательносвги разбиений отрезка [а, 6) у которой !ни бт =О, и для любого выбора о!очек е-» $ "! ( !х!'!!, х(" ' [, 1= 1, 2, ., йе, п = 1, 2, ..., выполняется равенство е„ йш ~ /(6)"!)Лх)"!=А, (27. 1) е /=1 При выполнении этих условий числа А называется (римано- выя!) определенным интегралом т/!унк!!ии / на отрезке [а, Ь! ь и обозначается ) /(х) сХх.
п Таким образом, )е / (Х) е[х = ! пп о, т1/; с!!е', ..., 5л!" '), еде [пп бт =-.О, е те е! Г. Ринги (1826 — 1866) — ненецкий математик. за~ 77! Определение интеграле ио Рамону Для краткости записи будем в этом случае просто писать ь ) ) (х) дх = 1пп о . (7). е л-о Подобно тому как определение предела функции можно сформулировать двумя эквивалентными способами с помощью пределов последовательностей н с помощью «(в — 6)-языка», так и определение интеграла можно сформулировать иначе. Определение 2.
Число А нага«гнется определенным интегралом функции 1 на служаке 1а, Ы, если для лобого е > О сущестпвует 6 = 6(е) > О, такое, что, тонково бы ни было разбиение т = (х ),' " отрезка 1а, Ы, м..лкость которого леныие 6." 6 < 6, и каковы бы ни были точки $«Е(хт ы х«1, выполняетсл неравенсптво Лх;=-х; — х; ь 1=-1, 2, ..., Е У п р а ж и е н а е 1. Доказать, что два данных вытле определения определенного интеграла эквивалентны, Заметим, что рассмотренное здесь понятие предела интегральных сумм Римана является новым понятием, пе укладывающимся ни в понятие предела последовательности, ни в понятие предепа функ- ции.
В дальнейшем придется использовать аналогичное понятие пре- дела не только для интегральных сумм Римана, но и для других объектов. Поэтому сформулируем общее определение предела этого вида. Определение 3. Рассмотрим множество Т= (т) всех разбиений отрезка (а, Ы. Пусть на этол лнозхестве определена числовая, вообще мтворя, лнсеозна ная функции Ф(т), т ~ л,. Будем говорить, что функ- ция Ф(т) при 6» — » О алеет предел, равный А, и будем писать ИшФ(т)=А, 6 о если для лтобой последовательности разбиений т„~ л,, и = 1„2, ..., такой, что !пп 6-.„=- О, при лабом выборе значений Ф(тн) числовая апоследоыипельноспть Ф(та) сходится к числу А, т.
е. 11гпФ(та) =А. 2 27„Определенны» он«серпа Поскольку это понятие предела определено с помощью понятия предела последовательности, то для него оказываются справедлигыми многие свойства, аналогичные соответствующим свойствам предела последовательпосги. С соответствующими примерами мы встретимся в дальнейшем. Как и в случае предела интегральных сумм Римана, понятие этого предела можно сформулировать на «(а — б)-языке», что предоставляется читателю.
27.2. Ограниченность интегрируемой функции Теорема 1. Если функция / инте рируел!а на отрезке [а, Ь), и!о сна ограничена на этол! отрезке. Д о к а з а т ел ь с т в о. Пусть функпия / не ограничена на отрезке [а, б) и пусть фиксировано некоторое разбиение т = (х!)1:оо этого отрезка. В силу неограниченности функции / па всем отрезке 1а, /з) она не ограничена по крайней мере на одном отрезке разбиения т. Пусть для определенности функция / не ограничена на отрезке 1х, х,), тогда на этом отрезке существует последователь- НОСТЬ й!!я!~!Х„Х,1, П = 1, 2,..., таКая, Чта 1 1[ш /(М"1) = оо.
(27,2) и- ь Зафиксируем теперь каким-либо образом точки в!~(х! 1, х,1, ! = 2, 3, ..., й, тогда сумма Х /(~!) бх! будет иметь вполне определенное значение. Поэтому в силу (27.2) Цг к!Г В"'. Ь,..., и1=! [!1гГЗ««4-хиЫЬ,) = г=! и, значит, к-ково бы ни было число М .> О, всегда можно подобрать такой нол!ер и„ что если на первом отрезке (х„ х»1 взять точку Ц"'~, го [;1/; ~Г'. ~, -.!,)!>М. Отсюда следует, что суммы и не могут стремиться ни к какому пределу прн 6 -э- О.
Теорема доказана. ! Действительно, в силу неограниченности функции / на отрезке [хс, х,[, например, для любого натурального и = 1, 2, ... существует точка Ца! Е [хс, х!1, такая, что [/(61~!!) / > и. Очевидно, что последователь ость (й!"!) и удовлетворяет услови!о (27.2), л7 9.
Верхние и ниитние интегральные еуииы 7(арбу 333 Рассмотрим эту функцию, например, на отрезке (О, 1). Она, очевидно, ограничена на этом отрезке. Покажем, что она не ннтегрируема. Зафиксируем произвольное разбиение т= (х!)!'= отрезка (О, 1). Если выбрать точки 5! ~[х! !, х!), г=1, 2, ..., )г, рациональными, то получим А е и = ~ 7(с!) Лх,= ~'„Лх!=1, 1=! 1=1 в если взять ч! иррациональными, то получим о,= Х ~(~,) Лх,=0. с=! Так как это верно для любого разбиения е, то интегральные суммы о заведомо не стремятся ни к какому пределу при б — «О. 27.8.
Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу Пусть функция 1(х) определена на отрезке (а, (с!, т= (х!),. „— некоторое разбиение отрезка (а, 61 и Лх! —— х,— х; !, ! = 1, 2, ..., )г. Положим (рис. 84) Л4!=х знр 7(х), и,= !п1 1(х), г=-1, -, ..., й, х! ! х<х! х! !<х<х! /с 8,=8,(1)= Х Ислх„ г Б =р 5, (7) = ~л~г ти; Лхи 1=! (27.3) (27.4) Очевидно, «! Л.,Пирихле (!805 — !859) — иеиеикай математик, Условие ограниченности функции 7, являясь необходимым условием интегрируемости функции, пе является вместе с тем достаточным для шггегрируемости.
В качестве примера, доказываюп[его это утверждение, рассмотрим так называемую функцию Дирихле *!. ~1, если х рационально, 7(х) = (О, если х иррационально. а ет Оннеделеннгнй интегаал Сумма 5! называется верхней чнглегральнай суммой Дарб!/а!, а сумма а, — нинелей Отметим следующие свойства интегральных сумм Дарбу. 1. Если с/(!/г!кция / ограничена, ню при ниобам разбиении срлаиы Е! и з, определены, т.
е. /И! и и!ь ! = 1, 2, ..., и, конечны, и потому выражения (27.3) имеют смысл. У 2. Если т(т', то Я <5 и атак Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть т = (х,)' ,„и т'=(х1)~ — два разбиею!я отрезка (а, 51, пусть т( т' и пусть ге« Р„ ег. и,= 1п1 /(х), 1=1, 2, ...,/г, «! ! м«ч«! чг,==- (п( /(х), /=1, 2,..., й'. «! !~«~«1 ~х~. х«-~4! хз-- х «Ьнч Риц 8Ь Если (х! !, х!)с:1х, !, х,1, то, очевидно, тл! ~ тп!. (27.5) В силу условия т(т' каждый отрезок (х! 1, х!) разбиения т является объединением каких-то отрезков разбиения т'; будем обозначать эти отрезки (х1, г, х;,~. Таким образом, если Лх,=х,— х! ! и Лх! х! — х! ! а лх., Ь то (рис.
85) зт Лхг=~Лх! . ! Используя зги обозначения и неравенство (27.5), получим и « — ~ ~,Лх.— ~' тп Ъ Л~~,— — ч', ~ч'„т, Лх! ч„ ! ! г=! !! !. ! и а < ~~ ~~"„т1, Лх;,= .Я~ и!! Лх1= зт. «=.! ! !' ! Мы доказали, что ат < а, . Аналогично доказывается, что Е,>-Я, при т т'. а! !. З!арбу (!Зйа-1917) — французский иатеиюик, »78 Верхние и ни»!ни» интегральные суммы дерсу Следствие. Для любых двух разбиений т» и т, отрезка !а, 6) выполняется неравенстпво г,<5„ (27.6) т.
е. льобая нижняя интегральная сумлш Дарбу л!еньше любо!! верхне!!. Действительно, если даны два раабиения т, и т» отрезка !а, 6й то существует разбиение т этого отрезка, такое, что тт и ъ,м т, (см. п 27 1). Применяя свойство 2, получим гт, ~ гт Ч" ~т ~ ~т,; Следствие доказано. 3. Если от=- о (!"; 5!...., Й») — какая-либо интегральная сумл!а Римана, сооптьеп!стпстутотиая данному разбиеншо т, тпо г = гп1 от~(о < зир о»=5. йт," $» Ь "..Ь Доказательство. Пусть т=(х!)'. ",— разбиение отрезка (а, 61 и $!Е1х! ь х,), 1=1, 2, ..., 7т. Если заданы какйе-л»!бо числовые множества Хп 1= 1, 2, ..., 7», и постоянные а! ~0, »=1, 2,..., я, то для множества Х= х:х= ~к~ а,хь, х!~Хт, »=1, 2,..., А, ! ! как легко видеть, справедливы равенства (почему?) » » зпрХ= ~~', атзнрХ„тп1 Х= Х а,)п1 Хр с=! с-! В силу этого имеем ь » г = ~', т; Лх,= У, Ы 7(ь,)Ьх! с-! т-!»! !<1!и»! !п( Х)(В!) бхтмм к! ! ятч»! ь=! ! !,»,...,» !п( от(); Цо...
с») <о,(): чм Ц»,..., фь). »! !Я~!~»! ! !,»,...,» З 27, Онределенниа интеграл Аналогично А я Я,=- ~ Я1Л»1=- ~~ апр 7(Ц)Л»1= 1 1 1=! «! 1~($1. -р Хай!)Л»1=- -р о.([;1„-..~й~от([15,.....~,). «1 — \~ ИЯ ~! !=! 1 — 1:~!<«1 1=1,2, .,2 1=-1. 2, ..., 11 Свойство 3 доказано. 4. Я вЂ” а,= У в1(~), 1=! гдг в1 ([) — колебания фрикции 1" на отрезке [х1 — и х,) (см. п. 19.5), 1'=1„2, ..., я. Доказательство. Отметим сначала, что если для двух данных числовых множеств Х и у положить 2=-(г: г=-х — у, »~Х„у~У), то зпрг',=зпрХ вЂ” 1п[У (почемуР).
Используя это, получим Л41 — т, = зпр 7 (х) — [п1 [(х) =- зпр [[(х") — 1 (х')1 = х! ! КхК«1 к1 ! мххх1 х! ! «хх'к«1 к1 ! Кх"Кх =ее!(1), 2=-1, 2, ..., А, поэтому е е Я, — э ==- ~~ (М1 — т,) Лх, = ~„в! (1) Лх . 1 ! 1=1 Положим теперь 7 =-- знр зт, 7 = (п1 Ят, т т 7 называется низснии инп1ггрилол! Дарбу, а 7 — верхнии. Из свойств 1 и 2 интегральных сумму Дарбу следует, что если функция 1 ограничена, то как ннжпнй ее интеграл Дарбу, так и верхний конечны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
