kudryavtsev1 (947411), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Метод Остроградского А а=2, 3,..., (х — ) В пункте (24.Ц было показано, что всякая правильная рациональная дробь люжет быть представлена в виде суммы зз!ементарных дробей. Но из п. 24.1 следует, что первообразные элементар- 1 Х)х+ Х! /)лл ных дробей — и !( — — д ( О) являются траисценх — а хе+их+4 '(4 дентиыми функциями вида Аагс!й(а,х+а,)+В1п((л!к-( Ь)+С (см.
(24.1) и (24.3)); псрвообразная элементарной дроби ЯЛ Метпд Остроградского является рациональной дробью; первообразная же элементарной дроби — р==2, 3, ..., (х«+рх (- Ч)' ' в силу формул (24.4), (24.5), (24.6) и формулы 12 и. 22.2 может быть представлена в виде суммы правильной рациональной дроби и моясет быть трансцендентной функции вида А агс1й(а, х+а,)+С, явл р« ляюшейся первообразиой от дроби вида х'+ рх+ д 4 ( — — 4<0). Поэтому всякая первообразная любой рациональной дроби представима, вообще говоря, в виде суммы рациональной дроби (алгебраическая часть) и трансцендентной функции, являющейся псрвообразной от суммы дробей вида А ~1)х + )«р« — и,, — дс..0.
х — а х+рх+д' 4 Таким образом, если — правильная рациональная дробь и Р (х) О (х) я(х)=(х — а,)о~ ... (х — а,Р«(хт-(-ртх+г)т)~' ... (х'-(-р,х-(-д,)й«вЂ” разложение ее знаменателя в виде (23.10), то Р (х) Р,(х) ( ~ у А ~, А4) х + Ч) Г)(х) <;~« (х) + ) ( ,«м х — и; .мха х« + р . х + д отсюда, произведя под знаком интеграла сложение дробей, имеем Р (х) с( Рт(х) + ( Ра (х) 1 (24.7) 1)(х) Я, (х) ) Д« (х) где Да(х)=(х — а,) ... (х — а,)(ха-+Р,х+4,) ... (ха+Рхх+4,); нз формул (24.2) и (24.6) следует, что многочлен (~,(х) имеет вид я,(х)=(х — а,) ' '...(х — а,)"' (х'+р,х+4,)~' '...(ха+р,х-)-1)«)р« ', и, значит, многочлен (,)т(х) является общим наибольшим делителем многочлена ()(х) и его производной (Т(х) (см.
(23.23)). Формула (24.7) называется формулой Ост)эоградского«1. Второе слагаемоз правой части формулы (24.7) называется трансцендентной частью интеграла ~ с(х; это естественно, ибо из сказанно- Г Р(х) ) Я(х) Р,(х) го выше следует, что всякая первообразная дроби — с точностью 0«(х) до постоянного слагаемого представляет собой линейную комбина- «1 М. В. Остроградский (1801 — 1861) — русский математик.
В г4. Интегрирование рочаонольннл дробей ЗВВ Я(х) =Ят(х)Я,(х) получим и = п + и . В силу того что дроби — и правильРт(л) Рь(н) 1 2 О,(л) От(х) ные, степени многочленов Р,(х) и Рг(х) соответственно не выше, чем и, — ! и пг — 1, и, значит, в этих многочленах число отличных от нуля коэффициентов ссатветственно не превышает пг и и;, таким образом, что число неизвестных коэффициентов равно их + и, = п. Дифференцируя первообразные, входящие в обе части формулы (24.7), получим (опуская для краткости обозначение аргумента) соотношение (24.8) Производя дифференцирование, получим Р Р,О,— РтО! Р, +— О О' О Заметим, что Р~ От — Р, О1 Р, Ог — Рт)т (24.9) Оз От Оь где О',О, Я=в О, цию логарифмов и арктангенсов от рациональных функций и, значит, как это можно показать, будет являться, вообще говоря, трансцендентной функцией. Первое же слагаемое, называемое алгебраической частью, может быть найдено чисто алгебраическим путем, если известны многочлены Р(х) и Я(х) (а значит, и Я'(х)), т.
е. без интегрирования каких-либо функций. В самом деле, многочлен Ят(х), являясь общим наибольшим делителем многочленов фх) и (;)'(х)„ всегда может бьггь найден с помощью алгоритма Евклида (см. и. 23.4), тем самым для отыскания многочлена Ят(х) не требуется знания корней многочлена Я(х); однако, если корни многочлена Я(х) известны, а значит, известно и его разложение вида (23.17), то многочлен Я,(х) сразу выписывается по формуле (23.23). Многочлен Яг(х) находится как частное от деления Я(х) на Я,(х). Для отыскания же многочленов Р,(х) и Р,(х) можно применить метод неопределенных коэффициентов.
Поясним его. Обозначим степень многочлена (),(х) через п,, степень многочлена Яг(х) — через п„тогда из равенства 24.3. Метод Остроградского 357 является многочленом. Действительно, если г — корень много- члена ()т кратности Л, то, как мы знаем (см. п. 23.3), г является корнем кратности Л вЂ” 1 для производной 4 и однократным корнем многочлена Я„поэтому в этом случае г является и корнем кратности Л для многочлепа ЯДе. Отсюда, согласно формуле (23.7), сразу следует, что многочлен Я1 Яа нацело делится на многочлен Я„т.
е. что )7 также является многочленом. Итак, из (24.9) и (24«8) имеем Р Р(7 — Р)( Р +— 0 Я О«' откуда Р=-Р, Ое — РЯ+РЯт. (24.10) Многочлен Р имеет степень не выше чем и — 1 (ибо дробь— Р 1 е правильная). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях (1, (г = О, 1, ..., и — 1, переменного х в обеих частях равенства (24.10), получим и линейных уравнений относительно и неизвестных. Выше было доказано (см.
(24.7)), что многочлены Р, и Ре всегда (в частности, при некотором фиксированном многочлене Я и при любом многочлене Р степени, не превышающей и — 1) существуют; поэтому полученная система линейных уравнений имеет решение при любой правой части«). Отсюда следует, что определитель этой системы не ранен нулю, а значит, про рассматриваемую систему можно сказать, что она не только имеет решение, но и что оно единственно. Тем самым не только получен метод для определения неизвестных коэффициентов в формуле (24.7), но и доказана единственность этого представления. Формула (24.7) сводит, вообще говоря, задачу интегрирования любой правильной рациональной дроби и задаче интегрирования правильной рациональной дроби, у которой знаменатель Я(х) имеет только простые корни. С помощью этой формулы при интегрировании правильной рациональной дроби можно найти указанным выше Г Р(х) путем алгебраическую часть интеграла ~ — с(х, а зятем проинтег- ) 0(х) рировать более простую рациональную дробь — —, если, конечно, Рт(х) 0т(х)' случайно, не окажется, что Рт(х) — тождественный ноль: в этом случае задача будет уже решена.
Описанный здесь метод интегрирования рациональных дробей носит название летиоди Острогрпдского. «) Как обычно, предполагаем. что все члены уравнений, содержащие неизвестные, перенесены в левую часть равенства. 'вв Э 24. 11нтегрироеоние раиионахиннх дробей П р и м е р. Применим метод Остроградского для вычисления интеграла ке + 2ке — 2хе+ х (1 — х)е (1 + хк)е г(х.
Согласно формуле (24.7), х'+2хт — 2хк-1-х ( Кке+Ехк+Мх+ Ь' [' ехе+ 1х+ в Г (1 — х)е(1+ ке)х (1 — к)х(1+ хе) + ) (1 — х) (!+хе) то этому х'+2хх — 2хк-1-х ( Кхх+Еке+Мх+М!' Акт+ 1х+та (1 — х)е(хе+1)е ( (1 — к)'(! + х') ~ (1 — х)(1+тР) Произведя дифференцирование, получил! хе + 2хе — 2ке + х (1 — х)е(! + хк)е— (ЗКх+адк+М)(1 — к)(хе+ !) — Сдхе+Ехе+Ет!х+Ет)( — 2(!+хе)+(1 — к)2к) + (! к)е(1+ хе)е Акт+!х+ т (1 — к) (1 + х') ' Этс!ода х'-(-2хе — 2х"-1-х=(ЗКх'-(-2Ех+М)( — х'+ хх — х+1)— — (Кхх+ Ех'+ Мх+ (!)) ( — 4х'+ 2х — 2) -(- + (ггхх+ (х+ от) (хе — 2хе+ 2хх+ 2х+ 1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, почучим М + 2Л! + тл =- О, — м4 21+2/и — 2лг — 2тп+(=1, ЗК вЂ” 2Е + М -1- 2Š— 2/И + 4 У + А — 2(+. 2о! = — 2, — М+2Š— ЗК-(-2К вЂ” 2ЕИ 4М вЂ” 2К+2! — 2т=-2, ЗК вЂ” 2Š— 2К+ 4Е+ 2К вЂ” 2(+ т= 1, — ЗЕ(+ 4К вЂ” 211+ ( == О, )г =О, 2д.д Гиесаод Остроградского или М -(- 2й(+ >и = О, 21.+М вЂ” 2А!+1 — 2т=-1, ЗК вЂ” М+4А!+ й — 21-!-2т.—.
— 2, — К + ЗМ вЂ” 2й+ 21 — 2я! =- 2, .К-)-21, +2й — 21+т== 1, К вЂ” 2й+1=-0, й= О. Решая эту систему уравнений, находим 1.= — —, М= —, 1 3 К=- —, 1 й=О, 1= — —, т= — 2 1 1 2 поэтому х'+2хх — 2х'+х 1 1 х' — хх+Зх — 2 (1 — х)х(хе + 1)х 2 (1 — х)х (1 + хх) + 1 à — х+! 1 хг — хх+ Зх — 2 1 +— 2 ~ (! — х)(1+хе) 2 (! — х)х(1+ хх) 2 !(Х = — — х + — - ЯГС(й Х+ С $2З. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ Функция вида К(ио ..., и„) = — ' "' '", (25.1) где Р и () — м!югочлены от переменных и„ ..., и„, т.
е. функции Вида Х л ах,... е и, ... й„ , ' + ' ' + о называется рациональными функциями от и„ ..., и„. Если в формуле (25.1) переменные и„..., и„в свою очередь явля!ется функциями, выражающимися с помощью суперпозиций радикалов и рапиональных функций от одного переменного х, то получающаяся сложная функция называется рациональной относительно радикалов. ззо 5 2д 'ттнтегрировпние некоторых иррпиионпеьноттеа Например, функция х+ г'(хе — 1)' )(х) = является функцией указанного вида, действительно, здесь 1(х)=Д(х, р'х, 1гх' — 1, тт'х'+1), где и„+ ий Р (цт ия ттз и4) ит — ит з и,=-х, и,='г х, ив==ф/х' — 1, 444=. р х'+ 1. Если же в формуле (25.1) переменные ио ..., и„являются эле.
ментарными тригонометрическими функциями, то получающаяся сложная функция называется рациональной относительно элементарных тригонометрических функций. Примером такой функции является следующая: — =Д(з(пх, соэх, (дх), !ятх Перейдем теперь к рассмотрению интегралов от функций подобного типа и покажем, что в ряде случаев они сводятся к рассмотренным выше интегралам от рациональных функций. 25.1. Интегралы вида ~Й ~х, ( ) ', ..., ( — ) '|дх Рассмотрим интегралы, указанные в заглавии пункта, при условии, что постоянные г„, ..., т, рациональны н определитель ~ чь О (а, (т, с, т( — постоянные).
Последнее предположение естес т( ственно, так как если бы ~ и ~~ = О, то коэффициенты а, Ь были бы пропорциональны коэффициентам с, е( и потому отношение их+ о ех+й не зависело бы от х. Подынтегральная функция в этом случае была бы обыкновенной рациональной дробью от одного переменного, вопрос об интегрировании которой был рассмотрен выше.
Пусть т — общий знаменатель чисел г,, ..., г,: — р — целое, 1=1, -, ..., з. 1 ти ' й эо Интегртгроепние некоторых иррпиионпеьноетеа Полагая, согласи гклгему правилу, х=(е, г(х=-б(ьй, получим гР Р =6 ~ — —,+1 — !п!1+1! ~+С=- = 2 ~Г х — 3 1ттх -1- 6 !/ х — 6 (п (~ х + 1) + С.
К интегралам вида (25.6) сводятся иногда с помощью элементарных преобразований и интегралы других типов. Например, если требуется вычислить интеграл ~ )г'(х — 1)(х — 2) дх (25.7) то, вынося в подынтегральной функции множитель (х — 1) эа знак радикала, получим интеграл вида (25.6): именно при х > 2 )г' (х — 1) (х — 2! г(х = ) (х — 1) )ттт"— г1х, а при х< 1 )т(х — 1 (х — 2) г(х= ~(! — х) ф' х— — е(х. При 1 = х(2 подыинтегральное выражение чисто мнимое. Рассмотрим„например, случай х > 2. Полагая здесь (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
