kudryavtsev1 (947411), страница 56
Текст из файла (страница 56)
а+1 Если число а таково, что степень ха имеет смысл и для всех х < О, го формула 1 справедлива иа любом промежутке, прянадлежащем области определения функции к". Нацример, формула хт ~хас!х = з +С праведлива для всей числовой оси. Г вх Однако для интеграла ! —, уже нельзя написать подобную единую )юрлгулу, справедливую на всей числовой оси с выкинутым нулем, в этом случае имеем — — +С, для х) 0 1 У= — — +С для хч О. 1 х 2. ) —,.
=1п(х(+С. на любом промежутке, на котором кФО. 322 й 22. Определение и свойства неопределенного интеграле 3.) алс)х= —, +С, а>О, аФ1. В частности, ) еле)х=е" +С. 4. ~ ыпхс)х= — созх+С. 5. ! созхс)х= з)их+С. дх сове л 1йк+ С' дх 7. 1 — — = — с13 х+ С. ',! в!пех 8.
) зЬхдх=-с)!х+С. 9. ~ сЬхс)х=зЬх+С. дл 19. ~ — с!те-;,- =гйх+С. 11. ~,~.', = а +С. г дл ! Х ! Х 12. ! — — = — агс15 — +С = — — агсс1д — +С. ,! с'+ее а и и и дх . х г 14. 1 = =-агсейп — +С= — агссоь — +С ! х~()а'. ) ~/о „е и 1 !' 15. ~= — —, == !п ах+ ~хх~а'!! +С, причем, когда под корнем стоит хе — а', предполагается ) х) ~ ) а !. Само собой разумеется, что если знаменатель подынтегральной функции обращается в ноль в некоторой точке, то написанные форму- лы будут справедливы лишь для тех промежутков, в которых не происходит обращения в ноль указанного знаменателя !см.
формулы 2, 6, 7, 11, !3, 15). То, что производными функций, стоящих в правых частях этих формул, являются соответствующие подынтегральные выражения, проверяется непосредственным дифференцированием (см. примеры в 29). С помощью интегралов 1 — 15, называемых обычно табличнылш интегралами, и доказанных выше свойств неопределенного интегра- ла можно выразить интегралы и от более сложных элементарных функций также через элементарные функции. 228, е1нтегрирование подстановкой Например, Й < (5созх + 2 — Зх'+ — —, ' 1<1х= х хе+1/ =5 ) сов хйх+2 ) йх — 3 ) хвйх+ ) — — 4 ) Гах Г йх +) х )хв+! = 5 з1 и х+ 2х — х'+! и ] х ] — 4 а ге(и х+ С. Отметим, что для псякого многочлена степени и существует первообразная и она является мпогочленом степени и-!.1, ~очнее, (а„+ а, х+ а, х'+ ... + а„х") йх = Это следует из свойств 3 и 4 неопределенного интеграла (см.
п. 22.1) и формулы 1 этого пункта. Если первсобразная некоторой функции 1 является элементтшрной функцией, пю говорят, чтпо инп<еграл ~1(х)йх выражается через элементарны функции, <<ли что этот интеграл вь<числяетпся. 22.3. Интегрирование подстановкой 'теорех<а 1. Пусть функц<ш !(х) и <р(1) апре<)елены на некопюрых промежутках и имеет смысл сложная функция г" 1<2(т)]1 если функция 1(х) имеет первсобразную г"(х), а функция <р дифференцируема, то функция <1] р(1)]<2'(<) такжг имеепг первсобразную и ~1]р(1)] р'(1)аЦ вЂ”.Р]<р(1)]+С.
(22.9) до к а з а т ел ь от в о. Поскольку функция р(х) определена на том же промежутке„что и функция 1(х), то сложная функция г(ц<(1)! имеет смысл и по правилу дифференцирования сложной функции дг р12(1)! д 1 < )! о(1)1<2 (1) т. е. функция 1]<р(г)]<2'(г) имеет в качестве одной яз своих первообразных функцию Е(<р(1)1, и потому формула (22.9) доказана. Фориула (22.9) часто применяется на практике при вычислении различных интегралов. Для этого ее удобно записать в виде ) !12(1)]<р'(1)й1=) 1(х)с«х~х и 22.
Определение и свойства неопределенного интеграла 324 Отсюда видно, что можно сначала вычислить интеграл ) )(х)йх, а затем вместо х подставить ф(1). Эту же формулу можно записать в таком виде: ') 1(ср(2)«гр'(1) с!2 = ) ) (гр(!)«сйр(1). Примеры. 1 Для вычисления интеграла ) созЗХС!х естественно сделать подстановку и=Зх, тогда соз Зх г(х= — 1 сов из(и = —, анги+С= — -«-С. 1 1" 1 Мпзх з3 =з 3 р хйх 2. Для вычислення интеграла ~ , , удобно применить подстановку и = хз+ аз: 1 — = — ) — = — !и «и «+ С = — 1п (хе+ аз) + С. хйх 1 Рйи ! 1 хз-1-из 2,) и 2 2 3. При вычислении интегралов вида ~ — полезна подста- Г е' (х)йх ,) а(х) новка и= гр(х): ~ гр'(х) ~ йр (х) с(х = " — = «п «гр (х) «+ С.
р (х) .1 гр (х) Например ((«хс(х = — « ('й сов х = — !п «соз х «+ С ,] сов х Ф х — — — -~ рз * ~«с. 4. Интегралы вида йх в случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором интервале*>, легко сводятся с помощью подстановок к табличным. Действительно, замечая, что зз Ф ах'+ Ьх+с=а(х+2-,-) +с — -Я, «1 В протнзнол1 случае, т.
е. когда подкоренное выражение отрицательно, получится интеграл от конплекснозначной функции. Такие интегралы в атой книге не рассиатриваются. >24. Интегри»оепние по «игг»я 325 — l Ь> .делаем замену переменного 1 = )гс(п~~ + †,) и положим Ь» 1= с — —, тогда получим 1'ах»+ Ьх+ с Яа ~ ~ 1' ~ Р+ д (перед Р стоит знак «+», если и > О, и знак « — », если и «„0). Ингеграл, стоягций справа, является табличным (см.
формулы 14 и 15 в п. 22.2). Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида ах — и+О ах»+ ах+ с ' (см. об этом в п. 24.1). 22.4. Интегрирование по частим Теорема 2. Если фунгщии и(х) и о(х) диф4еренцируемы и интеграл ) ог(и существует, то и интеграл ~ ис(о о>п>сесе сущесгпеуегп и ') идо=ио — ) оди.
(22.10) До к а з а т ел ь ст в о. По правилу дифференцирования произведения имеем Цио) = оди+ ис(о, и потому идо =- с( (ио) — о»1и. Если дифференциалы (или, что то >ке, производные) каких-либо функций равны„то их неопределенные интегралы, очевидно, совпадают; поэтому (см. (22.6) и (22.7)) ~ ис(о = ~ г) (по) — ~ оди, (22. 11) но, согласно свойству 1 п. 22.1, с1 (ио) = ио+ С.
Подставляя это выражение в (22.11) и относя произвольную постоянную ко второму слагаемому, получим (22.10). Теорема доказана. З лх Онределенае а гвааетва неалределеннага интеграла Формула (22.10) часто оказывается очень удоопой и ри конкретном вычислении ингегралов. Отметим, что при практическом использонании этой формулы задана левая часть, т. е. функция и и дифференциал сЬ, поэтому функция о определяется неоднозначно.
Обычно в качестве функции о выбирается функция, записывающаяся наиболее простой формулой. Примеры. 1. Пусть требуется вычислить интеграл ) хе" ссх. Полагая сс=х, с(о=пес(х и, значит, с)и =- с(х, о = е', имеем хет с1х = ~ кс(ел = хет — ) с"" с(х =- хвх — ее+ С. 2. Вычислить интеграл Р =- ) '1с ах — х' с(х. Полагая и =- р'иг — хг с(о =- (х и, следовательно, с(и= — — с(х, о=х, )'ае — хе получаем 1 = ~ Утив — хес(х =-х )гтае — ха+ ) ; , „ . (22.12) ,~а- хе хх 4х (' ае — (ае — хт) — — ссх =- )/ах хл 1 )/'ае хх =- и' ( =-; = — р ив — хх с(х =- ие а сз! и — — 1 и, подссавляя это выражение в (22,12), получим 1=х 1с а' — х'+ и'агс сйп — — 1. а (22.
13) Как уже отмечалось, всякое равенство такого нида выражаес собой равенство между двумя множестоасщ функций, элементы каж- Добавим и вычтем ив в числителе подынтегральной функции интеграла, стоящего в правой части равенства; тогда, произведя деление на ) ссх — х', будем иметь 28.! Камллексние числа 327 дога из которых отличаются друг от друга па постоянную. Поэтому общее выражение для элемента из множества (, согласно (22.13), имеет вид ! =- — у'а — х' -1- — агсяп — + С. х г и а . х 2 У 2 3.
Иногда для вычисления интеграла правило интегрирования по частям приходится прим-нять несколько раз, например, агсяпах ~х — — хагсэ(п'х — 2 загса!и х. х ах (г 1 — х" = х агсяпа х+ 2 ) агсьш х хс( уг1 — ха = =хагсяпах+2агсяпх уг1 — х* — 2х+С. 4. Если Р„(х) многочлеи степени х, то для вычисления интеграла ) Р„(х) еа"с(х следует формулу интегрирования по частям применить и раз, тогда получим 4 23.
некоторые сВедения О кОмплексных числАх И МНОГОЧЛЕНАХ 23.1. Комплексные числа Как известно из курса элементарной матемаыткн, колтплелснвсии числалти называются выражения вида г=. х+(у, где та = — 1, а х и у — вещественные числа. Число х называется ве. гцественной частью, у — мнимой частью комплексного числа г. 3то записывается следующим образом." х = 1(е г, у =-)щ г в>.
Комплексное число г, не являющееся вещесгвешп,и, т, е. у иоторгло 1~па+ О, будем называть существенно комплексным числом. Число у' У+уув называется ' модулем комплексного числа г =- х + (у и обозначается ! г~, т. е. 1г) =- угх' + у'. м От французских слив сев! — действительный и Ппаа1иŠ— инивпя. 328 23. Некоторые сведения о комплексных числвк и миогочлеивх Каждому комплексному числу г = х + (у соответствует упорядоченная пара вещественных чисел (х, у), и обратно, каждой упорядоченной паре вещественных чисел (х, у) соответствует комплексное число г = х+ (у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
