kudryavtsev1 (947411), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В общем случае гг)гсть вокрестности точки х =(х!',...,х ') задана функция у= у(х„..., хн), пусть я>даны функции х,=хг(<„..., Ун), г' =1, 2, ..., п, такие, чпго хг(<! ...„1ь ) = х< с <о> <о>«о> Если функция у=у(х„..., х„) дифференцируема в точке х<о>, если в !почке <<о> = (с<!">, ..., гг,"'>) сУи<ествУют частные пРоизводные —., 1=- 1, 2, ..., (г, г =- 1, 2, ..., и, и если в некопгорой окресгпдкг дг Ф ь ' ' ь 1 носат сноски 1<о> имеет смысл суперпозиция у(х(1)), то сложная функция у(х(1)) имеет в точке <<о> час!нные производные дс» ' ° — 1= 1, 2, ..., й, ггричем ду Я (20.2б) г0.4. Рнварионтноеть фарии аервого дифф<еренчиава (х,(С), ..., х (С)) ~ О(х< >; т)) при С ~ 0(С<~>; б).
Тогда на окрестности О(С<о>; б) определена сложная функция С(х(С)). Возможность выбора таких чисел 6 и т) (очевидно, 6 зависит от выбора т)) была показана в и. 19.2. Функция С(х) дифференцируема в точке х<о>, поэтому при г= 1,г' 2, Дх<~(>1 имеем дС=С(х<,"+Дх„..., х„"'+Дх„) — С(х<'>, ..., х„"') = ,", - - ( <о>) — Дх,+аг, дх. <=-! ) (20.29) где е = е (Дх„..., Дх„) таково, что 1нп з = О.
Положим г- о з (О, ..., 0) =О. Доопределенная таким образом функция з является непрерывной в точке (О, ..., О). В силу диф<<)еренцируемости функций х, =-х,(С), ! = 1,2,.... и, в точке С<о> при Св р= ~>С Х ДС) С=! получим Дх)=х,(С< )+Д~„...,Ф+ ДСь)-х)(С<;), ., 6)) = ~< дх,(<<о)) Дх)+а,р, )=1, 2...„, и, )=! С (20,30) где 1ппа,=0, <=1, 2, ..., и. и-о Д о к а з а т е л ь с т во. Поскольку функции х<(С), ! = 1, 2„..., а, определены в некоторой окрестности точк~ б"> и поскольку из дифференцируемости функций следует их непрерывность, то сложная функция С(х(С)) определена в некоторой окрестности точки С<"> (см, замечание к теореме 2 и.
19.3). Зафиксируем какие-либо дна числа б ) О и Ч ~ 0 так, чтобы функция С(х) была бы определена на тгокрестности точки х<о), функции х,(С), < = 1, 2, ..., и, на б-окрестности точки С<о> и чтобы 4 лг, частные производные. Лиф!Реряннириех!ость из (20.30) в (20.29), нонучнен к! дхг(!го!) Л( +р1, / ! Подставляя значения Лх,. 'я д) (хго!) Ь) = ! ! (20.31) где д( (х!о!) Р=,')', о„- !р+гг ! ! (20.32) Из (20.32) имеем Р '~! д)(х!о!) — — е +е —.
р и! дх, ! р (20,33) Докажем, что отношение — ограничено. Используя формулы г р (20.30), получаем н Ф я ! мы ааснальаовалнсь неравенствам )/ ~, оя < ~ 1о, ~ которое ! ! ! ! является слелствнем очевидного неравенства Переставляя порядок суммирования в (20.31), имеем ь /н о! г=-! ! 1 Теперь, для того чтобы доказать, что сложная грункция 1(х(Г)) диффеРенниРУема в точке г!о>, надо ноказатгь что Р=о(Р) при р- О.
В силу непрерывности фуикний х,.(!), !=1, 2, ..., л, .в точке Ро! имеем 1ип Лх,.=О и, следовательно, 1!гп я=О. Огсгода в силу р-о р о теоремы о суперпозиции непрерывных функний (см. и. 19.2) 1(гп е=О. (20.34) р о М4 Инвараантнасть фариас перва а диф ререн!<нала Поскольку йш з,=О, то в некоторой 1а<,! функции а, ограничены, и так как — — ' Р ограничена в некоторой окрестности точки и (20.35) следует, что окрестности точки <<о! с < 1, то функция р <<о!.
Поэтому нз (20.34) 1пп — — = О, р-о Р т. е. что р =- о(о) прн р — О. Лифферснцируемость сложной функ- ции 1(х(у)) в точке <<о' доказана. Из формулы (20.31) имеем и а О нЬ д)(х<О!),Ьн днс(<<О!) дх ь1 дсу с=! 1 <=! Отсюда, замечая, что а М.=с(х<„1=1, 2, ..., п, 'Чн дХ!(1< !) 1 д0 и=- ! <о! «~~ ( ~~~ д)(х<о!) дхс(<<о!) ~ дх д<, ! 7 <-! 1 ! Но коэффициенты дифференциала функции при дифференциалах независимых переменных определяются однозначно и равны соответствуюгцнм частным производным, поэтому, сравнивая эту формулу с формулой (20.27), получим д( у д)(х<о!) дх<(«'!) д<1 м ! <ох ст<7 1- ! т. е. снова формулу (20.26). Правда, на этот раз она выведена ири более сильных ограничениях, чем раньше; предполагалась днф;ре- мы и получим формулу (20.28), Формула же (20.27) является обычной формулой для дифференциала (см.
20.19). Теорема доказана. Формально обе записи (20.27) и (20.28) дифференциала функцив выглядят одинаково: в обеих формулах дифференциал равен сумме произведений частных производных на соответствуюшие дифференциалы, однако в случае форл<улы (20.27) с(<7 являются дифференциалами независимых переменных, а в случае форл<улы (20.28) с(хс суть дифференциалы функций.
Это свойство называется инвариантноси!оси формы первого днфференс<иила относительно выбора переменных. 3 а л< е ч а н и е. Из формулы (20.33) следует, что 0 гд частные рраивводные, дифферениируеместь 300 1. с( (и+ о) = с(сс+ с(о. 2. с((ио) = оди+ ис(о. (20.36) „( сл ) иди — идв и — где и= в де ! что —. = — и ди и Докажем, например, формулу 3. Пусть г = и(х„..., х„), о = о(х„..., х„).
Замечая, де и — „= — — „,, имеем, согласно формуле (20.28), ! и иди — иди с(г = —, с(и — — с(о = ,е Формула 3 доказана. При вычислении конкретных дифференциалов функций многих переменных можно широко использовать формулы, полученные нами раньше (см. Ч 9) для дифференциалов элеиентарных функций. Заметим для этого следу!ошее: пусть функция у = у(х„..., х,) представлена в ваде у = г"(и), где и == и(х,, ..., х,).
Тогда при соответствующих предположениях, согласно формуле (20.28), с(у=-г" (и)с(и, и=и(х„..., х„). Например, если у=-з(пи, то с(у=созис(и; у=1пи, то с!у= —; да ди если у=агс1я и, то с(у =,, и т. д. (подчеркнем, что здесь 1+ил везде и=и(х„..., х„)). В качестве примера найдем дифференциал функции г = агс1п ! —, х ' Вычисления производятся в следующем порядке: с(г=с((агой ~ )=, и (--)= хл Если требуется вычислить частные производные функции многих переменных, особенно если надо вычислить все производные ренцируемость функций хл(1), с = 1,2, ..., и, в то время как в п.
20.3 — лишь существование у этих функций соответствующих частных производных. Инварнантность формы первого диффере!шиала широко используется при практическом вычислении дифференциалов и частных производных. Если и и о суть функции какого-то числа переменных. то с помощью формулы (20.28) легко получаются следующие: ав! гд4. Р!нвариантнаеть формы первого дифференциала то целесообразно вычислить дифференциал этой функции, тогда искомыми частными производными будут коэффициенты при соответствующих дифференциалах.
Так, в рассмотренном примере г = агс1с! —; беря коэффициенты у. х' при егх и ггу из найденного нами выражения для дифференциала, получим дг у дг х дх хе+ уе ду хе+ уе Замечание. Всякую функцию у=)(хг, ..., х„) от п переинных можно рассматривать с определенном смысле и кок гггункг(ию от любого число и+ пг) п тгеременньсх х„х„..., хта ..., х„.! „,. Именно, длн всЯкой фУнкции 7" (х„..., ха), заданной на множестве Ес: Е', опРеделим фУнкцию гь(х„..., хта ..., х,+ ) на множество точек (х, ..., хти ..., х„+„), таких, по (х,...„х„) ~ Е, — аа(хэ<.
+со, /=и+1, ..., и+т, следующим образом: )*(х„..., хта ..., хпч „,) =) (х„..., х„). (20.37) Таким образом, рассмотрение функции и переменных, как функции гг + и переменных, означает фактически продолжение по формуле (20.37) функции ( с множества ее определения Е~Е" на множество ЕФ =-((х„..., хп+ ): (х, ..., х )ЕЕ, — оа ч х,.(+со, !'=и+1, ..., п+т), лежащее уже в пространстве Е"+а'. Для функции 7в, полученной после такого продолжения, имеем д7* (хг, ..., х„~ ы) д) (хг, ..., х„) дх! дх! д)*(х!...., ха ! и,) дх! =-О, г=-тг+1, ..., и+т, поэтому а+~а дть(хг, ..., хп+,и) щв(х,..., х„.гы)= г„д е(хг= г==! ! Например, когда мы говорим, что функцию одного переменного . = 7(х), определеннуго па некотором интервале (о, Ь), мы рассматгиваем как функцшо двух переменных 1(х) = Е(х, у), х~(а, Ь), 302 д ед. Чаегнлее производные.
Пп44еренцируеноетл — пр «. у «. + ов, это означает, что функция Р(х, у) является постоянной, равной 1(х) на любой прямой, проходящей через точку х интервала (а, Ь) оси Ох параллельно оси Оу. Прн этом де (х, у), де (х, у) - =- ) ' (х), — ' — =.- О, е)г" (х у) =.- а) (х), дх ду а«х«. Ь, — со(у«+по. Полезно для дальнейшего отметить в известном смысле обратный факт. Пусть Е« — Е". Ести функция у*(х„..., хп,хп ь~) определена на множестве Е* =- ( (х„..., х„, х„чч):(х„..., х„) ~ Е, а «"х„., 1 «" Ь ) '+') =0 Ел (20.38) дхп то существует функция 1(х„..., х„) от и переменных, определеннан на мнсокестве Е, и такая, что Р' (х„..., хп, х„.п,) = ~(хп ..., х„) для всех (хы ..., х„) ~ Е, х„~ь~ ~ (а, Ь).
В этом случае говорят, что Функция )'в Факктически не завасил1 огл переменной х„.ьь В самом деле, из условия (20.33) следУет, что фУнкпиа 1* постоинна как фУнкциЯ хп+~ (см. леммУ и. 11.2) прн фиксированной точке (х„...,х„), т. е., зафиксировав какое-либо с~(а, Ь) для любой точки(х,, ...,х„) ~ Е и х„+1 ~(а, Ь) имеем 1*(х,, ..., хп.ь~)=1(х„..., х„, с).
Искомая функция г, очевидно, определяется равенс-вом у (х„..., х„) =- )* (х,, ..., хп, с), причем она не зависит от выбора с~(а, Ь). Из вышесказанного, в частности, следует, что формулы 1 — 3 для дифференциалов остаются справедливьвш и в том случае, когда числа переменных, от которых зависят функции и и о,— различны, так как всегда в силу указанного приема этот случаи можно свести к вышеразобрзнному случаю одного числа переменных. 20.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
